Для иллюстрации теоремы 1 начнем с простых примеров. В качестве первого примера (см. рис. 2a) мы используем семейство отображений
\[
F_{(\omega, \alpha, \beta)}:(x, y) \rightarrow\left(\bar{x}=x+2 \pi \omega+\bar{y}^{2}, \bar{y}=y+\alpha \frac{\sin (x)}{1-\beta \cos (x)}\right) .
\]

Это семейство отображений имеет некоторые свойства симметрии. Однако, как мы увидим далее, благодаря нечетному характеру членов в $\bar{y}$ оно не такое вырожденное, как в случае $\beta=0$. Эффект параметра $\beta$ состоит в создании бесконечного множества гармоник. На рис. 2а используются следующие значения параметров: $\omega=0.249, \alpha=0.1, \beta=0.5$, следовательно $m / n$ составляет $1 / 4$ и на фазовом портрете можно легко увидеть восемь островов. Они представляют собой два семейства из четырех островов, между которыми появляются меандровые кривые. Как предсказывает теоретический анализ из п. 2 , эллиптические точки в центрах островов этих семейств смещены приблизительно на $\pi / n$ по координате $x$. На рис. 2 b мы использовали то же отображение, но с параметрами $\omega=0.374675, \alpha=0.1$ и $\beta=0.5$, поэтому $m / n$ здесь составляет $3 / 8$, и также можно увидеть два семейства восьмипериодических островов и соответствующие меандровые кривые. На рис. 2c изображен фазовый портрет со следующими параметрами $\omega=0.4999, \alpha=0.1$ и $\beta=0$, здесь $m / n=1 / 2$. Так как $\beta=0$, то это отображение можно считать (не строго говоря) незакручивающим стандартным отображением. Оно является вырожденным в том смысле, что оно содержит только одну гармонику. Выполнение $n$ итераций его усредняет «слишком хорошо», что не типично. В данном случае все еще остаются два семейства двухпериодических островов, но эллиптические точки в их центрах для обеих семейств имеют приблизительно равные значения $x$. Меандровых кривых при этом не возникает, в п. 4 мы рассмотрим эту ситуацию.

Частный случай рассматриваемого отображения при $\omega=0$ называется квадратичным стандартным отображением. Этот случай, а также тригонометрическое стандартное отображение (в котором часть $\bar{x}=x+\bar{y}$ стандартного отображения заменяется на $\bar{x}=x+\alpha \sin (\bar{y})$ ) рассмотрены в качестве примеров в [4], где можно увидеть также и другие меандровые кривые. Тригонометрическое стандартное отображение известно также как «закручивающее отображение», см. [15]. Некоторые свойства и обобщения можно найти в [10] и в приложении С к [3].

Три рассмотренных выше рисунка выглядят как «вполне интегрируемые». Для доказательства их неинтегрируемости мы можем взять начальные условия, близкие к одной из двух гиперболических орбит. Мы сделали это для случая с), его соответствующее увеличение отображено на рис. $2 \mathrm{~d}$. Все показанные точки принадлежат одной и той же орбите (сделано 5 миллионов итераций, но только немногие попали на рисунок). Величина «хаотического моря» вблизи седловой тачки имеет порядок $10^{-7}$ и, поэтому мы можем ожидать, что расщепление сепаратрис, которое создает эту хаотическую область имеет порядок $10^{-14}$. Причем эта величина вследствие экспоненциально малого характера неинтегрируемого остатка должна очень быстро приближаться к нулю при уменьшении $\alpha$.

Возникает естественный вопрос: появляются ли меандровые кривые в простых и очень известных СПО или, несмотря на степень универсальности, мы должны искать их в некоторых «довольно странных» семействах. Ответ на этот вопрос состоит в том, что в некотором смысле они должны появиться во «всех» семействах отображений. Известно, что на эллиптическом острове аналитическое СПО стремится вести себя (локально) как отображение Хенона на малом масштабе, следовательно, мы проверили как раз такой случай (см. также $[13,14]$, где показаны меандровые кривые внутри трехпериодических островов сепаратрисного отображения – еще одной «универсальной» модели).

Для справки, отображение Хенона, которым мы пользовались, имеет вид
\[
H M_{\varepsilon}:(x, y) \rightarrow(\bar{x}, \bar{y})=(x+\bar{y}, y-(x-\varepsilon)) .
\]
$H M_{\varepsilon}$ имеет неподвижные точки с координатами ( 0,0 ) (гиперболические, если $\varepsilon>0$ ) и с $(\varepsilon, 0)$ (эллиптические, если $\varepsilon \in(0,4)$ ). Вокруг эллиптической неподвижной точки, за исключением случая $\varepsilon=3$, для которого собственные значения в этой точке являются кубическими корнями единицы, существуют инвариантные острова. Для инвариантных кривых можно вычислить число вращения. Конечно, для некоторых первоначальных значений мы окажемся не на острове, а в хаотической зоне и, в этом случае, среднее число вращения отображения будет вести себя аномально.

На рис. 3 показана зависимость числа вращения $\rho\left(x_{i n}, \varepsilon\right)$ от $x_{i n}$ для траекторий, начинающихся в точке $\left(x_{i n}, 0\right)$. Для данного значения $\varepsilon$ различные значения $\rho$ произвольно объединены линией. Для $\varepsilon$ приблизительно между 2,5 и 2,83 число вращения проходит через максимум, прежде чем кривые разрушаются. При $\varepsilon$, близких к рациональным числам приблизительно в пределах $(0.28,0.33)$, появляются меандровые кривые. Пример при $\rho$ вблизи $4 / 13$ показан на рис. 3. Вычисление нормальной формы (19) вблизи эллиптической точки показывает, что первый коэффициент Биркгофа меняет знак (с отрицательного на положительный) между $\varepsilon=2$ и $\varepsilon=3$.

Очень интересная картина возникает при рассмотрении следующего итерационного процесса. В «центральной области» меандровых кривых отображения $M_{\alpha}$ (см. (10)), которая в гамильтоновом приближении соответствует уровню $H_{\alpha}=0$ (см. (11) и рис. 1), число вращения имеет максимум и подходящим выбором параметра $\alpha$ можно сделать это число достаточно близким к некоторому рациональному. Затем мы можем снова применить теорему 1 и продолжать этот процесс сколько угодно раз. В качестве результата таких рассуждений мы сошлемся на рис. 4, который прокомментируем немного позже.

Рис. 3. а) Число вращения $\rho$ как функция начальной координаты $x$ (при $y=0$ ) для отображения Хенона (19). Разные кривые соответствуют различным значениям $\varepsilon$. По горизонтали откладываются значения $x_{i n}$, а по вертикали – значения $\rho \in[1 / 4,1 / 3]$. Отмеченные на рисунке точки приблизительно соответствуют максимуму $\rho \approx 4 / 13$ при заданном $\varepsilon$. b) Увеличение фрагмента фазового портрета при $\varepsilon=2.68998$. На рисунке видны меандровые кривые, а также два острова с числом вращения 4/13

Рассмотрим меандровую кривую и назовем ее меандром первого поряд$\kappa a$. Затем переведем ее в переменные действие-угол, введенные на третьем шаге в доказательстве теоремы 1. После этого она будет очень близка к окружности и совсем не будет извиваться. В новых переменных вблизи центральной части, при подходящем числе вращения может также появиться меандр. Его мы назовем меандром второго порядка. Подобным же образом можно ввести меандры высших порядков. На рис. 4 проиллюстрирована эта ситуация. Варианты рисунка b), с) и d) являются последовательными увеличениями рисунка а). На всех них показан меандр третьего порядка. Более того, на рисунке d) есть другие инвариантные кривые, причем две из них являются меандрами четвертого порядка (остальные три являются инвариантными кривыми на периодических островах). Отметим, что мы начали с меандров третьего порядка. Действительно, для используемых значений параметров меандры первого и второго порядка, по-видимому, не существуют, и их место занято большим стохастическим слоем. Это происходит из-за «большого» значения $\alpha$, необходимого для того, чтобы увидеть меандровую кривую четвертого порядка. Графическое доказательство заключается в том, что инвариантные кривые существуют, по-видимому, только в очень малой области начальных значений $y \in(-1.347435,-1.347334)$, $x=0$, (т.е. их нет вокруг ни одной из неподвижных или периодических эллиптических точек $F_{\omega, \alpha, 0}$ ). Также в этой области можно увидеть несколько периодических островов, причем те, что с меньшим периодом являются 6417 -периодическими.

Мы также можем ввести понятие периода меандра. Это просто период близких главных островов. В обозначениях (6) он соответствует значению $n$. На рис. 4 периоды меандров первого, второго, третьего и четвертого порядка равны соответственно 1, 23, 277 и 9487 . В частности, последнее число является периодом островов с числом вращения 411/9487, показанных на рис. $4 \mathrm{~d}$. Отметим, что несмотря на то, что кривые меандров первого и второго порядка, собственно, не существуют, присутствуют соответствующие острова.

Очевидно, что, вводя на каждом шаге соответствующие (общего вида) достаточно малые возмущения, можно получить меандр любого порядка. В пределе это, по-видимому, позволяет получить неспрямляемую кривую. Используя обозначения (11) (см. рис. 1с для геометрического толкования), можно ввести иирину меандра как разницу вдоль меандра между максимальным и минимальным значениями $y$. Это относится к текущему значению параметра $b$, которое может быть преобразовано в исходные переменные с помощью отмены масштабирований. Колебанием меандра назовем разницу между последовательными значениями $x$ в точках, где орбита проходит через $y=-\sqrt{b}$ и $y=\sqrt{b}$ (в (11) при этом отбрасываются члены $o(1)$ ). Колебание является функцией текущих значений $b$ и $h: o s c=\cos ^{-1}(h-$ $\left.-2 b^{3 / 2} / 3\right)-\cos ^{-1}\left(h+2 b^{3 / 2} / 3\right)$. Для получения меандров неограниченной длины следует доказать, что колебание или ширина меандра не уменьшается слишком быстро при увеличении его порядка. Неясно, можно ли этого достичь аналитическими методами. Более того, также неясно, можно ли получить меандр любого порядка в произвольном однопараметрическом семействе отображений.

Вернемся теперь к случаю, показанному на рис. 2в. Используя обозначения, введенные на первом шаге в доказательстве теоремы 1 , функция $p(x)$ не имеет гармоники с $n=2$. То есть общее условие $c_{n}
eq 0$ в (9) не выполняется. Конечно, гармоники второго порядка появляются как результат взаимодействия первой гармоники с собой, но они больше не являются доминирующими. Для примера подставим $\omega=1 / 2+\mu(2 \pi)$ и $\beta=0$ в (18). Тогда можно вычислить $F_{1 / 2+\mu(2 \pi), \alpha, 0}^{2}$, и оказывается, что полезно сделать

Рис. 4. Меандровые кривые высшего порядка, соответствующие отображению (19) $\mathrm{c}(\omega, \alpha, \beta)=(-0.071963192,0.3,0)$ и начальной точкой $(0,-1.347394)$. Здесь существенен выбор (подходящих областей) $\omega$ и $y$. На рисунке а) показана глобальная картина, ее последовательные увеличения показаны на рисунках b), с) и d). Рисунки имеют размеры: $[0,2 \pi] \times[-1.5,1.5],[2.15,2.5] \times[-0.8,-0.61],[2.19,2.26] \times$ $[-0.75,-0.72]$ и $[2.211,2.2135] \times[-0.728,-0.724]$ соответственно. Для последнего рисунка использовались 5 дополнительных начальных значений $y$ с шагом $10^{-6}$, для каждого из которых было выполнено $2 \times 10^{7}$ итераций, однако только несколько из них уместилось на рисунке

следующую замену переменных: $\mu=c \alpha^{2}, y=\alpha\left(z-\frac{1}{2} \sin (x)\right)$. Снова обозначив новую переменную $z$ через $y$, получим отображения
\[
\begin{array}{c}
(x, y) \rightarrow(\bar{x}, \bar{y})=\left(x+\alpha^{2}\left(2 c+\frac{1}{4}+2 y^{2}-\frac{1}{4} \cos (2 x)\right)+O\left(\alpha^{4}\right),\right. \\
\left.y-\alpha^{2} y \frac{1}{2} \sin (2 x)+O\left(\alpha^{4}\right)\right),
\end{array}
\]

что соответствует порождающей функции
\[
S(x \bar{y})=x \bar{y}+\alpha^{2}\left(b \bar{y}+\frac{2}{3} y^{3}-\frac{1}{4} \bar{y} \cos (2 x)\right)+O\left(\alpha^{4}\right),
\]

где $b=2 c+\frac{1}{4}$. Данное отображение имеет интегрируемое приближение, задаваемое гамильтоновым потоком с $\alpha^{2}$ в качестве времени и гамильтонианом
\[
H(x, y)=b y+\frac{2}{3} y^{3}-\frac{1}{4} y \cos (2 x)+O\left(\alpha^{2}\right) .
\]

Сравнив (20) и (4), мы видим, что в общем случае отсутствуют тригонометрические члены, умноженные на $\bar{y}$ в главном порядке разложения по $\alpha$. Отметим, что в (20) некоторые из этих членов появляются во вкладе $O\left(\alpha^{2}\right)$.