Соображения в конце предыдушего раздела наводят на мысль изучить влияния возмущений специального типа. Один из простейших случаев имеет (21) в качестве интегрируемого приближения. На рис. 5 показан фазовый портрет такого отображения при различных значениях $b$. Для его получения было произведено некоторое масштабирование, заключающееся в замене $b$ на $-b, \frac{2}{3}$ на $\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{4} y \cos (2 x)$ на $y \cos (x)$ в (21). В результате получим
\[
H(x, y)=-b y+\frac{1}{3} y^{3}-y \cos (x)+O\left(\alpha^{2}\right) .
\]

Линия $y=0$ является инвариантной при любых условиях. При $b>1$ седловые точки имеют координаты $(0, \pm \sqrt{b-1})$. При $b>-1$ точки типа центр имеют координаты $(\pi, \pm \sqrt{b+1})$. При $b \in(-1,1)$ седловые точки появляются в $\left( \pm \cos _{-1}(b), 0\right)$. При $b=1$ происходит бифуркация, и двойная неподвижная точка $(0,0)$ имеет нулевую линейную часть, определяя 6 гиперболических секторов. Случаи, изображенные на рис. 5a, b, c, d, соответствуют значениям $b>1, b=1, b \in(-1,1)$ и $b<-1$ соответственно.

Легко видеть, что в интегрируемом приближении больше не выделяются меандровые кривые. Это происходит благодаря существованию инвариантной линии $y=0$. Для разрушения пересечений между седловыми точками при $b \in(-1,1)$ можно ввести дополнительное возмущение. Простейшее возмущение (см. предыдущий пример на рис. 3c) состоит в добавлении к (22) члена с малым коэффициентом, скажем $d$, который включает

Рис. 5. Несколько сценариев поведения гамильтонова потока (21)
$\cos (x+\varphi)$ без какого-либо множителя $y$. Новый гамильтониан будет иметь вид
\[
H(x, y)=-b y+\frac{1}{3} y^{3}-y \cos (x)+d \cos (x+\varphi)+o(1) .
\]

Фаза $\varphi$ введена, чтобы нарушить симметрию. Значение добавленного члена состоит в перемещении седловых точек на рис. 5 с прямой $y=0$ и некотором наклоне прежде горизонтальных инвариантных множеств. В результате для нового гамильтониана появляются меандровые кривые, которые сохраняются и для диффеоморфизма. Полное доказательство можно провести так же, как для теоремы 1. Также поучительно изучить различные топологические устройства (23) в зависимости от $(b, d, \varphi)$.
Рассмотрим семейство отображений
\[
G_{\omega, \alpha, \beta, \varphi}:(x, y) \rightarrow(\bar{x}, \bar{y})=\left(x+\omega+\beta \cos (x)+\bar{y}^{2}, \frac{y+\alpha \sin (x+\varphi)}{1-\beta \sin (x)}\right),
\]

в котором легко распознать аналогию параметров семейства с параметрами гамильтониана: $\omega, \alpha, \beta, \varphi$ играют роль $b$, нормализованного коэффициента при $y \cos (x)$ (то есть бывший $\alpha^{2}$ ), $d$ и $\varepsilon$ соответственно.

На рис. 6а показана иллюстрация, где значения $(\omega, \alpha, \beta, \varphi)$ взяты равными $(0,0.01,0.1,1)$.