Задача Хилла оказалась очень богатой и интересной задачей. Будучи вдали от интегрируемой (исключая движения, заключенные в среднего размера окрестности второго тела), большая часть изучения задачи должна быть проведена с помощью численных методов, ведомых геометрией динамических систем. Как обычно, устойчивые и неустойчивые многообразия инвариантных объектов (неподвижных точек, п.о., или, более глобально,

Рис. 21. Инвариантные многообразия в ЛЧ-переменных. Слева направо и сверху вниз: а) $h=0.0557838$ : хаотическая зона постепенно заполняется срезами; b) $h=0.05640708:$ срезы формируются в острова; с) $h=0.05704225$; d) $h=$ $=0.06157219$; e) $h=0.07033103$ : срезы неустойчивых/устойчивых многообразий меняются проходя через столкновения; теперь они окружают обратную КАМ-структуру; f) $h=0.09305603$ после столкновения инвариантного многообразия со вторым телом.

центральных многообразий в случае расслоения инвариантными торами) играют ключевую роль.

Просуммируем некоторые факты, полученные в настоящей статье. Описание дано в терминах ЛЧ-переменных, но может быть легко приведено к декартовым переменным.
– Для малых и средних значений энергии (до $h=0.052$, недалеко от этого значения размыкается КНС) движение в ограниченной области очень регулярно: оно выглядит как почти интегрируемое. Для малых энергий хилловская прямая (хппо) и обратная (хопо) (или,что то же самое, «луноподобная» и «антилуноподобная») п.о. имеют только одно пересечение с поверхностью сечения $Q_{2}=0, \dot{Q}_{2}>0$. Все другие п.о. имеют период $O(1 / 2 h)$.
– При больших и средних $h$ свойство закручивания вблизи хппо теряется, число вращения вблизи п.о. проходит от локального минимума до локального максимума. Это определяет существование инвариантных кривых меандрового типа вблизи хппо. Кривые, связанные с резонансами периода 7 , являются наиболее важными. С другой стороны семейство хопо ведет себя гладко и монотонно.
– Внутренний резонанс порядка 7 вокруг хппо (ближайший к ней) развивает заметную хаотическую зону вблизи $h=0.053$. При этом значении бифуркация типа «вилки» уже произошла, но «восьмерка» хаотической зоны, созданная при этом, чрезвычайно узка. При увеличении $h$ резонанс порядка 7 абсорбирует узкие резонансы с бо́льшими и ме́ньшими числами вращения. В конце концов, он сливается с хаотической зоной в форме «восьмерки». При увеличении $h$ до 0.055 создается обширная зона хаоса.
– Вблизи $h=\frac{1}{18}$, но все еще в ограниченной области, существует большая хорошо упорядоченная область вокруг хопо, покрывающая более половины всего портрета. Вокруг хппо присутствует большая хаотическая зона. Начало координат лежит в упорядоченной зоне, поэтому движение, идущее из стохастической зоны, защищено (инвариантными торами) от столкновений. Похожим образом торы предохраняют траектории от ухода на бесконечность после того, как КНС размыкается.
– При $h>\frac{1}{18}$ из-за инвариантных многообразий ляпуновских п.о. появляются гомо- и гетероклинические орбиты, соединяющие окрестность $L_{1}$ с самой собой и с окрестностью $L_{2}$, и наоборот.
– Гетероклинические пересечения между хппо и ляпуновскими п.о. появляются сразу после размыкания КНС.
– Инвариантные многообразия ляпуновских п.о. ответственны за прогрессирующее разрушение КАМ-торов, существующих при $h=\frac{1}{18}$. Многообразия «задавливают» торы, и при некоторой критической энергии достигают начала координат. После чего движения, близкие к нему, не защищены более от ухода на бесконечность.
– Семейство хопо остается устойчивым при всех значениях $h$, кроме ровно двух значений, при которых происходит резонанс $3: 1$.
При рассмотрении разных уровней энергии одновременно устойчивые/неустойчивые многообразия семейства ляпуновских орбит формируют соответствующие многообразия полного центрального многообразия вокруг коллинеарных точек либрации. Так как $W^{U}\left(W_{L_{j}}^{C}\right)$ и $W^{S}\left(W_{L_{j}}^{C}\right)$ являются трехмерными, они имеют коразмерность 1 и, следовательно, могут действовать как локальные ограничители движения. Механизмы, объясненные выше, ответственны за начальное разрушение, ясно видного до размыкания КНС, КАМ-структуры при $h=\frac{1}{18}$. Когда, вместе с ляпуновскими п.о., рождаются инвариантные многообразия, они уже «знают», по продолжению, что они должны демонстрировать гомо- и гетроклиничекские явления. Более того, когда стохастическая зона частично организуется благодаря некторым бифуркациям, устойчивые/неустойчивые многообразия должны приспособиться к этому факту, т.е. они должны выделить место для островов. Многообразия, которые достигают гравитирующего центра, играют ключевую роль.

Все полученные результаты легко переносятся на ОЗТТ благодаря трансверсальности. Более того, из (6) следует, что члены, ответственные за возмущение, не содержат никаких сингулярностей. Использование такой формулировки ОЗТТ позволяет рассматривать ее как возмущение задачи Хилла, аналитически зависящее от $\mu^{1 / 3}$. При рассмотрении ОЗТТ нужно также иметь в виду отсутствие симметрии между $L_{1}$ и $L_{2}$. Они теперь будут находиться на различных уровнях $h$. В системе обозначений, использованной здесь, $L_{1}$ появляется при немного ме́ньших энергиях, чем $L_{2}$.

В частности, все сказанное выше предоставляет возможность расчета космических полетов вдоль орбит, которые могут показаться сложными для свободного тела. Малые маневры и стохастичность на подходящих уровнях энергии позволят рассчитывать быстрые перемещения при чрезвычайно малых затратах топлива. Номинальная орбита (которая используется для некоторых специальных целей) может быть достигнута от второго тела, используя устойчивые многообразия, если они проходят близко от него. Перемещения между различными номинальными орбитами могут производиться, используя гетероклинические пересечения, при практически нулевой стоимости. Мы обращаемся к $[8,9,11]$ как к примерам работ, где подобного рода идеи использовались уке давно. Естественно, рассмотренная здесь модель очень проста. В реальных задачах необходимо рассматривать пространственную постановку, вместо плоской, и учитывать все важные возмущения.

С астрономической точки зрения, полученные результаты могут также объяснить движение (захват, временный захват, перемещения от одного резонанса к другому и т.д.) некоторых тел солнечной системы. Если они подходят с малыми скоростями (в синодических координатах) к окрестности $L_{1}$ или $L_{2}$ системы Солнце-планета, то на некоторое время они могут попасть в область, близкую к планете. Движение в этом случае описывается возмущением задачи Хилла. Более того, комбинация полученных результатов для области, близкой ко второму телу в ОЗТТ, с известными фактами о допустимости «экскурсии» вокруг первого тела (см. [13]), дают достаточно полное описание орбит на соответствующих уровнях $h$.

Представленная в статье методология может быть применена к широкому кругу задач. Приложение изложенного подхода в атомной физике можно найти в [19].

Мы хотим отметить два естественных направления развития исследований. Первое, это переход к ОЗТТ, принимая во внимание недостаток симметрии между $L_{1}$ и $L_{2}$ и соответствующих «внешних» движений, при которых безмассовая частица убегает из окрестности второго тела, обращается вокруг первого и возвращается ко второму. Следующее предлагаемое направление – это пространственная задача. Она требует замены ЛЧ-регуляризации другим инструментом, таким, как регуляризация Кустаанхеймо-Штифеля [18]. Несмотря на это, наибольшие сложности для трехмерного случая представляет все же размерность и наличие трехчастотных резонансов. Роль, которую играют семейства п.о., должны дополнять семейства двумерных торов, которые являются канторовскими вместо сплошных. Гетероклинические связи между гиперболическими трехмерными п.о. и двумерными торами вблизи $L_{1}$ и $L_{2}$ предоставляют большие возможности для расчета космических полетов. Также достаточную трудность представляет собой графическое представление результатов.