Первая хореография для $N=3$ была найдена Лагранжем в 1772 году: знаменитое решение равностороннего треугольника. И только в декабре 1999 года было найдено следующее решение. Три тела двигаются по фигуре в виде восьмерки (см. рис. 1). Для периодического решения, представленного здесь, а также для всех решений данной работы был задан период, равный $2 \pi$, фиксирующий размер конфигураций. Остальные периоды отмасштабированы на $2 \pi$ с помощью третьего закона Кеплера $l^{3} T^{-2}=$ const, где $l-$ масштаб длины, а $T$ – период. Также ясно, что $S^{1}$-инвариантность позволяет рассматривать кривую, симметричную относительно горизонтальной оси. Обозначим через $P_{j}$ тело, расположенное в точке $z_{j}$. Первоначально можно взять тела на коллинеарной (эйлеровой) конфигурации, как на рисунке с $P_{3}$ между $P_{1}$ (слева) и $P_{2}$ (слева), при этом $P_{3}$ двигается вверх. При $t=\pi / 6$ они находятся в равнобедренной конфигурации, а при $t=\pi / 3$ они снова в коллинеарной конфигурации с $P_{2}$ в середине. За полный период тела дважды проходят каждую из трех коллинеарных конфигураций.

Доказательство существования конфигурации (см. [4]) использует вариационный подход. Пусть $q(t)$ – параметризация решения, так что если $z_{1}(t)=q(t)$, то $z_{2}(t)=q(t-2 \pi / 3), z_{3}(t)=q(t-4 \pi / 3)$. Вариационная формулировка классической механики гарантирует, что любое классическое $2 \pi$-периодическое решение является экстремалью функционала действия
\[
A=\int_{0}^{2 \pi} L(t) d t, \quad L(t)=K\left(\dot{z}_{1}, z_{2}, z_{3}\right)-U\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right),
\]

Таблица 1. Исходные условия для рис. 1. Представленные данные не соответствуют случаю положения центра масс в начале координат.

который представляет собой интеграл от лагранжиана $L$. Действительно, хореография фигуры в виде восьмерки является минимумом $A$. Ключевым является доказательство того, что минимизирующая $A$ траектория в рассматриваемом классе восьмиобразных траекторий не имеет столкновений. Используя оценки [2], контрольную траекторию, а также линию уровня $\left.U\right|_{S}$, соответствующую прохождению через коллинеарные точки с постоянной скоростью и фиксированным значением $I$, исключение столкновений можно свести к оценке интеграла.

Восьмерку можно также представить как цепочку из двух звеньев. На рис. 1 показаны также следующие простейшие цепочки (из трех и четырех звеньев) с четырьмя и пятью телами. В целях завершенности исходные данные, позволяющие читателю воспроизвести графики, приведены в таблице 1. Они округлены до $10^{-6}$ и, следовательно, для точного изображения траекторий их следует уточнить. Отметим, что для восьмерки рис. 1.1 следует слегка повернуть, чтобы согласовать его с исходными условиями. Компоненты $z_{j}$ обозначены через $\left(x_{j}, y_{j}\right)$.
Рис. 1. Цепочки с 3, 4 и 5 телами
Кроме очевидных симметрий, у этого решения есть множество замечательных свойств.

– Представляется, что оно является единственным, за исключением вращения всех масс как единого твердого тела. Это не доказано в [4], однако я основываюсь на обширном численном переборе вариантов с нулевым моментом количества движения, удовлетворяющих равенству $\dot{z}_{1}=\dot{z}_{2}$.
– Восьмерка существует на нулевом уровне момента количества движения $c=0$. Если $c
eq 0$, то можно воспользоваться вращающейся системой координат (с частотой $\omega$ ) и искать восьмеркообразные периодические решения в этой системе отсчета. Это сделал М. Хенон в [6]. При этом петли становятся асимметричными, но общая картина сохраняется. Эти вращающиеся решения приводят к 2 -мерным торам, если $\omega
otin Q$, и дают новые дополнительные хореографии, если $\omega \in Q$.
– Орбита линейно устойчива. Она представляет собой неподвижную точку отображения Пуанкаре. Собственные значения дифференциала этого отображения $-\lambda=\exp \left( \pm 2 \pi \mathrm{i}
u_{j}\right)$, с $
u_{1}=0.00842272,
u_{2}=0.29809253$. Это является неожиданным по сравнению с системами с двумя степенями свободы, для которых периодические орбиты, минимизирующие действие, неустойчивы. Цитируя Биркгофа ([1], стр. 130): «Несомненно аналогичные результаты выполняются для любого числа степеней свободы, и их можно получить с помощью классических методов вычисления вариаций.»
– Для получения нелинейной информации необходимо представление отображения Пуанкаре до высокого порядка. Некоторые методы предложены в [9], они используют вариации высокого порядка. Другой подход предложен в разделе [7]. В частности, он позволяет получить нормальную форму вблизи периодического решения. Матрица закручивания при этом является неопределенной, и для доказательства существования инвариантных торов применяется КАМ теорема. Таким образом, большинство точек, близких к восьмерке, при $c=0$ устойчивы. Более того, из вариации действия следует существование других классов дополнительных хореографий, связанных с периодическими точками с соответствующим периодом отображения Пуанкаре вокруг неподвижной точки.
– Найденное периодическое решение можно распространить на случай близких масс, при этом каждая из них двигается по слегка отличной друг от друга «восьмерке». Устойчивость таких решений сохраняется только для относительных изменений порядка $10^{-5}$.
– Сохраняя равные массы, мы можем исследовать различные потенциалы вида
\[
U\left(z_{1}, \ldots, z_{N}\right)=\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant N} f\left(r_{i, j}\right), \quad f(r)=r^{-a}, a>0 .
\]
Восьмеркообразное решение можно распространить на все $a>0$ и даже на предельный случай $f(r)=\log r$ и далее. Однако установлено, что линейно устойчивым является только небольшой интервал около $a=1$.