3.1. Неподвижные точки и кривая нулевой скорости

Описанная выше система имеет три точки равновесия, одна типа центр, а две другие типа седло-центр. Координаты точек в нерегуляризованных переменных $\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)$ :
\[
\begin{array}{c}
O \rightarrow(0,0,0,0), \quad L_{1} \rightarrow\left(3^{-1 / 3}, 0,0,3^{-1 / 3}\right), \\
L_{2} \rightarrow\left(-3^{-1 / 3}, 0,0,-3^{-1 / 3}\right),
\end{array}
\]

и в ЛЧ-переменных $\left(Q_{1}, Q_{2}, P_{1}, P_{2}\right)$ :
\[
\begin{array}{l}
L_{1} \rightarrow\left(6^{-1 / 2}, 0,0, \frac{1}{3} 6^{-1 / 2}\right), \quad L_{2} \rightarrow\left(0,6^{-1 / 2}, \frac{1}{3} 6^{-1 / 2}, 0\right), \\
L_{1}^{\prime} \rightarrow\left(-6^{-1 / 2}, 0,0,-\frac{1}{3} 6^{-1 / 2}\right), \quad L_{2}^{\prime} \rightarrow\left(0,-6^{-1 / 2},-\frac{1}{3} 6^{-1 / 2}, 0\right) . \\
\end{array}
\]

Очевидно, гравитирующий центр теперь является регулярной точкой, точнее, точкой равновесия системы типа центр-центр (столкновение превращается в равновесие в силу замены времени (9)). Число точек равновесия удваивается из-за двойного накрытия.

В декартовых переменных собственные числа точек $L_{1}$ и $L_{2}$ равны $\bar{\lambda}_{1}=i \bar{\omega}=i(-1+2 \sqrt{7})^{1 / 2}$ и $\bar{\lambda}_{2}=(1+2 \sqrt{7})^{1 / 2}$, т.е. точки являются центром по первой координате и седлом по второй. В этих точках значения интеграла Якоби и гамильтониана равны соответственно $c_{H}=3^{4 / 3}$ и $h=$ $=\frac{1}{18}$. Заметим, что собственные числа в регуляризованной задаче равны $\lambda_{i}=\frac{2}{3} \bar{\lambda}_{i}\left(\lambda_{1} \approx \pm i 1.38106, \lambda_{2} \approx \pm 1.67219\right)$.

Для $h<\frac{1}{18}$ кривая нулевой скорости замкнута и определяется выражением $\frac{1}{2}\left(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}\right)-6\left(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}\right)\left(Q_{1}^{2}-Q_{2}^{2}\right)^{2}$. При энергиях $h>\frac{1}{18}$ появляются ляпуновские п. о. которые, естественно, неустойчивы. В этом случае существование финитного движения не является необходимым следствием только топологии задачи. Ниже будет показано, как устойчивые и неустойчивые многообразия взаимодействуют с открытой структурой траекторий. Во-первых, рассмотрим низкие уровни энергии, а затем изучим локальное поведение вблизи точек либрации. После этого в следующем разделе будут приведены некоторые предварительные результаты численных экспериментов.

3.2. Низкие уровни энергии и периодические орбиты Хилла

При малых энергиях гамильтониан (12) описывает малое возмущение гармонического осциллятора. Система с гамильтонианом $H_{1}+H_{2}$ эквивалентна задаче Кеплера во вращающейся системе отсчета и, следовательно, интегрируема. Член $H_{6}$ нарушает интегрируемость. Так как неподвижная точка, соответствующая гравитирующему центру, является эллиптической с резонансом $1-1$, то для построения нормальных форм оказываются пригодными методы, изложенные в [12]. В частности, они позволяют получить определенное число простых периодических орбит, то есть п. о., которые являются неподвижными точками отображения Пуанкаре. Применяя теорему 1 из [12], получим следующий результат.

Предложение 1. Для достаточно малых $h$ задача Хилла имеет две простые периодические орбиты с предельным периодом $2 \pi$. Это классические прямая и обратная п.о. Хилла. На сечении Пуанкаре $Q_{2}=0, \dot{Q}_{2}>0$ они являются неподвижными точками с координатами $\dot{Q}_{1}=0$ и $Q_{1}=$ $=\sqrt{h}(1+O(h))$ (прямая п.о.) и $Q_{-}=-\sqrt{h}(1+O(h)$ ) (обратная п.о.). Более того, любая другая периодическая орбита имеет период $\pi / h+O(1)$. Ширина стохастического слоя не превышает $O(\exp (-c / h))$ при некотором $c>0$.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Сначала приведем гамильтониан к нормальной форме Густавсона. Начнем с некоторых общих предположений. Пусть $z_{j}=(1 / \sqrt{2})\left(Q_{j}+P_{j}\right)$, $j=1,2$, и определим
\[
\begin{array}{c}
N_{j}=z_{j} \bar{z}_{j}, \quad j=1,2, \quad M_{1}=2 \operatorname{Im}\left(\bar{z}_{1} z_{2}\right), \\
M_{2}=2 \operatorname{Re}\left(\bar{z}_{1} z_{2}\right), \quad M_{3}=N_{2}-N_{1}, \quad J=N_{1}+N_{2} .
\end{array}
\]

В новых переменных $z_{j}$ гамильтониан имеет вид
\[
H=J+\sum_{m=2}^{m^{*}} K_{m}\left(J, M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)+O_{2 m^{*}+1}\left(\left|z_{1}\right|,\left|z_{2}\right|\right),
\]

где $K_{m}$ – однородные функции порядка $m$, а $O_{k}$ обозначает члены порядка $k$. Из соотношения $M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}=J^{2}$ следует, что $K_{m}\left(J, M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)=J^{m} \hat{K}_{m}(\boldsymbol{x})$, где $\hat{K}_{m}(\boldsymbol{x})=K_{m}(1, \boldsymbol{x})$ – полином, определенный на единичной сфере $\mathbb{S}^{2}$, а $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(\frac{M_{1}}{J}, \frac{M_{2}}{J}, \frac{M_{3}}{J}\right)$.

В нашем очень простом частном случае $\hat{K}_{2}(\boldsymbol{x})=-2 x_{1}$. До этого порядка гамильтониан зависит только от $J=\frac{1}{2}\left(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}+P_{1}^{2}+P_{2}^{2}\right)$ и $M_{1}=$ $=Q_{1} P_{2}-Q_{2} P_{1}-$ энергии и интеграла момента задачи Кеплера. После ввода нового времени $\tau=J t$, где $t$ обозначает время, используемое в (12), поток на $\mathbb{S}^{2}$ для нового гамильтониана до второго порядка по $J$ задается уравнением $\frac{d x}{d \tau}=
abla_{x} \hat{K}_{2}(\boldsymbol{x}) \wedge \boldsymbol{x}$. Таким образом полюсы $( \pm 1,0,0)$ неподвижны на $\mathbb{S}^{2}$ и указанный поток является просто вращением вдоль параллелей, связанных с указанными полюсами с периодом $\pi$ по $\tau$ и, так как $J=h+O\left(h^{2}\right)$, периодом $\pi / h$ по $t$. Положение неподвижных точек на сечении Пуанкаре следует из исследования гармонического осциллятора.

Если ввести остаток (члены $O\left(J^{3}\right)$ ), то картина немного изменится, но, в силу теоремы о неявной функции, неподвижные точки сохранятся. Любые другие п. о. не могут иметь период меньше, чем $\frac{\pi}{h}+O(1)$. Кроме того, полный гамильтониан можно записать с помощью $J, M_{1}$ и двух соответствующих им углов, скажем, $\varphi$ и $\psi$ соответственно. Пока возмущение мало, частота по $\varphi$ близка к единице. Стандартное усреднение (см. [14]) по переменной $t$ приводит к тому, что система может быть сведена к интегрируемой, исключая область размером $O(\exp (-c / h))$, для некоторого $c>0$. Это и доказывает последнее утвержление теоремы.

Заметим, что для получения более точных оценок для периода, нежели $O(1)$, нужно рассматривать нормальные формы до шестого порядка. Далее мы увидим, как эти периодические орбиты продолжаются до более высоких энергий и какую роль они играют.
3.3. Локальное поведение вблизи точек либрации

Хорошо известно, что гамильтониан (12) вблизи точек $L_{i}$ в базисе собственных векторов имеет вид:
\[
H\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)=\frac{\omega}{2}\left(q_{1}^{2}+p_{1}^{2}\right)+\frac{\lambda_{2}}{2}\left(p_{2}^{2}-q_{2}^{2}\right)+\sum_{|\boldsymbol{k}|+|\boldsymbol{l}| \geqslant 3} c_{k \boldsymbol{l}} \boldsymbol{q}^{\boldsymbol{k}} \boldsymbol{p}^{\boldsymbol{l}},
\]

где $k, \boldsymbol{l} \in(\mathbb{N} \cup 0)^{2},|\boldsymbol{k}|=k_{1}+k_{2}$ и ||$b l \mid=l_{1}+l_{2}$. Существует (комплексная) замена переменных, которая приводит гамильтониан к виду
\[
H\left(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}\right)=i \omega x_{1} y_{1}-\lambda_{2} x_{2} y_{2}+\sum_{|\boldsymbol{k}|+|\boldsymbol{l}| \geqslant 3} C_{\boldsymbol{k} \boldsymbol{l}} \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}} \boldsymbol{y}^{\boldsymbol{l}}
\]

с $k, l$ такими же, как и выше. Квадратичную часть (18) можно выразить в виде
\[
H_{q}=H_{c}+H_{s} .
\]

Рис. 3. Линейная динамика вблизи $L_{i}$. Верхний левый рисунок показывает седловую часть, а верхний правый – типа центр. Внизу изображены инвариантные многообразия, выходящие из п. о. $p_{1}$ вокруг $L_{1}$

Выражение (18) полезно для получения формальной аппроксимации центральных многообразий. В данном случае они являются сходящимися.

На рис. 3 мы постарались проиллюстрировать линейное поведение вблизи точек либрации. На верхних рисунках $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ обозначают либо $\left(x_{1}, y_{1}\right)$, либо $\left(x_{2}, y_{2}\right)$. Если $h_{c}=0$ и $h=h_{s}=\lambda_{2} x_{2} y_{2}=0$, то оси $x_{2}=0$ и $y_{2}=0$ являются линейно неустойчивым $W_{L_{i}}^{U}$ и устойчивым $W_{L_{i}}^{S}$ направлениями соответственно. Если $h_{s}
eq 0$, то мы находимся на гиперболах вблизи устойчивых/неустойчивых многообразий, соответствующих точке равновесия (рис. 3 слева вверху).

При $h=h_{c}
eq 0, h_{s}=0$, если $x_{2}=y_{2}=0$, то находимся на плоскости $x_{1}, y_{1}$, где существует семейство неустойчивых периодических орбит линейной системы. Эти п.о. образуют касательную к центральному многообразию плоскость. Если только $y_{2}=0$, движение является комбинацией п.о. и оси $x_{2}$. Так образуются два неустойчивых полуцилиндра $W_{p . o .}^{U}$. Комбинация п.о. и оси $y_{2}$ дает два устойчивых полуцилиндра $W_{p . o}^{S}$.

В переменных $\left(x_{i}, y_{i}\right)$, или в $\left(q_{i}, p_{i}\right)$, при учете членов высшего порядка цилиндры будут искривлены (рис. 3 , внизу), однако только что описанная топология сохранится. Более того, достаточно далеко от точек седло-центр $\left(L_{i}\right.$ ) искривление может привести к довольно сложным и запутанным изгибам. В интегрируемых гамильтоновых системах устойчивые и неустойчивые цилиндры данной п. о. будут совпадать или являться соответственно неустойчивыми или устойчивыми многообразиями другого инвариантного гиперболического объекта (в конечном счете того же самого и, возможно, неограниченного). Так или иначе, при воздействии возмущения, $W_{p . o \text {. }}^{U}$ и $W_{p . o}^{S}$. расщепляются и пересекаются друг с другом, образуя гомоклинические и/или гетероклинические орбиты. Численные результаты следующего раздела дают некоторую предварительную информацию об этих фактах. В п. 7 представлены некоторые такие пересечения и их динамические следствия. В п. 8 обсуждается взаимодействие с сохраняющейся КАМструктурой, а также более детально рассматривается нелинейное поведение многообразий, линейное поведение которых было рассмотрено только что.