Предположим, что $f:{\mathbb{C}}^n\to {\mathbb{C}}^n$ — полиномиальное отображение, производная которого в каждой точке является невырожденной. Тогда должно ли $f$ быть тождественным?

Здесь ${\mathbb{C}}^n$ — это $n$-мерное комплексное евклидово пространство, $f(z)=$ $=(f_1(z),\dots ,f_n(z))$ и каждая из функций $f_i$ — полином от $n$ переменных. Производную $f$ по $z,Df(z):{\mathbb{C}}^n\to {\mathbb{C}}^n$ можно считать матрицей частных производных, а условием невырожденности — неравенство $\det \mathrm{Df}(z)eq0$.

Если $f$ инъективно, тогда оно сюръективно и имеет обратное отображение, которое является полиномиальным.

Данная задача восходит к 1930-м годам, о ее значении, предыстории и результатах решения можно прочитать в замечательных обзорах [4] и [17].