Получим оценки на $U$ и $K$, из которых после установления симметрии полной периодической траектории (следующей из того, что периодическая орбита, построенная на основе минимизирующей траектории, неизбежно имеет нулевое среднее) можно получить оценки на $I$ и $J$.
Пусть
$$I_0={\left(\frac{5}{\sqrt{2}{\ell }_0^2}\right)}^{\frac{2}{3}}{T}^{\frac{4}{3}},U_0=K_0=\frac{{\ell }_0^2{I}_0}{T^2}$$

определены как выше и
$$\begin{array}{c}{H}_0=\frac{1}{2}{K}_0-U_0=-\frac{1}{2}{U}_0,a=(\frac{1}{2}{K}_0+U_0)T=\frac{3}{2}{U}_{0}T=-3H_{0}T,\\ J_0=\sqrt{I_0{K}_0}.\end{array}$$

Пусть $⟨f⟩=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt$ — математическое ожидание (среднее значение) функции $[0,T]\to R$.

Лемма 7. Минимизирующая траектория удовлетворяет следующим оценкам:
$$⟨U⟩=⟨K⟩<U_0=K_0,H>H_0,⟨I⟩<\frac{36{\ell }_0^2}{{\pi }^2}{I}_0,⟨|J|⟩<\frac{6{\ell }_0}{\pi }{J}_0.$$

Доказательство леммы 7. Вследствие того, что энергия сохраняется почти везде на минимизирующей траектории ${}^3$, такая траектория $x$ имеет действие
$$\mathcal{A}(x)=HT+2⟨U⟩T<a=H_{0}T+2U_{0}T.$$

Исходя из тождества Лагранжа-Якоби $\dot{J}=\frac{1}{2}\ddot{I}=2H+U=K-U$, получим
$$⟨K⟩-⟨U⟩=J(T)-J(0).$$

Вследствие симметрии минимизирующей траектории $J(T)=J(0)=0$ (заметим, что возможное наличие двойного столкновения в конце траектории не изменило бы это обстоятельство, потому что тогда $J(t)$ вело бы себя как $(T-t{)}^{\frac{1}{3}}$, которое равно нулю при $t=T$ ). Это означает
$$⟨K⟩=⟨U⟩=-2H,$$

так что
$$\mathcal{A}(x)=-3HT<a=-3H_{0}T,\text{ следовательно }H>H_0.$$

Из этого непосредственно вытекают неравенства относительно $⟨U⟩$ и $⟨K⟩$.
Для ограничения $⟨I⟩$ заметим, что по построению наш $x$ имеет нулевое среднее (в $\mathcal{X}$ ) по полному периоду $12T$. По лемме Пуанкаре это означает $⟨K⟩>\frac{4{\pi }^2}{(12T{)}^2}⟨I⟩$ и, следовательно, мы получаем оценку на $⟨I⟩$.
Наконец, неравенство Зундмана $IK-J^2⩾0$ дает границу для $⟨|J|⟩$.

Численное вычисление действия К. Симо
К. Симо получил следующие численные оценки различных важных действий. Период здесь взят равным $T=2\pi /12$.
$$\begin{array}{c}{A}_2={\left(\frac{3}{2}\right)}^{2/3}\frac{\pi }{2}=2.0583255\dots ,\\ a=A(\text{ test })={\left(225\pi {\ell }_0^2/32\right)}^{1/3}=2.0359863\dots ,\\ A_{min}=A(\text{ решение })=2.0309938\dots \end{array}$$
${}^3$ Этот классический результат можно доказать, вычислив изменение действия за счет изменения параметризации.

Интересно отметить, что действие любого элемента $\mathrm{\Lambda }$, испытывающего тройное столкновение, намного выше. Несомненно, неравенство Зундмана означает, что оно выше действия $A_3$ равностороннего гомотетичного решения от столкновения к нулевой скорости. Это последнее действие определено той же формулой, что и $A_2$, при этом полагается ${\tilde{U}}_3=3$, а в выражение для $\tilde{U}$ в равносторонней конфигурации подставляется ${\tilde{U}}_2=1/\sqrt{2}$. Таким образом, получаем
$$A_3=(3\sqrt{2}{)}^{\frac{2}{3}}\times A_2=5.39433\dots$$