В статье рассматривается плоская задача Хилла, которая является предельным случаем ограниченной задачи трех тел (ОЗТТ). Изменение масштаба, зависящее от отношения масс $\mu$, или, точнее, от $\mu^{1 / 3}$, позволяет записать гамильтониан ОЗТT в $O\left(\mu^{1 / 3}\right)$ окрестности второго тела в виде ряда по степеням $\mu^{1 / 3}$. Устремляя $\mu^{1 / 3}$ к нулю, мы получаем предельную задачу, которая и является задачей Хилла. В этом случае масса второго тела равняется единице, первое тело удаляется на бесконечнсть и его масса также увеличивается до бесконечности. Таким образом, его действие сводится к действию поля постоянных сил. Кроме того, из-за использования вращающейся системы отсчета присутствует также сила Кориолиса.

С помощью регуляризации Леви-Чевита можно получить полиномиальный гамильтониан, что очень удобно для численных расчетов, а также для избежания трудностей, связанных с наличием сингулярностей в исходном гамильтониане. Описание регуляризации дано в п. 2. Полиномиальный гамильтониан регуляризованной задачи Хилла имеет форму двух несвязанных гармонических осцилляторов с одинаковой частотой (которые соответствуют регуляризованной задаче Кеплера), возмущенных полиномиальными членами. Члены четвертого порядка возникают из-за действия силы Кориолиса вследствие замены инерциальной системы отсчета, связанной с центром масс, на вращающуюся (синодическую), связанную со вторым телом. Система, соответствующая гамильтониану, содержащему члены только до четвертого порядка, интегрируема. Члены шестого порядка, описывающие действие первого тела, нарушают интегрируемость системы. Тем не менее, авторы не знакомы с каким-либо аналитическим доказательством этого факта для плоского случая.

Хорошо известно, что ОЗТТ имеет пять точек равновесия, две треугольные $L_{4}$ и $L_{5}$ и три коллинеарные $L_{1}, L_{2}$ и $L_{3}$. В задаче Хилла остаются только две из них, а именно $L_{1}$ и $L_{2}$, и они симметричны относительно второго тела. КНС замкнута (что подразумевает наличие финитных траекторий) только при энергиях, меньше критической $h=\frac{1}{18}$, которая соответствует двум точкам либрации. Для $h>\frac{1}{18}$ КНС теряет замкнутость и существование ограниченых движений в этом случае является одним из ключевых результатов статьи.

В п. 3 исследуются некоторые свойства задачи Хилла, такие как поведение вблизи неподвижных точек. Для малых значений энергии видно, что финитное движение достаточно близко к интегрируемому. Это первоначальное исследование продолжено в п. 4 , в котором представлено несколько сечений Пуанкаре и обсуждаются некоторые периодические орбиты.

Периодические орбиты (здесь и далее п.о.) играют ключевую роль в понимании динамики. В работе описаны прямые и обратные п.о., то есть такие, для которых проекция фазовой траектории на конфигурационное многообразие двигается против и по часовой стрелке соответственно. Большинство ключевых п.о. симметричны в силу обратимости задачи. П. 5 посвящен п.о. Ляпунова, рождающимся вблизи $L_{1}$ и $L_{2}$ и другим хорошо известным семействам п.о.

Далее мы сосредоточимся на области ограниченных движений при $h<\frac{1}{18}$ (см. п. 6). Для малых $h$ движение очень близко к задаче Кеплера во вращающейся системе отсчета и поэтому носит в основном интегрируемый характер. Для численной оценки неинтегрируемости используются оценки остатка нормальной формы (см., например, [7]). В этой области также естественным образом появляются классические п.о. Хилла. При увеличении энергии хилловские прямые п.о. бифурцируют, рождая соответствующее семейство п.о. Ключевая особенность поведения системы в этом интервале энергий – появление незакручивающих инвариантных кривых. Это происходит благодаря тому, что отображение Пуанкаре вблизи прямых хилловских п.о. не является закручивающим. Слабое закручивание также является одним из источников стохастичности. Оказывается, что этот эффект гораздо более ощутим, чем потеря устойчивости хилловской прямой п.о. В качестве количественного критерия нерегулярности численно рассчитаны максимальные показатели Ляпунова. Раздел 6 завершается кратким описанием глобальной динамики.

При достижении критической энергии $h=\frac{1}{18}$, появляются точки либрации, являющиеся точками типа седло-центр. Существуют также центральные многообразия, соответствующие мнимым собственным значениям и образованные ляпуновскими орбитами. Эти орбиты могут быть получены аналитически с помощью классического метода продолжения по параметру Линдштедта-Пуанкаре. Используя численную глобализацию, из этих орбит мы получаем центральные устойчивые (неустойчивые) многообразия для $L_{1}$ и $L_{2}$. Фактически, благодаря симметрии гамильтониана нам нужно определить только одно из этих многообразий и, применив симметрию, получить другое. Рассматриваются ветви многообразий, которые покидают окрестность $L_{1}$ и $L_{2}$ по направлению ко второму телу. Остальные ветви всегда неограничены. Инвариантные многообразия ляпуновских п.о. на подходящих уровнях $h$ обнаруживают различные гомо- и гетероклинические пересечения. Показано существование пересечения ляпуновских орбит и прямых п.о. Хилла. Эти многосбразия и их пересечения обсуждаются в разделе 7.

Для $h$, немного бо́льших $\frac{1}{18}$, благодаря существованию КАМ-торов присутствует большая область финитного движения. В частности, КАМторы предотвращают существование столкновительных орбит, идущих из окрестности ляпуновских решений. Появляются они вокруг обратных п.о. Хилла, которые линейно устойчивы для всех $h$. П. 8 посвящен разрушению КАМ-торов при дальнейшем увеличении $h$. Соответствующие сечения Пуанкаре проясняют взаимодействие между центральными устойчивыми/неустойчивыми многообразиями, обсуждавшимися в предыдущем абзаце, и разрушением инвариантных КАМ-торов, окружаюпих второе тело.

Основные характерные черты задачи Хилла появляются также и в ОЗТT при малых значениях массового параметра $\mu$. Из этого вытекает множество следствий важных как для приложений к расчетам космических полетов, так и для понимания особенностей движения комет и астероидов. Эти соображения представлены в п. 9, вместе с дальнейшим приложением к динамике ОЗТT, которое является следствием результатов этой статьи и уже известных результатов. Краткое изложение результатов и их перспектив приведено в последнем разделе.