Мы были поражены, когда обнаружили, что можно сразу увидеть «блоки» (гипотетической) гиперболической структуры, благодаря применению следующей простой процедуры. Для симметрии будем рассматривать последовательность итераций начального слоения $\xi_{0}$ в обоих направлениях.
\[
\xi_{n}=F^{n} \xi_{0}, \quad \xi_{-n-1}-F^{-n-1} \xi_{0} .
\]
Возьмем ( $-n-1$ )-ую итерацию $\xi_{-n-1}$, симметричную $\xi_{n}$ относительно инверсии $S:(x, y) \rightarrow(y, x)$.
Обозначим через $\vec{e}_{n}^{u}(p)$ касательный вектор к $\xi_{n}$ в точке $p$. Более точно
\[
\vec{e}_{n}^{u}(p)=\left(\begin{array}{l}
e_{n, 1}^{u}(p) \\
e_{n, 2}^{u}(p)
\end{array}\right)=\frac{\vec{X}_{n}(p)}{\left\|\vec{X}_{n}(p)\right\|},
\]
где
\[
\vec{X}_{n}(p)=\left(F^{n}\right)^{\prime}\left(p_{-\imath}\right) \vec{X}_{0}, \quad \vec{X}_{0}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right),
\]
и $p_{-n}=F^{-n}(p)$, и мы используем евклидову норму в $\mathbb{R}^{2}$. Аналогично, пусть $\vec{e}_{n}^{s}(p)$ обозначает единичный касательный вектор к $\xi_{-n-1}$, т. е.
\[
\vec{e}_{n}^{s}(p)=\left(\begin{array}{c}
e_{n, 1}^{s}(p) \\
e_{n, 2}^{s}(p)
\end{array}\right)=\frac{\vec{X}_{-n-1}(p)}{\left\|\vec{X}_{-n-1}(p)\right\|},
\]
где
\[
\vec{X}_{-n-1}(p)=\left(F^{-n}\right)^{\prime}\left(p_{n}\right) \vec{X}_{-1}, \quad \vec{X}_{-1}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array}\right),
\]
и $p_{n}=F^{n}(p)$.
Рассмотрим синус угла $\alpha_{n}(p)$ между векторами $\vec{e}_{n}^{u}(p)$ и $\vec{e}_{n}^{s}(p)$ :
\[
\sin \alpha_{n}(p)=\left|\begin{array}{ll}
e_{n, 1}^{u}(p) & e_{n, 1}^{s}(p) \\
e_{n, 2}^{u}(p) & e_{n, 2}^{s}(p)
\end{array}\right| .
\]
Оказывается, что линии уровня функции (11) показывают некоторую структуру в хаотических областях, которую, очевидно, можно интерпретировать как гиперболическую.
Мы провели несколько экспериментов с моделью (3), выбрав $f(x)=$ $=\cos 2 \pi x$ при различных значениях параметра $g$. Использованную нами процедуру можно назвать процедурой перенормировки. Мы понимаем перенормировку в следующем смысле:
Перенормировка=Детализация + Увеличение числа итераций
Рис. 5. График, соответствующий одной итерации при $g=3.1$ и $\delta=0.5$ в области $[-1.1,1.1] \times[-1.1,1.1]$. Отмечена область, показанная на рис. 6 а
В последующих рисунках мы используем следующие обозначения для цветов: черный для таких $p$, что $\left|\sin \alpha_{n}(p)\right|<\delta$, серый, если $\sin \alpha_{n}(p)>\delta$, и белый, если $\sin \alpha_{n}(p)<-\delta$. Здесь $\delta-$ некоторое граничное значение.
