На рис. 3 изображена подборка хореографий различных форм. Они иллюстрируют множество возможных хореографий. Наиболее простым семейством являются цепочки. Мы уже видели случаи для трех, четырех и пяти тел. На рис. 1, рис. 2.1-2.4 и на рис.3.1-3.7 хореографии являются линейными прямыми цепочками (лпц) с симметрией $Z_{2}$ без сгибания петель. Их можно рассматривать как ограничение сцепления $k$ топологических дисков. Каждое звено цепочки между двумя последовательными двойными точками назовем пузырьком. Выберем порядок нумерации цепочки двойных точек, скажем, слева направо. Соответствующие длины можно расположить в возрастающей последовательности $0 \equiv\left[l_{0}\right]<\left[l_{1}\right]<\ldots\left[l_{k-1}\right]<\left[l_{k}\right] \equiv N-1$, выбрав в качестве длины либо длину петли, либо дополнительную к ней длину. Вращение на угол $\pi$ дает эквивалентную цепочку. Первые пять графиков на рис. 3 имеют $N=11$ и показывают только несколько возможных случаев для этого $N$. Интересным является вопрос о возрастании числа лии $\gamma(N)$ как функции $N$. В качестве лиц мы также включаем и $N$-угольник. Последовательные разности $b_{j}:=\left[l_{j}\right]-\left[l_{j-1}\right], j=1, \ldots, k, 1 \leqslant k \leqslant m$ задают разбиение $m=N-1$. Значение $b_{j}$ измеряет $j$-й пузырек. Пусть $D(m)-$ общее число разбиений, считая, что разбиение $b_{1}=1, b_{2}=2$ отлично от $b_{1}=2, b_{2}=1$. Тогда $D(1)=1, D(2)=2, D(3)=4$.

Пусть $b_{1}, \ldots, b_{k}$ – разбиение $m$, тогда $b_{1}, \ldots, b_{k}, 1$ и $b_{1}, \ldots, b_{k}+1$ – разные разбиения $m+1$. Таким образом, можно получить все разбиения $m+1$, следовательно, $D(m)=2^{m-1}$. Пусть $D_{s}(m)$ – симметрические разбиения: $b_{1}=b_{k}, b_{2}=b_{k-1}, \ldots, b_{k / 2}=b_{k / 2+1}$, если $k$ четное и $b_{(k+1) / 2}$ произвольное, если $k$ нечетное. Если $m$ – четное, тогда $D_{s}(m)=D(m / 2)=2^{m / 2-1}$, тогда как для нечетного $m D_{s}(m)=1+D(1)+\ldots+D((m-1) / 2)=2^{(m-1) / 2}$. Поскольку $\gamma(N)=\frac{1}{2}\left(D(N-1)-D_{s}(N-1)\right)+D_{s}(N-1)$, то мы доказали
Утверждение 5.1. Для $N \geqslant 3$ выполняется $\gamma(N)=2^{N-3}+2^{[(N-3) / 2]}$. Другие хореографии включают внутренние петли (рис.3.9, 3.10); имеют бифуркационные цепочки (рис. 3.8); выглядят, как цветок (3.11-3.14) или как цветок, заключенный в круг (рис.3.15). Более экзотическими являются случаи 3.17 и 3.18 с $N=7$ и $N=6$ соответственно, которые не имеют

Рис. 3. Подборка различных хореографий

никакой симметрии. Случаи 3.13 и 3.14 подобны, но в 3.14 есть очень малые петли, где происходит прохождение вблизи столкновения. Отметим, что ни одно такое решение, с петлями во внутренней части, не найдено.
Все найденные хореографии, за исключением восьмой, неустойчивы.