Пусть $p$ – неблуждающая точка диффеоморфизма $S: M \rightarrow M$ компактного многообразия. Можно ли сколь угодно хорошо аппроксимировать $S$ с производными порядка $r$ ( $C^{r}$-аппроксимация) для любого $r$, с помощью диффеоморфизма $T: M \rightarrow M$ такого, что $p$ – периодический сток $T$ ?

Неблуждающая точка $p \in M$ – это точка, для каждой окрестности $U$ которой существует целое $k \in \mathbb{Z}$ такое, что $S^{k} U \cap U
eq \emptyset$. Здесь $S^{k}-$ $k$-я итерация $S$. Кроме того, $p-$ периодическая точка периода $m$, если $T^{m}(p)=p$.

Это дискретная форма известной «леммы о замыкании», которая в случае $C^{1}$ была утвердительно решена Чарльзом Пью [45].

Существует простая $C^{0}$-аппроксимация с требуемым свойством. Пейксото показал, что данное доказательство не работает в $C^{1}$-аппроксимациях, исправляющих ошибку Рене Тома (которая, как он мне сказал, была его крупнейшей ошибкой).

Пью и Робинсон в [46] доказали лемму о замыкании для $C^{1}$-аппроксимаций в гамильтоновом случае. Пейксото дал утвердительный ответ для $C^{r}$-аппроксимаций, при любом $r$ для случаев окружности и ориентируемых двумерных многообразий с непрерывным временем. Недавняя работа Хайяши [23] придала лемме о замыкании дополнительное значение, см. также [70].