Перейдем к случаям $N>3$. Мы ищем $2 \pi$-периодические функции $q: S^{1} \longmapsto R^{2}$ такие, что функции
\[
z_{j}(t)=q(t-(j-1) 2 \pi / N), j=1, \ldots, N,
\]

являются решением (1). $Z / N Z$ действует на множество тел и в $S^{1}$, смещаясь к следующему телу (или к следуюшей вершине $N$-угольника). Это также можно использовать в теоретических и вычислительных целях. Отметим, что $q(t)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению с запаздываниями, кратными $2 \pi / N$. Однако это замечание, по-видимому, не уменьшает трудности.

Столкновение происходит, если существует двойная точка $q\left(t_{1}\right)=$ $=q\left(t_{2}\right)$ с $t_{2}-t_{1}$, кратным $2 \pi / N$. Мы рассматриваем класс не обладающих столкновениями функций, он должен быть аналитическим (потенциалы являются аналитическими, если $r
eq 0$ ). Несмотря на вариационный подход, достаточно рассмотреть пространство Соболева $H^{1}\left(S^{1}, R^{2}\right.$ ) (или для краткости $H^{1}$ ) функций с квадратичной интегрируемой первой производной. Пусть $\Delta \subset H^{1}$ являются функциями, соответствующими столкновениям. Нам бы хотелось показать, что в каждой связной составляющей $H^{1} \backslash \Delta$ существует решение минимизирующее действие. К сожалению, это не является истинным для ньютонова потенциала.

Для начала приведем на рис. 2 большинство известных в наше время хореографий из пяти тел, кроме правильного пятиугольника и цепочки из 4 звеньев рис. 1.3. Они пронумерованы в порядке возрастания величины действия. У пятиугольника действие меньше, чем у всех остальных хореографий, а цепочка из четырех звеньев расположена между рисунками 2.4 и 2.5. Все представленные хореографии имеют некоторую симметрию. Большинство из них представляют собой линейные цепочки, имеющие петли различной величины, некоторые петли при этом согнуты. Рис. 2.1 состоит из большой и малой петель, в малой петле может быть как одно, так и два тела при всех значениях $t$.

Определение 3.1. Рассмотрим двойную точку, являющуюся образом моментов $t_{1}$ и $t_{2}$ в пространстве $q$. Образы двух дуг, идущих от $t_{1} \kappa t_{2}$

Рис. 2. . Найденные хореографии для пяти тел. Точки обозначают начальные условия

Таблица 2. Численные данные для хоресграфий пяти тел. $\min r_{i, j}(t)$ взят по всем $i
eq j, t \in S^{1} . \lambda_{L}$ означает показатель Ляпунова.

в $S^{1}$, назовем петлями, соответствующими этой точке. Допустим, что $0 \leqslant t_{1}<t_{2}<2 \pi$, тогда длины этих петель равны $l=\left(t_{2}-t_{1}\right) N /(2 \pi) u$ $l_{c}=N-l$. Это определение просто распространяется на кратные точки.

Основную роль играют целочисленные длины $[l]$ и $\left[l_{c}\right]$, где $[\cdot]$ обозначает целую часть. Что же касается бесстолкновительной функции $[l]+\left[l_{c}\right]=$ $=N-1$, то обычно точке ставится в соответствие целочисленная длина, являющаяся минимумом $[l]$ и $\left[l_{c}\right]$. Ясно, что если мы деформируем $q$ без прохождения через столкновения, то целочисленная длина не может измениться. Таким образом, можно без проблем создать/разрушить малые петли длины меньше единицы (целочисленная длина которых равна нулю). Кроме того, две близкие двойные точки на $q\left(S^{1}\right)$ могут стягиваться посредством деформации $q$ в некоторую третью точку, если таковая имеет $l
otin N$, также точки могут при этом исчезать. Подобным же образом могут быть созданы новые петли.

Рассмотрим рис. 2.1: на нем целочисленная длина, соответствующая двойной точке, составляет единицу. Также могут существовать подобные хореографии, имеющие малую петлю внутри большой. В качестве примера рис. 2.7 имеет две малые петли (внутри и вне окружности), обе с $[l]=$ $=1$. Существование петель длиной $[l]=1$ внутри большой петли будет рассмотрено в п. 6. Кроме топологических ограничений, здесь существуют также динамические. Возьмем, например, рис. 2.15. Около центра существует небольшая область с двумя двойными точками, расположенными очень близко друг от друга и имеющими $[l]=1$. Их можно удалить с помощью деформации. Но затем прохождение около столкновения, которое значительно изменяет движения обоих тел, приведет к совершенно другой траектории.