Можно ли комплексный многочлен $T$ аппроксимировать другим такой же степени, каждая критическая точка которого при итерациях стремится к периодическому стоку?

Эта задача не решена даже для многочленов второй степени. Здесь полиномиальное отображение $T:\mathbb{C}\to \mathbb{C}(\mathbb{C}-$ множество комплексных чисел) считается дискретной динамической системой, задаваемой последовательными итерациями. Поэтому, если $z\in \mathbb{C}$, то его орбита во времени $z=z_0,z_1,z_2,\dots$ определена равенством $z_i=T\left(z_{i-1}\right)$, а $i$ можно интерпретировать как время (дискретное). Неподвижная точка $w$ для $T(T(w)=w$ ) является стоком, если производная $T^{\prime }(w)$ по $w$ имеет абсолютное значение меньше единицы. Периодическая точка $T$ периода $p$ может быть стоком для $T^p$. Критическая точка $T$ является просто неподвижной точкой, если производная $T^{\prime }(w)$ равна нулю.

Хотя проблема уже точно сформулирована, полезно рассмотреть ее в рамках гиперболической динамики, появившейся в 1960-х годах.

Неподвижная точка $x$ диффеоморфизма $T:M\to M$ является гиперболической, если производная $DT(x)$ в точке $x$ (как линейный автоморфизм касательного пространства) не имеет собственого числа, равного по абсолютному значению единице. Пусть $x$ — периодическая точка периода $p$, тогда $x$ — гиперболическая, если она является гиперболической неподвижной точкой $T^p$. Понятие гиперболичности естественно распространяется на $\mathrm{\Omega }$ — замыкание множества неблуждающих точек (см. проблему 10).

Динамическая система $T\in \mathrm{Diff}(M)$ называется гиперболической (или удовлетворяет А-аксиоме ), если периодические точки плотны в $\mathrm{\Omega }$, и $\mathrm{\Omega }$ является гиперболическим (см. [59] или [62]). Мы также предполагаем, что выполняется условие несуществования цикла. В очень многих работах, особенно в работах Рикардо Мане, гиперболическая динамика отождествляется со строгим определением устойчивости в динамике, приводящим к понятию структурной устойчивости. Заложены также начала структурной теории для этого класса динамических систем.

Хотя гиперболические системы составляют большой раздел динамики, имеется еще бо́льший раздел, включающий прикладную хаотическую динамику. Понятие гиперболичности распространяется от обратимой динамики до проблемы полиномиальных отображений из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}$, описанной нами выше. Классическая теория комплексной переменной позволяет преобразовать рассмотренную проблему в эквивалентную ей:

Можно ли полиномиальное отображение $T:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ аппроксимировать гиперболическим?

Теорию одномерной комплексной динамики начали разрабатывать Фату и Жюлиа в начале этого века ${}^3$. В 1960 -х годах я попросил своего аспиранта Джона Гукенхеймера просмотреть литературу и попытаться разрешить указанную проблему (среди всего прочего). Его диссертация (см. [10]) содержит утвердительный ответ, однако в доказательстве есть пробел. На сегодняшний день задача остается открытой и является одной из фундаментальных проблем одномерной динамики. Статья Джона принадлежит к целому ряду статей (начиная с работы Пуанкаре), содержащих неверные доказательства. Комплексная одномерная динамика стала перспективной темой и включает важные исследования Дуади, Хаббарда, Сулливана, Иоккос, МакМаллена и многих других.

Кроме изложенного выше существует параллельная область исследований действительной одномерной динамики гладкого отображения $T:I\to I$, $I=[0,1]$.

Задача. Можно ли гладкое отображение $T:[0,1]\to [0,1]$ гладко аппроксимировать другим, гиперболическим?

Примерно во время написания диссертации Гукенхеймером я попросил Зигги Нитецки изучить эту задачу. Моя прежняя невнимательность проявившаяся в том, что я не заметил ошибки в диссертации Нитецки (см. [10]) привела к тому, что появилось утвердительное доказательство предложенной задачи.

Впоследствии Якобсон [28] дал ответ на эту задачу для $C^1$-аппроксимаций, однако общий случай остается открытым. Информацию по данной задаче можно найти в [37].
${}^3$ То есть в начале 20 -го века. — Прим. ред.