Обычный способ доказать существование периодических орбит – это использование вариационного подхода. С помощью этого способа доказывается

Теорема 4.1. Рассмотрим задачу (1) с потенциалом сильного взаимодействия, определенным в (4) при $a \geqslant 2$ и $z_{j}(t)$, заданным через $q$ как в (5). Тогда в каждом классе хореографий, т.е. в составляющей $H^{1} \backslash \Delta$ существует решение, минимизирующее действие $A=\int_{0}^{2 \pi} L(t) d t$, где $L$ взято из (3), а $K\left(\dot{z}_{1}, \ldots, z_{N}\right)$ и $U\left(z_{1}, \ldots, z_{N}\right)$ из (2).

Доказательство. Кратко опишем основную проблему: доказать, что на указанных орбитах нет столкновений. Начнем с некоторой точки во внутренней области класса хореографий. Достаточно доказать, что при приближении к $\Delta$ действие становится неограниченным. Рассмотрим слабую силу, то есть $a<2$. Пусть $r_{i, j}$ – расстояние, стремящееся к нулю. Тогда локальные вычисления вблизи столкновения показывают, что основной вклад столкновения в действие при $r_{i, j}$, стремящемся от $r$ к нулю, равен
\[
A_{\text {двоичное столкновение }}=\sqrt{8} r^{(2-a) / 2} /(2-a) .
\]

При $a$, стремящемся к двум, действие становится неограниченным. Это и тем более верно для $a \geqslant 2$. Следовательно, следует всегда оставаться во внутренней области класса хореографии.
Более подробное доказательство см. в [3].
Теперь также интересно подчеркнуть, что задачу можно сформулировать как вариационное условие на $q$, вместо того чтобы использовать промежуточные переменные $z: q \rightarrow z \rightarrow A$. Такой подход приводит к вариационной задаче с запаздываниями, классу задач, которые, по-видимому, не являются широко известными.