Из предыдущего эксперимента может возникнуть ложное впечатление, что гиперболическая структура внутри хаотической области является довольно простой и регулярной, но это впечатление неверно. Могут возникать спорадические нерегулярности. Происхождение этих нерегулярностей может быть описано следующим образом. При переходе от $n$ итерации к $n+1$ линии складок нового поколения, т. е. $n+1$ итерации, создают более тонкую сеть, чем линии $n$-ой итерации. На рис. 9 показан эффект отображения $F$ на квазипересечении двух линий складок. Для этого рисунка было выбрано $g=2.1$. На рис. 9а мы начертили различные линии уровня аргумента $\xi_{2}$, образа исходного слоения $\xi_{0}$ при $n=2$. В частности, две линии складок, соответствующие значению аргумента $\pi / 2$, отмечены стрелочками. Аналогичные линии для $\xi_{3}$ показаны на рис. $9 \mathrm{~b}$, они гораздо сильнее сжаты в вертикальном направлении и растянуты в горизонтальном (в обоих случаях с коэффициентом $\lambda$ ). Для полноты образы линий из рис. 9а при действии отображения $F$ показаны на рис. 9c для того же самого участка поверхности, что и на рис. $9 \mathrm{~b}$. Ввиду формулы (4) линии аргумента $\pi / 2$ на рис. 9а превратились в линии нулевого аргумента на рис. $9 \mathrm{c}$. В действительности рис. 9 дает информацию о значении аргумента $\vec{X}_{n}(p)$, определенного выражением (8), а не просто аргумента $\xi_{n}$.

Рисунок 9 показывает также, как в некотором смысле под действием отображения сложные неустойчивые конфигурации переходят в простые устойчивые элементы. Среди них можно обнаружить так называемую каспсингулярность, где пересекаются две линии складок. Касп-сингулярность (см. рис. 10) является устойчивой, т. е. она не уничтожается последующими итерациями. Локальная модель слоения вблизи пересечения задается интегральными линиями векторного поля ( $\left.\xi+\frac{1}{2} \eta^{2}\right) \frac{\partial}{\partial \xi}+\frac{\partial}{\partial \eta}$. Экспериментально известно, что две касп-сингулярности: одна для $\xi_{n}$, а другая для $\xi_{-n-1}$ при встрече могут создать остров. Мы проиллюстрируем это явление с помощью той же самой модели (3), где $f(x)=\cos 2 \pi x$ и $g=2.1602$. Значение параметра $g$ было подобрано так, чтобы произошло такое пересечение. Точка в центре острова остается эллиптической (или эллиптической остается некоторая точка, бифурцирующая из нее) при $g$, лежащем приближенно между 2.16014 и 2.16083.

На рис. 11а можно увидеть встречу двух касп-сингулярностей при большом увеличении. Для всех частей рис. 11 использовалось значение $\delta=0.25$. Число итераций $n=7$. На втором рисунке изображена та же самая область, но при $n=30$. На нем заметен остров, окруженный морем хаоса. Легко проверить, что остров имеет период 8 и координаты центральной точки $x=$ $=y=a \simeq 0.8595591975$. Значение $a$ удовлетворяет следующему условию: Пусть $(a, a)$ – начальная точка, а $(b, a)$ и $(c, b)$ – соответственно вторая и третья итерации. Тогда должно выполняться $b+c=1 / 2(\bmod 1)$. Симметрии $f$ в нашем случае ( $f(-x)=f(x), f(x+1 / 2)=-f(x)$ ) влекут, что $(a, a)$ имеет период 8 , периодическая траектория симметрична относительно диагонали $x=y$ и также относительно точки ( $1 / 4,1 / 4)$. Кроме того, точка $\left(a^{\prime}, a^{\prime}\right)$, где $a^{\prime}=b-1 / 2(\bmod 1)$, также приводит к симметричной 8 -периодической траектории с теми же собственными значениями. Ее мы будем называть «сопутствующей траекторией» для первой траектории. Из

Рис. 10. Геометрия вблизи касп-сингулярности. Две линии складок (изображенные прерывистыми линиями и образующими вместе некоторого рода параболу) пересекаются. Заштрихованная область соответствует точкам, для которых аргумент $\vec{X}_{n}(p)$ близок к $\pi / 2$

точек первой траектории $\left\{\left(x_{j}, y_{j}\right), j=1, \ldots, 8\right\}$ можно получить точки сопутствующей траектории $\left\{\left(u_{j}, v_{j}\right), j=1, \ldots, 8\right\}$ по формулам $u_{j}=-x_{j}$, $v_{j}=y_{j}-1 / 2$, но они переходят друг в друга в другом порядке под действием отображения $F$. На рис. 11с показано увеличенное изображение предыдущего рисунка. Число итераций увеличено до 240. Области, окрашенные разными цветами вокруг эллиптической периодической точки, показывают изменение числа вращения (оно уменьшается), когда мы движемся от периодической точки к границе острова. «Последняя» инвариантная кривая имеет малое число вращения (строго меньше $1 / 9$ ) и рядом с ней расположены две гиперболические периодические точки периода 8. Подходящие ветви сепаратрис этих двух точек близки к «последней» инвариантной кривой (практические методы аппроксимации этой кривой см. в [17]).

На рис. $11 \mathrm{~d}$ изображены некоторые траектории вокруг периодической эллиптической точки. Траектория точки, лежащей вблизи острова (сдвинутой по координатам $x, y$ на $3.2 \times 10^{-5}$ относительно периодической точки), порождает море хаоса, которое, похоже, покрывает все фазовое пространство, т. е. весь тор. Точнее, если на всей области $[0,1] \times[0.1]$ используется сетка $4500 \times 4500$ пикселов, то все ячейки содержат точки траектории после

Рис. 11. Встреча двух касп-сингулярностей и остров при $g=2.1602$ : а) $n=7$ область $\left[0.860115 \pm 1.811 \times 10^{-3}\right] \times\left[0.860036 \pm 1.811 \times 10^{-3}\right]$. b) область, как и в a), но $n=30$, показано возникновение острова. Квадрат, отмеченный внутри рисунка, соответствует рисунку с), а на рисунке f) показан участок поверхности, расположенный около центра отмеченной окружности. с) Увеличение области, отмеченной на b) $n=240$, центральная точка (периода 8) с $x=y=0.8595591975$. Ширина равна $2.4 \times 10^{-4}$. d) то же что и на с), но внутри острова показаны траектории. е) итерации точки $x=y=0.8595911975$ вблизи границ острова с внешней стороны попадают в квадрат ширины $2 \times 10^{-3}$ вокруг периодической точки. Используется в общей сложности $2.5 \times 10^{11}$ итераций. Также приближенно изображена «последняя» инвариантная кривая с начальной точкой $x=y=0.8595908098$. f) Структура, подобная шахматной доске с $n=20$, изображена на квадрате с центром $x=y=0.86$ и шириной $10^{-12}$

Рис. 12. Слева: гистограмма ошибок относительно равномерного разбиения для моделирования, упомянутого в тексте. Соответствующая (масштабированная) функция плотности нормального распределения с теоретической дисперсией также изображена на рисунке. Справа: логарифм экспериментального (непрерывная линия) и теоретического (прерывистая линия) числа «пустых» прямоугольников из общего числа $30720 \times 30720$ прямоугольников как функция от числа прямоугольников для $2.5 \times 10^{8}$ итераций
$4 \times 10^{8}$ итераций (это может также зависеть от арифметики с плавающей точкой). Это свидетельствует о том, что не существует островов с шириной на много большей, чем у острова, изображенного на рис. 11 для данного значения $g$ (см. в дальнейшем описание заключительного эксперимента). Было проведено более длительное моделирование, начинающееся с той же точки и использующее $n=2.5 \times 10^{11}$ итераций. На рис. 11 е изображена часть этой траектории, лежащая в прямоугольнике вокруг периодической точки. Для сравнения изображена приближенная последняя инвариантная кривая, чья начальная точка также лежит на диагонали. Ошибки арифметики с плавающей точкой играют значительную роль, но итерации не должны входить внутрь островов. На рис. 11е изображены итерации, попадающие в область $\left[a \pm 10^{-3}\right] \times\left[a \pm 10^{-3}\right]$, где $a$ было задано ранее. В принципе, если не учитывать наличие острова, то при возникновении точного равномерного разбиения $10^{6}$ итераций должны попасть в область. В проведенном нами моделировании это число равнялось 997171, что показывает примечательную точность. (И опять это зависит от компьютерной арифметики, операционной системы, компилятора и программы.) В качестве дополнительной проверки полное фазовое пространство было разделено на $100 \times 100$ квадратов вида $[i / 100,(i+1) / 100] \times[j / 100,(j+1) / 100], i, j=$

$=0, \ldots, 99$. Записывалось число итераций, попадающих в каждый квадрат. Для равномерного распределения получается среднее значение $2.5 \times 10^{7}$ итераций на квадрат. Наибольшие наблюдавшиеся отклонения среди $10^{4}$ квадратов были равны -22949 и +18762 . И вновь очень хорошее согласование с предположением эргадичности относительно меры Лебега в море хаоса. На рис. 12 (слева) показана гистограмма распределения ошибок относительно среднего значения. Каждый интервал на этом рисунке имеет ширину 500 точек. В качестве вертикального значения изображалось число квадратов, для которых ошибка укладывается в этот интервал (без деления этого значения на 500). Полученные данные близки к теоретическому значению, которое приближенно равно $10^{4} \times 500$, умноженному на нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартной дисперсией $\left[2.5 \times 10^{11} \times 10^{-4} \times\left(1-10^{-4}\right)\right]^{\frac{1}{2}}$.

И, наконец, заключительный эксперимент, проходивший во время этого моделирования: весь прямоугольник был разделен на $B=30720 \times 30720$ равных квадратов аналогично сетке $100 \times 100$, обсуждавшейся выше. После того, как итерация попадала в квадрат, он отмечался как «заполненный». После каждого блока из $2.5 \times 10^{8}$ итераций, записывалось экспериментальное число «пустых» квадратов $E^{E}$. Согласно распределению Пуассона теорстическое число пустых квадратов после $N$ итераций дается формулой $E_{T}=B \exp (-N / B)$. На рис. 12 справа показаны логарифмы экспериментального и теоретического значений $E_{E}$ и $E_{T}$ как функции от числа блоков итераций. Для начальных блоков мы видим точное совпадение. В конце экспериментальное значение стабилизировалось на значении 29 квадратов. Они соответствуют квадратам внутри островов. Были обнаружены лишь острова периода 8 , описанные выше, и «сопутствующие острова». Более того, не все из 16 островов могут быть «замечены» при изучении пустых квадратов, поскольку некоторые из них очень узкие ( $<10^{-5}$ ), только 4 из них были замечены.

Чтобы убедиться, что море хаоса имеет гиперболическую структуру, имеющую аналогичный тип, что и структура, которую мы видели в п. 4 на рис. $11 \mathrm{f}$, мы увеличили маленький квадрат, расположенный на рис. $11 \mathrm{~b}$ вокруг центра отмеченной окружности. Мы выбрали $n=20$ и достаточно маленькую ширину ( $10^{-12}$ ). Каждое увеличение $n$ соответствует подходящему уменьшению размеров квадрата. На рис. $11 \mathrm{f}$ центральная точка лежит на диагонали, но аналогичное поведение было получено также и для произвольных точек (см. следующий параграф).