За исключением случая рассмотрения (фундаментальной) симметрии, приведенное ниже доказательство по существу следует [15] со следующими несущественными различиями: Пуанкаре рассматривал гомологии, а не гомотопии и искал периодические орбиты во вращающейся системе координат.

Мы используем прямой метод вычисления вариаций (более подробно см. в [12]). Действие задачи $N$ тел задается выражением
\[
A(x)=\int_{0}^{T}\left[\frac{1}{2} K(\dot{x}(t))+U(x(t))\right] d t,
\]

где $T=N, K(\dot{x})=\Sigma_{i=0}^{N-1}\left|\dot{x}_{i}\right|^{2}$, а $U(x)=\Sigma_{1 \leqslant i<j \leqslant N} f\left(\left|x_{i}-x_{j}\right|\right)$ с $f$ взятой из (3). Если $U(x) \geqslant 0$ (что мы будем предполагать в дальнейшем), и если действие кривой $x$ конечно, то производная $\dot{x}$ является квадратично интегрируемой, то есть принадлежит пространству Соболева $x \in H^{1}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N}\right)$. Если $x$ — критическая точкой $A$, не содержащая столкновений, то $x$ является $N$-периодическим решением (1). Данное утверждение является основным и хорошо известным результатом механики и вариационного исчисления. Столкновения необходимо исключить, поскольку в этом случае уравнение (1) нарушается, а действие на траектории со столкновениями является недифференцируемым даже тогда, когда потенциал (например, ньютоновский) является регуляризуемым.

В соответствии с «принципом симметрической критичности» (см., например, [14]) это утверждение выполняется и для Г-эквивариантных путей. Более точно, пусть $\Gamma$ — конечная группа изометрий действующая на $\mathbb{S}^{1}$ и $\mathbb{C}^{N}$ так, что потенциал $U$ сохраняется. Тогда $\Gamma$ сохраняет лагранжиан, и, следовательно, оставляет действие неизменным: $A(x)=A(g \circ x)$ при $g \in \Gamma$. Пусть $H^{1}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N}\right)_{\Gamma} \subset H^{1}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N}\right)$ — множество всех эквивариантных путей с квадратично интегрируемой производной. Предположим, что $x$ является безстолкновительной, и что $d A(x)(v)=0$ для всех $v \in H^{1}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N}\right)_{\Gamma}$. Тогда $x$ является решением уравнений (1). Доказательство этого утверждение использует приводимость $Г$-представлений, для того чтобы показать, что $d A(x)(v)=0$ для всех $v \in H^{1}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N}\right)_{\Gamma}$, что влечет за собой $d A(x)(v)=$ $=0$ для всех $v \in H^{1}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N}\right)$, а также что $x$ является критической точкой бо́льшего пространства петель $H^{1}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N}\right)$ (непосредственное доказательство приведено в [1]).

Напомним, что $H^{1}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N}\right) \subset C^{0}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N}\right)$. Это один из наиболее простых примеров неравенств Соболева. Прямой метод заключается в фиксировании хореографии $\alpha$, то есть компоненты $\alpha$ пространства $C^{0}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N}\right)_{\Gamma}$, пересекающейся с подпространством $H^{1}$-путей, а затем в поиске инфимума действия $A(x)$ по всем путям $x$, реализующим эту хореографию.

Пренебрегая неточностью обозначений мы используем символ $\alpha$, как для обозначения класса $\alpha$, так и для обозначения его пересечения с пространством $H^{1}$-путей.
\[
a(\alpha)=\inf _{x \in \alpha} A(x) .
\]

Затем, определяя инфимум, мы рассматриваем последовательность $x_{n} \in$ $\alpha \subset H^{1}\left(\mathbb{S}^{1}, \mathbb{C}^{N} \backslash \Delta\right)_{\Gamma}$, для которой $A\left(x_{n}\right) \rightarrow a(\alpha)$. Идея доказательства состоит в том, чтобы показать, что $x_{n}$ стремится к решению уравнений (1), и это решение лежит внутри $\alpha$.

Неравенство Соболева $|x(t)-x(s)| \leqslant \sqrt{\int|\dot{x}|^{2} d t} \sqrt{|t-s|}$ показывает, что множество всех $H^{1}$-путей с действием $A$ ограничено фиксированной постоянной и образует равномерно непрерывное семейство. Также неравенство показывает, что длина $\ell$ любого пути $x \in \mathcal{C}$ меньше, чем $\sqrt{2 A(x)}$. Без потери общности мы можем положить центр масс каждого из путей $x_{n}$ тождественно равным нулю:
\[
\Sigma_{j} x(t-j)=0 .
\]

Теперь легко видеть, что множество всех путей ограниченной длины в $\mathcal{C}$ с центром масс в начале координат является точечно ограниченным семейством. Теорема Арцела утверждает, что любое равномерно непрерывное семейство путей в $\mathbb{C}$ содержит сходящуюся последовательность. Таким образом, без потери общности мы доказали существование кривой $x_{*}$ такой, что $x_{n} \rightarrow x_{*}$ по $C^{0}$-норме.

Основная проблема заключается в том, чтобы показать, что этот $C^{0}$ предел $x_{*}$ является бесстолкновительным, или, что то же самое, что минимизирующие последовательности не могут стремиться к границе компонента $\alpha$. Если это так, то предел автоматически будет принадлежать $\alpha$. Тогда лемма Фату $A\left(x_{*}\right) \leqslant \lim _{n} A\left(x_{n}\right)$ показывает, что $x_{*}$ является минимизирующей кривой, и, следовательно, критической точкой действия, ограниченного на Г-эквивариантные петли. Применение принцип симметрической критичности приводит к тому, что $x_{*}$ является решением реализующим заданную хореографию. Бесстолкновительность $x_{*}$ следует непосредственно из

Предложение 1. Если $U$ является потенциалом сильного взаимодействия, то любой путь с столкновениями имеет бесконечное действие.
Доказательство. Предположим, что путь $x$ испытывает столкновение масс $i$ и $j$ в момент времени $t_{c}$. Обозначим $r_{i j}$ через $r$. Кинетическое слагаемое $K$ в действии удовлетворяет неравенству $K \geqslant \dot{r}^{2}$. Поскольку $x$ является непрерывным, то в некотором интервале времени $\left|t-t_{c}\right| \leqslant \epsilon$ вблизи столкновения $r<\delta$. Предположение о сильном взаимодействии приводит к неравенству $U \geqslant c / r^{2}$ на этом интервале. Таким образом, лагранжиан имеет вид $L=\frac{1}{2} K+U \geqslant \frac{1}{2} \dot{r}^{2}+c / r^{2}$. Используя неравенство $a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$, мы получим, что $L \geqslant \sqrt{2 c}\left|\frac{\dot{r}}{r}\right|$ для $|t| \leqslant \epsilon$. Однако $\left|\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\dot{r}}{r} d t\right|=\left|\log r\left(t_{2}\right)-\log r\left(t_{1}\right)\right|$, а также $r\left(t_{c}\right)=0$. Откуда мы заключаем, что частичное действие $\int_{t}^{t_{c}+\epsilon} L d t$ расходится по крайней мере логарифмически при $t \rightarrow t_{c}$, и, таким образом, действие столкновительного пути бесконечно. Что и требовалось доказать.

Замечание. Это утверждение доказано в [15] при более строгом предположениях о (почти) сохранении энергии. Если быть более точным, Пуанкаре использовал тот факт, что при столкновении кинетическая и потенциальная энергии имеют один порядок величины.