Пусть $\bar{T}$ – любое положительное вещественное число. Действия группы Клейна $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ на $\mathbb{R} / \bar{T} \mathbb{Z}$ и на $\mathbb{R}^{2}$ определяем следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
\sigma \cdot t=t+\frac{\bar{T}}{2}, \quad \tau \cdot t=-t+\frac{\bar{T}}{2}, \\
\sigma \cdot(x, y)=(-x, y), \quad \tau \cdot(x, y)=(x,-y),
\end{array}
\]

где $\sigma$ и $\tau$ – образующие.
Теорема.Существует плоская петля $q:(\mathbb{R} / \bar{T} \mathbb{Z}), 0 \rightarrow \mathbb{R}^{2}, 0$ в форме «восьмерки» со следующими свойствами:
а) для каждого $t$
\[
q(t)+q(t+\bar{T} / 3)+q(t+2 \bar{T} / 3)=0 ;
\]
б) $q$ эквивариантна относительно действий $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ на $\mathbb{R} / \bar{T} \mathbb{Z} u \mathbb{R}^{2}$, определенных выше:
\[
q(\sigma \cdot t)=\sigma \cdot q(t) \quad \text { и } \quad q(\tau \cdot t)=\tau \cdot q(t) ;
\]
в)петля $x: \mathbb{R} / \bar{T} \mathbb{Z} \rightarrow \hat{\mathcal{X}}$, определенная выражением
\[
x(t)=(q(t), q(t+\bar{T} / 3), q(t+2 \bar{T} / 3)),
\]

имеет нулевой момент количества движения для $\bar{T}$-периодического решения плоской задачи трех тел с равными массами.
Остальная часть статьи посвящена доказательству этой теоремы.

Рис. 2.