Мы были поражены, когда обнаружили, что можно сразу увидеть «блоки» (гипотетической) гиперболической структуры, благодаря применению следующей простой процедуры. Для симметрии будем рассматривать последовательность итераций начального слоения ${\xi }_0$ в обоих направлениях.
$${\xi }_n=F^n{\xi }_0,{\xi }_{-n-1}-F^{-n-1}{\xi }_0.$$

Возьмем ( $-n-1$ )-ую итерацию ${\xi }_{-n-1}$, симметричную ${\xi }_n$ относительно инверсии $S:(x,y)\to (y,x)$.
Обозначим через ${\overrightarrow{e}}_n^u(p)$ касательный вектор к ${\xi }_n$ в точке $p$. Более точно
$${\overrightarrow{e}}_n^u(p)=\left(\begin{array}{l}{e}_{n,1}^u(p)\\ e_{n,2}^u(p)\end{array}\right)=\frac{{\overrightarrow{X}}_n(p)}{\Vert {\overrightarrow{X}}_n(p)\Vert },$$

где
$${\overrightarrow{X}}_n(p)={\left(F^n\right)}^{\prime }\left(p_{-ı}\right){\overrightarrow{X}}_0,{\overrightarrow{X}}_0=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right),$$

и $p_{-n}=F^{-n}(p)$, и мы используем евклидову норму в ${\mathbb{R}}^2$. Аналогично, пусть ${\overrightarrow{e}}_n^s(p)$ обозначает единичный касательный вектор к ${\xi }_{-n-1}$, т. е.
$${\overrightarrow{e}}_n^s(p)=\left(\begin{array}{c}{e}_{n,1}^s(p)\\ e_{n,2}^s(p)\end{array}\right)=\frac{{\overrightarrow{X}}_{-n-1}(p)}{\Vert {\overrightarrow{X}}_{-n-1}(p)\Vert },$$

где
$${\overrightarrow{X}}_{-n-1}(p)={\left(F^{-n}\right)}^{\prime }\left(p_n\right){\overrightarrow{X}}_{-1},{\overrightarrow{X}}_{-1}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right),$$

и $p_n=F^n(p)$.
Рассмотрим синус угла ${\alpha }_n(p)$ между векторами ${\overrightarrow{e}}_n^u(p)$ и ${\overrightarrow{e}}_n^s(p)$ :
$$\sin {\alpha }_n(p)=\left|\begin{array}{ll}{e}_{n,1}^u(p)& e_{n,1}^s(p)\\ e_{n,2}^u(p)& e_{n,2}^s(p)\end{array}\right|.$$

Оказывается, что линии уровня функции (11) показывают некоторую структуру в хаотических областях, которую, очевидно, можно интерпретировать как гиперболическую.

Мы провели несколько экспериментов с моделью (3), выбрав $f(x)=$ $=\cos 2\pi x$ при различных значениях параметра $g$. Использованную нами процедуру можно назвать процедурой перенормировки. Мы понимаем перенормировку в следующем смысле:
Перенормировка=Детализация + Увеличение числа итераций

Рис. 5. График, соответствующий одной итерации при $g=3.1$ и $\delta =0.5$ в области $[-1.1,1.1]\times [-1.1,1.1]$. Отмечена область, показанная на рис. 6 а

В последующих рисунках мы используем следующие обозначения для цветов: черный для таких $p$, что $|\sin {\alpha }_n(p)|<\delta$, серый, если $\sin {\alpha }_n(p)>\delta$, и белый, если $\sin {\alpha }_n(p)<-\delta$. Здесь $\delta -$ некоторое граничное значение.