Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Следующая проблема не является чисто математической, она лежит на пересечении экономики и математики. Она решена только в довольно ограниченных ситуациях и может быть сформулирована следующим образом.
Расширить математическую модель общей теории экономического равновесия, включив в нее корректирование цен.
В экономике существует (статическая) теория равновесия цен, разработку которой начал Вальрас, а далее развили Эрроу и Дебре (см. [14]). Для тривиального случая одного рынка она приводит к уравнению «предложение равняется спросу», и легко обнаруживает естественную динамику [49]. Для нескольких рынков ситуация уже более сложная.
Рассмотрим функцию из пространства цен в пространство товаров $Z(p)=D(p)-S(p)$, называемую избыточным спросом. Как спрос $D$, так и предложение $S$ определяются объединением вкладов отдельных экономических факторов. Условия индивидуального поведения обосновываются с экономической точки зрения и приводят к некоторым аксиомам для $Z$. Эти аксиомы для отображения избыточного спроса $Z: \mathbb{R}_{+}^{\ell} \rightarrow \mathbb{R}^{\ell}$ следующие:
1. $Z(\lambda p)=Z(p)$, для всех $p=\left(p_{1}, \ldots, p_{\ell}\right), p_{i} \geqslant 0, \lambda \in \mathbb{R}, \lambda>0$.
2. $\sum_{i=1}^{\ell} p_{i} Z_{i}(p)=0$, закон Вальраса (суммарное значение нуль).
3. $Z_{i}(p)>0$, если $p_{i}=0$ (положительный спрос для бесплатного товара).
Исходя из свойств 1,2 и 3 функцию $Z$ можно интерпретировать как векторное поле на пересечении ( $\ell-1$ )-мерной сферы с положительным ортантом, направленным внутрь на границе. Существование вектора равновесных цен $p^{*}$ следует из теоремы Хопфа, так что $Z\left(p^{*}\right)=0$, и в равновесии «предложение равняется спросу».
Восьмая проблема требует формулировки динамической модели, структуру которой составляют векторы цен (возможно, расширенные таким образом, чтобы они включали другие экономические переменные). Эту теорию следует сравнить с существующей теорией равновесия. Одна из наиболее желаемых особенностей – получить динамику цен во времени при действии отдельных экономических факторов.
Я работал над этой проблемой в течение нескольких лет, чувствуя, что она составляет главную задачу экономической теории [61]. Основную информацию по данной задаче можно найти в [63].
