Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Первая хореография для $N=3$ была найдена Лагранжем в 1772 году: знаменитое решение равностороннего треугольника. И только в декабре 1999 года было найдено следующее решение. Три тела двигаются по фигуре в виде восьмерки (см. рис. 1). Для периодического решения, представленного здесь, а также для всех решений данной работы был задан период, равный $2 \pi$, фиксирующий размер конфигураций. Остальные периоды отмасштабированы на $2 \pi$ с помощью третьего закона Кеплера $l^{3} T^{-2}=$ const, где $l-$ масштаб длины, а $T$ — период. Также ясно, что $S^{1}$-инвариантность позволяет рассматривать кривую, симметричную относительно горизонтальной оси. Обозначим через $P_{j}$ тело, расположенное в точке $z_{j}$. Первоначально можно взять тела на коллинеарной (эйлеровой) конфигурации, как на рисунке с $P_{3}$ между $P_{1}$ (слева) и $P_{2}$ (слева), при этом $P_{3}$ двигается вверх. При $t=\pi / 6$ они находятся в равнобедренной конфигурации, а при $t=\pi / 3$ они снова в коллинеарной конфигурации с $P_{2}$ в середине. За полный период тела дважды проходят каждую из трех коллинеарных конфигураций. Доказательство существования конфигурации (см. [4]) использует вариационный подход. Пусть $q(t)$ — параметризация решения, так что если $z_{1}(t)=q(t)$, то $z_{2}(t)=q(t-2 \pi / 3), z_{3}(t)=q(t-4 \pi / 3)$. Вариационная формулировка классической механики гарантирует, что любое классическое $2 \pi$-периодическое решение является экстремалью функционала действия Таблица 1. Исходные условия для рис. 1. Представленные данные не соответствуют случаю положения центра масс в начале координат. который представляет собой интеграл от лагранжиана $L$. Действительно, хореография фигуры в виде восьмерки является минимумом $A$. Ключевым является доказательство того, что минимизирующая $A$ траектория в рассматриваемом классе восьмиобразных траекторий не имеет столкновений. Используя оценки [2], контрольную траекторию, а также линию уровня $\left.U\right|_{S}$, соответствующую прохождению через коллинеарные точки с постоянной скоростью и фиксированным значением $I$, исключение столкновений можно свести к оценке интеграла. Восьмерку можно также представить как цепочку из двух звеньев. На рис. 1 показаны также следующие простейшие цепочки (из трех и четырех звеньев) с четырьмя и пятью телами. В целях завершенности исходные данные, позволяющие читателю воспроизвести графики, приведены в таблице 1. Они округлены до $10^{-6}$ и, следовательно, для точного изображения траекторий их следует уточнить. Отметим, что для восьмерки рис. 1.1 следует слегка повернуть, чтобы согласовать его с исходными условиями. Компоненты $z_{j}$ обозначены через $\left(x_{j}, y_{j}\right)$. — Представляется, что оно является единственным, за исключением вращения всех масс как единого твердого тела. Это не доказано в [4], однако я основываюсь на обширном численном переборе вариантов с нулевым моментом количества движения, удовлетворяющих равенству $\dot{z}_{1}=\dot{z}_{2}$.
|
1 |
Оглавление
|