Вернемся теперь к слугаю равных масс, который мы будем рассматривать до конца статьи.

Мы приведем здесь некоторые результаты, представленные в [3] о хореографиях, связанных с восьмеркой. Подробнее см. в той же работе. Как уже упоминалось восьмеркообразное решений является полностью эллиптическим. Локально оно близко к прсизведению двух закручивающих отображений со слабым взаимодействием. Мы можем выбрать соответствующие амплитуды так, чтобы периодические траектории существовали в каждом из отображений. Чтобы исключить слишком большие периоды выберем амплитуду медленной моды, равной нулю. Следовательно, мы переходим на характеристическую кривую быстрой моды (см. рис. 7 внизу слева). Если число вращения рационально, то возникает периодическая траектория. Мы можем называть ее сопутствующей праекторией восьмерки.

Не все периодические траектории отображения Пуанкаре приводят к хореографиям. Если мы ограничимся характеристикой быстрой моды, то число вращения должно иметь вид $p/q$ с $(q,3)eq0$. На рис. 13 слева показан пример сопутствующей хореографии с числом вращения $11/37$. Для сравнения также показана восьмерка. Точки соответствуют начальным условиям в некоторый произвольный начальный момент времени.

Рис. 13. Пример сопутствующей хореографии (слева) и относительной хореографии (справа)

Также существует и другая возможность. Периодическое решение восьмерки на уровне $c=0$ можно продолжить на значения $ceq0$, однако, чтобы получить такое периодическое решение, мы должны использовать вращающуюся систему координат. Я благодарен М. Хенону (M. Hénon), который исследовал продолжение траекторий относительно кинетического момента [4]. Как он обнаружил, траектории, полученные продолжением, во вращающейся системе координат снова являются хореографиями (см. параграф 7). После одного периода во вращающейся системе координат траектория поворачивается на угол $\delta$ неподвижной системе координат. Выбирая в качестве $\delta$ подходящее рациональное число, умноженное на $2\pi$, мы можем получить истинную хореографию в неподвижной системе координат. Пример показан на рис. 13 справа. Угол поворота после замыкания траектории во вращающейся системе координат равен $\frac{3}{37}2\pi$.