Этот раздел посвящен описанию динамики задачи Хилла для $h<\frac{1}{18}$. Для достаточно малых значений $h\left(c_{H} \gg 1\right)$ динамика описывается предложением 1. Интересно наблюдать, как меняется эта простая, хорошо упорядоченная картина и каковы главные причины этих изменений.
6.1. Периодические орбиты и число вращения

Для начала мы рассмотрим характеристические кривые п.о. Хилла в интервале $h \in\left(0, \frac{1}{18}\right)$, а также другие основные симметричные семейства, которые бифурцируют из них (или в некотором смысле имеют к ним отношение). Для построения производилось «сканирование» начальных условий при $h=\frac{1}{18}$, при этом велся поиск орбит различного периода. Затем с помощью метода продолжения была исследована область $h<\frac{1}{18}$. В процессе продолжения были найдены некоторые бифуркации (как для собственных значений, равных $\pm 1$, так и для равных корню какой-либо степени из -1). Обобщение полученных результатов приведено на рис. 11 с подробным пояснением на подписи к рисунку. Заметим, что некоторые орбиты дважды пересекают плоскость $Q_{2}=0, \dot{Q}_{2}>0$ (обычно в перицентре и апоцентре). Таким образом, две точки на картинке могут быть связаны с одной и той же п.о. Заметим также, что для малых значений $h$ рисунок иллюстрирует наибольший период $O\left(\frac{1}{2 h}\right)$, предсказанный в Предложении 1. Сосредоточимся теперь на некоторых других важных фактах.

Для всех найденных орбит были вычислены собственные значения дифференциала отображения Пуанкаре (или его подходящей степени). В линейно устойчивом случае собственные значения имеют вид $\exp ( \pm 2 \pi i \alpha)$.

Величина $\alpha$ является локальным числом вращения п.о., которое мы будем обозначать как $\rho_{l o c}$.

При продолжении хилловского прямого семейства по энергии от $h=0$ до $h=\frac{1}{18} \rho_{l o c}$ сначала увеличивается (предложение 1 говорит нам, что при малых $h$ оно имеет вид $2 h$ ) до тех пор, пока не достигнет значения $\rho_{\text {loc }}^{\max } \approx 1 / 10.482073$ при $h \approx 0.043238$. После прохождение максимума, дальнейшее увеличение энергии ведет к уменьшению $\rho_{l o c}$ до нуля в точке бифуркации типа «вилки». Затем прямая п. о. Хилла становится неустойчивой. Поведение обратной п. о. Хилла сильно контрастирует с только что описанным поведением прямой п. о. Хилла. Для нее $\rho_{l o c}$ увеличивается во всем рассматриваемом интервале изменения $h$.

Сказанное выше иллюстрируется тем, что орбиты периодов, меньших одиннадцати, не бифурцируют из хилловского прямого семейства. На рис. 11 показаны два семейства орбит периода 21/2 (т.е. орбиты периода 21, итерации которых на сечении Пуанкаре дважды обращаются вокруг точки, соответствующей прямой п.о. Хилла). Они бифурцируют из хилловского прямого семейства при близких значениях $h$.

Тем не менее, п.о. периода, меньше 11 , находятся не слишком далеко от прямой п.о. Хилла. Они рождаются в результате эллиптическогипербопической бифуркаџии. Рассмотрим эти бифуркаџии с лругой точки зрения. Характеристические кривые семейств, бифурцирующих из хилловской обратной п.о., имеют максимум энергии в точке бифуркации. Это означает, что число вращения $\rho$ вокруг обратных хилловских п.о. увеличивается. Обратная ситуация при малых $h$ наблюдается вблизи прямой п.о. Хилла (приблизительно до $h=0.0225$, сразу же после бифуркации п.о. периода 20). До этого значения $h, \rho$ вблизи хилловской прямой п.о. локально уменьшается. При бо́льших значениях энергии оно локально увеличивается, и на некотором расстоянии от этих п.о. $\rho$ (которое хорошо определено для п.о. и точек, лежащих на инвариантных кривых) имеет максимум. Пунктирная линия на рис. 11 показывает положение этого максимума в зависимости от $h$. Когда значение максимума $\rho$ достигает рационального числа, возникают новые п.о. Для $h=\frac{1}{18}$ значение максимума немного меньше $\frac{1}{5}$, то есть орбиты периода 5 еще не появились вокруг хилловских п.о. Это верно и для орбит, рожденных в бифуркации типа «вилка». Последние имеют $\rho_{l o c}=$ $=0.199795$ при $h=\frac{1}{18}$.

Другими словами, пусть $\rho=b_{0}+b_{1} d^{2}+b_{2} d^{4}+\ldots$, где $d$ обозначает расстояние до неподвижной точки, а $b_{j}$, известные как коэффициенты

(2)

Рис. 11. Основные семейства симметричных п.о. до размыкания КНС $(0<h<1 / 18)$. По горизонтали изображается начальное значение $Q_{1}$, по вертикали – значения $h$. Пунктирная линия соответствует положению КНС. Правая часть, начинающаяся в т. $(0,0)$, соответствует прямым орбитам (семейства $e$ и е $i$ на рис. 9). Левая часть соответствует обратным п.о. (er-семейства рис. 9). Кривые, отходящие от прямого хилловского семейства, соответствуют п.о. с числами вращения (считая снизу вверх) $1 / 100,1 / 50,1 / 40,1,30,1 / 20,1 / 12,1 / 11,2 / 21$, а затем снова $2 / 21$, $1 / 11,1 / 12$ и 0 . Последнее соответствует бифуркации типа «вилки», изображенной на рис. 5. Также показаны некоторые периодические семейства, исходящие из п.о. при бифуркации типа «вилки» (обозначенные ее на рис. 9). Штриховая линия показывает места расположения дополнительных бифуркаций п.о., которые происходят при увеличении $h$. В точках этой кривой число вращения имеет локальный максимум. На рисунке она пересекает семейства с числами вращения $1 / 2,1 / 11,2 / 21,1 / 10$, $1 / 9,1 / 8,1 / 7,1 / 6$ и $2 / 11$

Биркгофа, зависят от $h$. Тогда для некоторого интервала изменения энергии, начинающегося с 0 , и включающего значения, бо́льшие 0.0225 , выполняется следующее свойство: при $h \approx 0.0225$ коэффициент $b_{1}$ меняет знак с отрицательного на положительный, в то время как $b_{2}$ остается отрицательным в большой области изменения $h$. Это и объясняет смену поведения.

На рис. 12 (слева) показана увеличенная часть предыдущего рисунка. Хорошо видны бифуркации типа «вилки», а также идущие от них вторичные бифуркации. Справа на рисунке показано $\rho$ вдали от хилловских прямых

Рис. 12. Слева: увеличение правого верхнего угла рисунка 11. Справа: эволюция числа вращения $\rho$ при удалении от прямой п.о. Хилла. По горизонтали откладывается начальное значение $Q_{1}$ с условием $Q_{2}=P_{2}=0$. По вертикали откладывается $\rho$. Правый конец всех кривых соответствует п.о. (и предельному значению $\rho=\rho_{l o c}$ ). Двигаясь налево, мы удаляемся от п.о. При удалении от п.о. число вращения $\rho$ уменьшается вплоть до значения $h=0.0225$, соответствующего п.о. с $q_{2}=0.16$. После этого значения $\rho$ имеет экстремум. Максимум соответствует пунктирной линии на рис. 11. Значение $\rho$ не построено для случаев, когда оно не существует или не может быть определено достаточно точно.
п.о. Вычисления, отраженные на рисунке, соответсвуют различным значениям $h$ с шагом $10^{-2}$. Кривые $\rho$ (при малых $h$ они не определены на множестве очень малой меры) демонстрируют минимум на хилловских п.о. и максимум слева от них при $h \geqslant 0.0225$. При малых значениях $h$ кривые $\rho$ довольно плоские, отклонения имеют порядок $h^{2}$. В любом случае, ясно видны максимумы при $h>0.0225$. Заметим, что после бифуркации типа «вилка» начальные точки, для которых показано $\rho$, находятся за пределами восьмерки, образованной сепаратрисами седла.
6.2. Меандровые инвариантные кривые

Расположение экстремума $\rho$ вне основных п.о. имеет очень важные следствия. Рассмотрим следующую ситуацию (приблизительно верную для $h$, близких к 0.0225). Вокруг неподвижной точки (прямой п.о. Хилла) существует интегрируемое сохраняющее площадь отображение, однако на некотором расстоянии от нее свойство закручивания больше не удовлетворяется. Изучение возмущений общих незакручивающих отображений, как и некоторых частных отображений приведено в [16]. Результатом является существование инвариантных «меандровых» кривых, для которых радиус не может быть представлен однозначной функцией угла. Несмотря на то, что для задачи Хилла не доказана принадлежность к задачам общего типа (в некоторых аспектах она кажется даже далекой от этого), мы можем ожидать появления таких кривых вблизи экстремума $\rho$. Более подробно подобные явления вблизи трехпериодических и других бифуркаций рассматривались в [5].

На рис. 13 показаны некоторые меандровые кривые, связанные с резонансами различного порядка. В левой колонке они связаны с появлением орбит периода семь, возникающих при $h \approx 0.048510542$. Как будет показано далее, резонансы периода 7 играют важную роль. В правой колонке изображены меандровые кривые, связанные с п.о. периода 6 , возникающими при $h \approx 0.052321925$, и периода 9 при $h \approx 0.041572838$. Заметим, что фактически, вследствие наличия нескольких петель, орбиты периода 6 , при значениях $h$ близких к бифуркационному, имеют восемь пересечений с $Q_{2}=0$. Интервал существования меандровых кривых, связанных с резонансом периода 7 , имеет амплитуду порядка $2 \cdot 10^{-5}$, для других случаев эта амплитуда еще меньше. Особая роль резонансов седьмого порядка объясняется следующим образом. При $h$, бо́льших, но близких к 0.0225 , если максимум $\rho$ пересекает рациональное число, вообще говоря, должны появляться меандровые кривые. Тем не менее для этого интервала изменения $h$ система очень близка к интегрируемой. Очень малые возмущения затрудняют визуализацию этих кривых (см. рис. 13 справа внизу). С другой стороны, при $h$, близких к $\frac{1}{18}$, система достаточно далека от интегрируемой, как мы увидим далее, по крайней мере в большой области вблизи прямой п.о. Хилла. Таким образом, возможные меандровые кривые быстро разрушаются.

Прокомментируем роль резонанса периода 7. Меандровые кривые создаются сразу после бифуркации. При увеличении $h$ они исчезают, но локально отображение при этом имеет слабое закручивание. Две резонансные зоны периода 7 (внешняя и внутренняя, в зависимости от расстояния до прямой п.о. Хилла) удаляются друг от друга. Внешняя приближается к гораздо более устойчивой обратной п.о. Хилла. Например, при $h=\frac{1}{18}$ во внешней зоне существует две п.о. периода 7. Одна из них гиперболическая с максимальным собственным значением 1.034762 , другая – эллиптическая с собственными значениями $\exp ( \pm i 0.0341725)$, т.е. собственные значения близки к единице. Во внутренней зоне при этом же значении энергии, обе орбиты гиперболические с максимальными собственными значениями 65.5395

Рис. 13. Пример незакручивающих инвариантных кривых. Левая колонка соответствует резонансу порядка семь и значениям $h$ (сверху вниз) $0.048511,0.048519$ и 0.048527. В правой колонке сверху вниз изображены часть незакручивающей кривой, связанной с резонансом порядка шесть при $h=0.052322$ и ее увеличением. Справа внизу приведена незакручивающая кривая, соответсвующая резонансу порядка девять при $h=0.041573$.

и 99.8278. При значениях $h$, близких к 0.05, возмущение по отношению к почти интегрируемой ситуации, начинает играть важную роль в области фазового пространства, где находится внутренний семипериодический резонанс, и вместе со слабым закручивающим характером отображения, начинает хаотизировать систему. Более конкретно это можно проиллюстрировать следующим образом. При прохождении «вилки» создается очень слабая хаотическая зона вокруг «восьмерки» сепаратрис гиперболической прямой хилловской п.о., в то время как для этого же значения $h$ наибольшее собственное значение внутренних семипериодических неустойчивых орбит уже 2.2785 со значительным расщеплением сепаратрис.

Эти факты наталкивают на мыс.ь провести систематическое исследование хаотических зон, как с количественной, так и с качественной точек зрения. Что и будет сделано в двух следующих разделах.
6.3. Зоны хаоса, максимальные показатели Ляпунова и степень неинтегрируемости
Одним из наиболее распространенных методов определения зон хаотичности и количественной оценки степени интегрируемости орбит является расчет максимальных показателей Ляпунова (для краткости далее ПЛ). В данной работе был использован классический метод, для ознакомления с другими методами мы отсылаем читателя к $[3,4]$. После некоторых предварительных вычислений было показано, что для $h$, меньших приблизительно 0.053 , задача Хилла достаточно хорошо упорядочена.

Для заданного значения $h$ ограниченная область в координатах $\left(Q_{1}, P_{1}\right)$ разбивается на квадраты (пиксели) размера $10^{-3}$ со сторонами, параллельными осям. Несмотря на то что, типичное число пикселей $4 \times 10^{5}$, симметрии задачи позволяют проделать вдвое меньшую вычислительную работу. Для каждого пикселя выбирается точка в его середине и вычисляется ПЛ в этой точке. Пиксели сканируются справа налево от оси $Q_{1}$ к максимальному значению $\dot{Q}_{1}$. Кроме того, мы храним траекторию, состоящую из пикселов, накрываемых каждой орбитой. Если очередной пиксель был накрыт одной или несколькими точками предыдущих орбит, то он пропускается как начальная точка. При расчетах использовалось минимальное количество прохождений через каждый пиксель, равное десяти. На каждом пикселе выбиралось не более одной начальной точки. Таким образом, может случится, что в конце вычислений некоторые пиксели посещались менее десяти раз, однако для всех рассмотренных значений $h$ такое происходит только для малого количества пикселей, близких к границе области, где теряется трансверсальность.

(2)

Рис. 14. Некоторая количественная информация о степени хаотичности системы при $h<\frac{1}{18}$. На горизонтальной оси на всех трех графиках откладывается $h$. Сверху слева: построен максимальный показатель, усредненный по всем пикселям сечения Пуанкаре. Справа вверху: максимальное значение максимального показателя Ляпунова при рассмотрении различных хаотических областей. Внизу: часть пикселей, содержащих нерегулярные движения (показатель Ляпунова $>10^{-4}$ )

После вычисления нескольких итераций отображения для выбранной орбиты и определения на ней значения ПЛ, полученная величина присваивается всем пикселям, посещаемым орбитой (с соответствующим множителем, если пиксель посещен несколько раз). Это позволяет определить средний ПЛ на каждом из пикселей, максимальный ПЛ на каждом пикселе и среднее значение ПЛ для всей области. На рис. 14 показаны максимальные и средние значения ПЛ, определенные указанным выше образом для $h \in\left(0.05315, \frac{1}{18}\right)$ с шагом $10^{-5}$. Затем было выбрано некоторое значение ПЛ в качестве количественной границы между регулярным и нерегулярным движением. Принимая во внимание ошибки вычислений, величина $10^{-4}$

кажется приемлемой для этой цели. Та часть пикселей, для которых ПЛ больше, чем этот порог, была названа областью нерегулярного движения, которая также представлена на рис. 14.

Для вычисления ПЛ орбиты производятся итерации Пуанкаре начальной точки. В то же время вычисляется дифференциал отображения, примененный к произвольному вектору (например, $(0,1)$ – достаточно хороший «произвольный» вектор). Пусть $v_{n}$ – норма вектора после $n$ итераций, а $t_{n}$ – соответствующее время, тогда определим $q_{n}=\log v_{n} / t_{n}$. Отметим, что здесь мы фактически используем регуляризованное время, т.е. время $\tau$ из (9). После некоторого числа итераций (обычно около 4000) начинается проверка на регулярность движения. При этом проверяется, насколько хорошо $v_{n}$ приближается функцией линейной по $t_{n}$. Иначе говоря, делается приближение $\log v_{n}$ линейной функцией $\alpha t_{n}+\beta$. Через каждые 4000 итераций производится оценка полученных величин $\alpha$. Если после трех последовательных оценок разница между величинами $\alpha$ меньше, чем $10^{-5}$, вычисления прекращаются и последнее значение $\alpha$ принимается как оценка ПЛ. Максимальное количество итераций для каждой начальной начальной точки равно $10^{5}$, и если оно достигнуто, в качестве ПЛ выбирается последнее значение $\alpha$.

Отметим, что для некоторых орбит, которые выглядят регулярными (лежат на инвариантных кривых), но проходят вблизи гиперболической неподвижной точки, сходимость ПЛ к ну.ю далека от монотонной и имеет вид осцилляций внушительной амплитуды. В этом случае можно повысить точность вычислений, используя метод, описанный в [1] (который состоит в поиске верхней оценки $q_{n}$ и в аппроксимации этой оценки, вместо самого $q_{n}$ ). В рамках данной работы этот подход не был реализован.

Следует также обратить внимание на наблюдаемые на рис. 14 , особенно на правом верхнем рисунке, нерегулярности. Для рассматриваемых уровней энергии $h$ в зоне хаотичности существуют островки регулярности. Два больших острова появляются вокруг орбит, порожденных бифуркацией типа «вилка», которые являются устойчивыми при $h=\frac{1}{18}$. Также наблюдаются несколько малых островов больших периодов. Из-за «притяжения» островов орбиты из зон хаоса, приближающиеся к островам, могут быть почти «захвачены» ими в течение многих итераций. Затем такие орбиты удаляются от островов регулярности и возвращаются обратно через неупорядоченные промежутки времени. Такое поведение и определяет медленную сходимость к пределу, но так как этот феномен объективно присущ системе, не существует возможности его обойти.

6.4. Набросок глобальной динамики

Пользуясь информацией из предыдущего пункта и исследуя области, где ПЛ как функция $h$ больше некоторого порога, можно дать примерное описание глобальной динамики для $h<\frac{1}{18}$. При $0<h<0.053$ система в сущности выглядит как интегрируемая. Для малых $h$ типичной является картина, представленная на рис. $4 \mathrm{a}$. На рис. $4 \mathrm{~b}$ при $h=0.053$ показана все еще в основном интегрируемая динамика, несмотря на то, что произошла бифуркация типа «вилки». Это контрастирует с поведением системы при $h=0.0555$, показанным на рис. $4 \mathrm{c}$, где в области прямых орбит хорошо заметна область хаоса. Вместе с тем, область обратных орбит практически регулярна. Рис. 14 показывает, как в этом коротком интервале изменения $h$ происходит увеличение доли нерегулярной динамики.

Для более детального описания эволюции системы можно установить, как происходит возникновение и рост зон хаоса. Говоря о $n / m$ резонансных зонах, мы имеем в виду резонансы, где есть п.о. с $\rho=m / n$, такие, что вблизи них наблюдается хаотичное поведение (ПЛ больше некоторого предельного значения, и можно визуально наблюдать расщепление сепаратрис). Вспомним, что резонансные зоны с $m / n>7$ ( $m / n<7$ ) ближе (дальше) к прямым хилловским п.о., чем п.о. с периодом семь.
– Для $h=0.0531$ наблюдается только малая хаотичность вблизи (внутренней) семипериодической резонансной зоны.
– Вблизи $h=0.0533$ наблюдается крайне малая хаотическкая зона вблизи «восьмерки» сепаратрис хилловской прямой п.о. Вблизи этого уровня энергии хаос начинает появляться в 9-периодической резонансной зоне.
– Приблизительно при $h=0.0536$ начинают появляться $17 / 2,8$ и 11 периодические зоны
– Вблизи $h=0.0539$ видны зоны 13/2 и 20/3, а зоны, связанные с резонансами 7,8 и 9 , сливаются в одну большую зону хаоса.
– При $h=0.054$ появляются зоны 6, 19/3 и 13 .
– Большая зона хаоса захватывает 11-периодическую резонансную зону при $h=0.0542$.
– Вблизи от значения $h=0.0544$ большая хаотическая зона содержит все резонансы от 6 до 13. Зона в форме «восьмерки», которая медленно увеличивалась в течение предыдущих шагов, сливается с обширной зоной хаоса сразу после этого значения энергии. Тем не менее, внутри зоны хаоса видны достаточно большие острова регулярности, главным образом вблизи эллиптических точек, рожденных вследствие бифуркации типа вилки.
– Вблизи $h=0.0548$ появляется резонанс $11 / 2$.
– При $h=0.055$ появляются 7-периодические зоны вокруг семейства $e e$ и большая зона хаоса захватывает все резонансы между $11 / 2$ и формирующей восьмеркой.
– При $h=0.0552$ только очень маленькие островки видны в море хаоса.

Далее, начиная с $h=0.055$ острова периодов $21 / 4$ и $41 / 8$ видны на периферии хаотической зоны.

Просуммировав вышеизложенное, можно сказать, что область хаоса, главным образом, эволюционирует от резонансной зоны периода 7, абсорбируя ме́ньшие внутренние и внешние зоны. Также типично, что зоны нсчстных псриодов $(7,9,11, \ldots$ ) большс соотвстствующих зон чстных периодов. Используя методы, предлагаемые в [17], можно провести более детальное исследование, включающее в себя поиск критических значений $h$, при которых разрушаются инвариантные кривые, разделяющие различные резонансные зоны. Однако нам представляется, что картина достаточно ясна и без этого исследования.