ОЗТТ и, в частности, ее хилловский предельный случай как в декартовых синодических координатах, так и в их канонической версии имеют следующую симметрию
\[
\begin{array}{c}
S_{1}:(x, y, \dot{x}, \dot{y}, t) \rightarrow(x,-y,-\dot{x},-\dot{y},-t), \\
S_{2}:\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}, t\right) \rightarrow\left(q_{1},-q_{2},-p_{1}, p_{2},-t\right) .
\end{array}
\]

Эта симметрия предполагает, что ляпуновские п.о. симметричны относительно оси $x$ в декартовых переменных и относительно $q_{1}$ в канонических.

Хорошо известен результат о том, что если траектория ортогонально пересекает ось симметрии в моменты времени $t=0$ и $t=\frac{T}{2}$, тогда траектория является периодической с периодом $T$.

Вообще, найти $T$-периодическую орбиту автономной системы $\dot{x}=$ $=f(y)$, проходящую через точку $x_{0}$, означает найти нули функции $F\left(x_{0}\right)=$ $=\varphi\left(T, x_{0}\right)-x_{0}=0$, где $\varphi\left(t, x_{0}\right)-$ решение, стартующее в $x_{0}$ при $t=0$. Также поиск $T$-периодической орбиты эквивалентен нахождению неподвижной точки $\mathscr{P}\left(x_{0}\right)$ отображения Пуанкаре, связанного с сечением $\Sigma$, трансверсальным потоку, которая соответствует траектории $\varphi\left(t, x_{0}\right)$. По заданным $\Sigma$ и $\mathscr{P}\left(x_{0}\right)$ нам, как и ранее, нужно найти $x \in \Sigma$, такую что
\[
F\left(x_{0}\right)=\left(\varphi\left(t, x_{0}\right) \cap \Sigma\right)-x_{0}=\mathscr{P}\left(x_{0}\right)-x_{0}=0 .
\]

Уравнение (22) может быть рассмотрено, как задача продолжения по гомотопии. Более детально см. [14].

Рассмотрим начальные условия $\left(Q_{1}^{0}, 0,0, p_{2}^{0}\right)$ с $\dot{P}_{2}>0$. Они соответствуют точке на сечении Пуанкаре $Q_{2}=0$ ( $\left.H=h, \dot{Q}_{2}>0\right)$, лежащей на орбите ортогонально пересекающей ось $Q_{1}$ (так как $P_{1}=0$ ). Найдем следующее пересечение орбиты с плоскостью сечения через половину периода, когда снова будет выполняться $P_{1}=0$. При этом используется предикторкорректорный метод для решения уравнения продолжения. Как уже было замечено, в силу симметрий п.о. можно сократить вычислительные затраты и интегрировать только до половины периода. Этот метод применяется в регуляризованных переменных, а результаты можно перевести в синодические координаты, используя (7)-(9) и (11). В регуляризованных переменных дополнительное преимущество можно получить, используя факт удвоения углов. Симметричные относительно оси $q_{1}$ в декартовых координатах п.о., начинающиеся в точке $q_{2}=0, \dot{q}_{2}>0$, можно искать, стартуя с точки $Q_{2}=$ $=0, \dot{Q}_{1}=0, \dot{Q}_{2}>0$, и следя за пересечением с $Q_{1}=0$ при $\dot{Q}_{2}>0$. Используя симметрии, нужно помнить, что для выяснения устойчивости п.о. необходимо использовать полную матрицу монодромии. Эта матрица получается как композиция матрицы, соответствующей половине периода, и обратной к симметричной ей матрице. Заметим также, что как следствие сингулярного масштабирования, мы фактически имеем две гамильтоновы системы, и надо быть очень осторожным при продолжении решений по энергии через $c_{H}=0$.

Полученные орбиты уже были найдены Хеноном в [10] как часть серии численных исследований ОЗТТ. Тем не менее, в этой работе не представлена явная связь между инвариантными многообразиями и КАМ-структурой.

Рис. 8. Проекции на плоскость $(x, y)$ некоторых ляпуновских п.о., которые образуют центральное многообразие $L_{1}$. П.о., соответствующие $L_{2}$, можно получить с помощью симметрии. При $c_{h} \rightarrow \infty(h \rightarrow 0)$ ляпуновские п.о. асимптотически стремятся к столкновительным орбитам. Пунктирной линией обозначена ляпуновская орбита, соответствующая уровню $c_{H}=0$.

На рис. 8 показаны некоторые .япуновские п.о. из семейства, порожденного $L_{1}$, в проекции на плоскость $(x, y)$, т.е. в физических декартовых переменных. Однопараметрическое множество таких орбит образует центральные многообразия, связанные с точками либрации. Так как $L_{1}$ и $L_{2}$ симметричны относительно $Q_{2}$, то п.о. вокруг $L_{2}$ можно получить, применив преобразование симметрии к таким же орбитам вокруг $L_{1}$. Пунктиром на рисунке обозначена ляпуновская орбита при $c_{H}=0$ и, как было замечено в предыдущем разделе, у нее нет никаких особенностей. Четыре наибольшие орбиты соответствуют отрицательным значениям $c_{H}$, а именно, $-0.51629634,-0.94984956,-1.5681896,-1.9804931$, тогда как первые четыре орбиты, следующие за орбитой с $c_{H}=0$, соответствуют следующим значениям интеграла Якоби: $c_{H}=0.27707190,0.61869355,1.0537016$ и 1.5112690.

На рис. 9 показаны характеристические кривые (т.е. кривые, демонстрирующие некоторые характеристики п.о., позволяющие восстановить орбиту по энергии или другому первому интегралу) некоторых семейств п.о., которые в физических переменных замыкаются после одной или двух петель. По вертикали откладывается начальное значение физической пере-

Рис. 9. Некоторые их основных п.о. сечения Пуанкаре единичного периода. На вертикальной оси изображается начальное или конечное значение координаты $x$ периодической орбиты, полученное численным продолжением. На горизонтальной оси откладывается значение интеграла Якоби. Семейства $l_{1}, l_{2}$ и $e$ асимптотически стремятся к столкновениям

менной $x$, а по горизонтали – значение $c_{H}$. Ляпуновские орбиты $l_{1}$ и $l_{2}$ стартуют сразу же после размыкания КНС вблизи $L_{1}$ и $L_{2}$ соответственно, это происходит при $c_{H}=4.3267487$ ( $h=\frac{1}{18}$ ). На рисунке изображается «наиболее левое» пересечение орбит с осью $x$, поэтому можно оценить расстояние между ляпуновскими орбитами. Как видно из рисунка, они асимптотически стремятся к столкновительным траекториям при $c_{H} \rightarrow-\infty$.

Другое важное семейство п.о. – это $e$-семейство, которое устойчиво при больших значениях $c_{H},(h \rightarrow 0)$. Траектория нашей Луны [10] принадлежит к этому семейству с $c_{H}=6.54034$ ( $h=0.029893$ ) и $0.016769<$ $x<0.18717$, то есть выходит за правую границу нашего рисунка. Это семейство, как было показано в п. 4, становится неустойчивым проходя через бифуркацию типа «вилки» при $c_{H}=4.4999874$ ( $\left.h=0.0523785\right)$, образовавшиеся при бифуркации орбиты имеют периоды, близкие периоду исходной орбиты, а неустойчивая бифурцировавшая ветвь $e i$ может быть продолжена к столкновительным траекториям при $c_{H} \rightarrow-\infty$.

Две устойчивые ветви после потери устойчивости порождают $e^{\prime} i$ семейства. Чтобы сохранить возможность оценки расстояния между орбитами, для каждой ветви снова изображались наиболее левые пересечения с осью $x$. Чтобы получить другое пересечение, достаточно взять отрицательное значение симметричной ветви. На рис. 10 показаны орбиты, принадлежащие правой ветви, начиная от устойчивых орбит семейства ее и заканчивая столкновительными траекториями семейства $e^{\prime} i$. Орбиты, принадлежащие левой ветви, могут быгь получены с помощью симметрии. Таким образом, существуют две орбиты, которые стремятся к столкновительным при одних и тех же значениях энергии. Обе орбиты могут быть продолжены и дальше, но при этом скорость становится перпендикулярной оси $x$ только после второго пересечения оси $x$, т.е. они становятся орбитами периода 2. Тем не менее, в ЛЧ переменных, благодаря удвоению углов, эти орбиты, как и раньше, располагаются через $T / 2$. И фактически, они могут быть продолжены до второй столкновительной траектории при $c_{H} \rightarrow-\infty$. После удвоения периода пересечение оси $x$, отвечавшее за столкновение, удаляется от второго тела, а второе пересечение орбитой оси $x$ асимптотически стремится к столкновению, как показано на рис. 9.

Рис. 10. Некоторые орбиты $e^{\prime} i$-семейства, начиная с окрестности их ответвления от ее и до столкновительных траекторий. Левая ветвь может быть получена с помощью отражения относительно начала координат

Отметим, что главные бифуркации происходят в окрестности значения энергии, при котором размыкается КНС.

И, наконец, существует еще $e r$-семейство, которое устойчиво для всех значений $c_{H}$ (исключая, разумеется, резонансы 1-3). Это семейство соответствует левой неподвижной точке на сечениях Пуанкаре (рис. 4 и 7). Устойчивость этой орбиты, как было показано в п. 4, и изменение топологии инвариантных многообразий ляпуновских п. о. ответственны за сохранение КАМ-структуры. Данный вопрос будет обсуждаться в п. 8.