Перейдем к случаям $N>3$. Мы ищем $2\pi$-периодические функции $q:S^1⟼R^2$ такие, что функции
$$z_j(t)=q(t-(j-1)2\pi /N),j=1,\dots ,N,$$

являются решением (1). $Z/NZ$ действует на множество тел и в $S^1$, смещаясь к следующему телу (или к следуюшей вершине $N$-угольника). Это также можно использовать в теоретических и вычислительных целях. Отметим, что $q(t)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению с запаздываниями, кратными $2\pi /N$. Однако это замечание, по-видимому, не уменьшает трудности.

Столкновение происходит, если существует двойная точка $q\left(t_1\right)=$ $=q\left(t_2\right)$ с $t_2-t_1$, кратным $2\pi /N$. Мы рассматриваем класс не обладающих столкновениями функций, он должен быть аналитическим (потенциалы являются аналитическими, если $req0$ ). Несмотря на вариационный подход, достаточно рассмотреть пространство Соболева $H^1(S^1,R^2$ ) (или для краткости $H^1$ ) функций с квадратичной интегрируемой первой производной. Пусть $\mathrm{\Delta }\subset H^1$ являются функциями, соответствующими столкновениям. Нам бы хотелось показать, что в каждой связной составляющей $H^1\mathrm{\setminus }\mathrm{\Delta }$ существует решение минимизирующее действие. К сожалению, это не является истинным для ньютонова потенциала.

Для начала приведем на рис. 2 большинство известных в наше время хореографий из пяти тел, кроме правильного пятиугольника и цепочки из 4 звеньев рис. 1.3. Они пронумерованы в порядке возрастания величины действия. У пятиугольника действие меньше, чем у всех остальных хореографий, а цепочка из четырех звеньев расположена между рисунками 2.4 и 2.5. Все представленные хореографии имеют некоторую симметрию. Большинство из них представляют собой линейные цепочки, имеющие петли различной величины, некоторые петли при этом согнуты. Рис. 2.1 состоит из большой и малой петель, в малой петле может быть как одно, так и два тела при всех значениях $t$.

Определение 3.1. Рассмотрим двойную точку, являющуюся образом моментов $t_1$ и $t_2$ в пространстве $q$. Образы двух дуг, идущих от $t_1\kappa t_2$

Рис. 2. . Найденные хореографии для пяти тел. Точки обозначают начальные условия

Таблица 2. Численные данные для хоресграфий пяти тел. $min{r}_{i,j}(t)$ взят по всем $ieqj,t\in S^1.{\lambda }_L$ означает показатель Ляпунова.

в $S^1$, назовем петлями, соответствующими этой точке. Допустим, что $0⩽t_1<t_2<2\pi$, тогда длины этих петель равны $l=(t_2-t_1)N/(2\pi )u$ $l_c=N-l$. Это определение просто распространяется на кратные точки.

Основную роль играют целочисленные длины $[l]$ и $\left[l_c\right]$, где $[\cdot ]$ обозначает целую часть. Что же касается бесстолкновительной функции $[l]+\left[l_c\right]=$ $=N-1$, то обычно точке ставится в соответствие целочисленная длина, являющаяся минимумом $[l]$ и $\left[l_c\right]$. Ясно, что если мы деформируем $q$ без прохождения через столкновения, то целочисленная длина не может измениться. Таким образом, можно без проблем создать/разрушить малые петли длины меньше единицы (целочисленная длина которых равна нулю). Кроме того, две близкие двойные точки на $q\left(S^1\right)$ могут стягиваться посредством деформации $q$ в некоторую третью точку, если таковая имеет $lotinN$, также точки могут при этом исчезать. Подобным же образом могут быть созданы новые петли.

Рассмотрим рис. 2.1: на нем целочисленная длина, соответствующая двойной точке, составляет единицу. Также могут существовать подобные хореографии, имеющие малую петлю внутри большой. В качестве примера рис. 2.7 имеет две малые петли (внутри и вне окружности), обе с $[l]=$ $=1$. Существование петель длиной $[l]=1$ внутри большой петли будет рассмотрено в п. 6. Кроме топологических ограничений, здесь существуют также динамические. Возьмем, например, рис. 2.15. Около центра существует небольшая область с двумя двойными точками, расположенными очень близко друг от друга и имеющими $[l]=1$. Их можно удалить с помощью деформации. Но затем прохождение около столкновения, которое значительно изменяет движения обоих тел, приведет к совершенно другой траектории.