Получим оценки на $U$ и $K$, из которых после установления симметрии полной периодической траектории (следующей из того, что периодическая орбита, построенная на основе минимизирующей траектории, неизбежно имеет нулевое среднее) можно получить оценки на $I$ и $J$.
Пусть
\[
I_{0}=\left(\frac{5}{\sqrt{2} \ell_{0}^{2}}\right)^{\frac{2}{3}} T^{\frac{4}{3}}, \quad U_{0}=K_{0}=\frac{\ell_{0}^{2} I_{0}}{T^{2}}
\]
определены как выше и
\[
\begin{array}{c}
H_{0}=\frac{1}{2} K_{0}-U_{0}=-\frac{1}{2} U_{0}, \quad a=\left(\frac{1}{2} K_{0}+U_{0}\right) T=\frac{3}{2} U_{0} T=-3 H_{0} T, \\
J_{0}=\sqrt{I_{0} K_{0}} .
\end{array}
\]
Пусть $\langle f\rangle=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) d t$ – математическое ожидание (среднее значение) функции $[0, T] \rightarrow R$.
Лемма 7. Минимизирующая траектория удовлетворяет следующим оценкам:
\[
\langle U\rangle=\langle K\rangle<U_{0}=K_{0}, \quad H>H_{0}, \quad\langle I\rangle<\frac{36 \ell_{0}^{2}}{\pi^{2}} I_{0}, \quad\langle|J|\rangle<\frac{6 \ell_{0}}{\pi} J_{0} .
\]
Доказательство леммы 7. Вследствие того, что энергия сохраняется почти везде на минимизирующей траектории ${ }^{3}$, такая траектория $x$ имеет действие
\[
\mathcal{A}(x)=H T+2\langle U\rangle T<a=H_{0} T+2 U_{0} T .
\]
Исходя из тождества Лагранжа-Якоби $\dot{J}=\frac{1}{2} \ddot{I}=2 H+U=K-U$, получим
\[
\langle K\rangle-\langle U\rangle=J(T)-J(0) .
\]
Вследствие симметрии минимизирующей траектории $J(T)=J(0)=0$ (заметим, что возможное наличие двойного столкновения в конце траектории не изменило бы это обстоятельство, потому что тогда $J(t)$ вело бы себя как $(T-t)^{\frac{1}{3}}$, которое равно нулю при $t=T$ ). Это означает
\[
\langle K\rangle=\langle U\rangle=-2 H,
\]
так что
\[
\mathcal{A}(x)=-3 H T<a=-3 H_{0} T, \quad \text { следовательно } H>H_{0} .
\]
Из этого непосредственно вытекают неравенства относительно $\langle U\rangle$ и $\langle K\rangle$.
Для ограничения $\langle I\rangle$ заметим, что по построению наш $x$ имеет нулевое среднее (в $\mathcal{X}$ ) по полному периоду $12 T$. По лемме Пуанкаре это означает $\langle K\rangle>\frac{4 \pi^{2}}{(12 T)^{2}}\langle I\rangle$ и, следовательно, мы получаем оценку на $\langle I\rangle$.
Наконец, неравенство Зундмана $I K-J^{2} \geqslant 0$ дает границу для $\langle|J|\rangle$.
Численное вычисление действия К. Симо
К. Симо получил следующие численные оценки различных важных действий. Период здесь взят равным $T=2 \pi / 12$.
\[
\begin{array}{c}
A_{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2 / 3} \frac{\pi}{2}=2.0583255 \ldots, \\
a=A(\text { test })=\left(225 \pi \ell_{0}^{2} / 32\right)^{1 / 3}=2.0359863 \ldots, \\
A_{\min }=A(\text { решение })=2.0309938 \ldots
\end{array}
\]
${ }^{3}$ Этот классический результат можно доказать, вычислив изменение действия за счет изменения параметризации.
Интересно отметить, что действие любого элемента $\Lambda$, испытывающего тройное столкновение, намного выше. Несомненно, неравенство Зундмана означает, что оно выше действия $A_{3}$ равностороннего гомотетичного решения от столкновения к нулевой скорости. Это последнее действие определено той же формулой, что и $A_{2}$, при этом полагается $\tilde{U}_{3}=3$, а в выражение для $\tilde{U}$ в равносторонней конфигурации подставляется $\tilde{U}_{2}=1 / \sqrt{2}$. Таким образом, получаем
\[
A_{3}=(3 \sqrt{2})^{\frac{2}{3}} \times A_{2}=5.39433 \ldots
\]
