Предположим, что $f: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{C}^{n}$ – полиномиальное отображение, производная которого в каждой точке является невырожденной. Тогда должно ли $f$ быть тождественным?

Здесь $\mathbb{C}^{n}$ – это $n$-мерное комплексное евклидово пространство, $f(z)=$ $=\left(f_{1}(z), \ldots, f_{n}(z)\right)$ и каждая из функций $f_{i}$ – полином от $n$ переменных. Производную $f$ по $z, D f(z): \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{C}^{n}$ можно считать матрицей частных производных, а условием невырожденности – неравенство $\operatorname{det} \operatorname{Df}(z)
eq 0$.

Если $f$ инъективно, тогда оно сюръективно и имеет обратное отображение, которое является полиномиальным.

Данная задача восходит к 1930-м годам, о ее значении, предыстории и результатах решения можно прочитать в замечательных обзорах [4] и [17].