Уравнение Хилла с квазипериодической вынуждающей силой в некотором отношении совершенно подобно случаю с периодической вынуждающей силой, особенно в отношении поведения резонансных полуостровов при малой вынуждающей силе. Кроме того, объяснение в терминах нормальных форм (усреднения) точно такое же, как для периодического случая. Существование очагов неустойчивости и их объяснение для периодического случая $[5,6]$ также переносится на квазипериодический случай.

Однако в квазипериодическом случае поведение дополнения резонансных полуостровов, а также глобальное поведение этих полуостровов совершенно отлично от периодического случая. Данный вопрос сильно связан с приводимостью уравнений. Говоря точнее, мы получили следующие результаты (см. также п. 1). Во-первых, как для $\lambda>0$, так и для $\rho
eq \frac{1}{2}\left(k_{1}+\right.$ $\left.+k_{2} \gamma\right), \forall\left(k_{1}, k_{2}\right) \in \mathbb{Z}^{2}$ может не быть приводимости. Во-вторых, в пределах полуостровов существует «простая» гиперболическая приводимость. В-третьих, при $\lambda=0$ существует «сложная» эллиптическая приводимость, которую можно установить только для больших значений $a[22,10]$. Однако, по-видимому, эти результаты можно распространить на случай конечного $a$ при малом $b$. Действительно, численное доказательство данной статьи для конечных значений $(a, b)$ и КАМ-доказательство относительно усреднения (см., например, $[1,17,22,10]$ ), по-видимому, свидетельствует в пользу следующих фактов:
1) Для малых $b$ в $(a, b)$-плоскости существует канторов пучок $b$-параметризованных кривых, на котором выполняется эллиптическая приводимость. В промежутках находятся резонансные полуострова, вне которых этот пучок имеет полную меру. Мы называем эту часть плоскости параметров КАМ-областью.
Канторов пучок, как обычно, характеризуется диофантовой нижней оценкой $\left.\left|\rho(a, b)-\frac{1}{2}<k, \omega\right\rangle \right\rvert\,$. Кроме указанных выше источников нам бы хотелось отметить работу, которая скоро появится в печати [23].
2) Априори может также иметь место неприводимость, в частности, за пределами резонансных полуостровов, когда $\rho-\frac{1}{2}\langle k, \omega\rangle$ равно числу Лиувилля. Это может происходить только на оставшемся (после исключения КАМ-области) множестве нулевой меры в ( $a, b$ )-плоскости, причем опять же при малых $b$. Было бы интересно проверить существования подобного явления в рассматриваемом примере $p$, расширив его, например, введя дополнительные параметры. Сравните с $[15,12]$.
Отметим, что результаты этого поведения могут подвергнуть сомнению Гипотезу 3.
3) КАМ-область простирается до «линии коллапса», где происходит разрушение нетривиальных КАМ-торов. Начиная с этой линии динамика является приводимой только в пределах резонансных полуостровов.
4) На линии коллапса резонансные полуострова, по-видимому, настолько увеличиваются по ширине, что для нетривиальных торов не остается пространства.
По-видимому, также стоит исследовать несколько обобщений. Пусть $r=\omega_{2} / \omega_{1}$ – отношение частот.

– Что происходит, если отношение частот $r$ стремится к некоторому рациональному числу, оставаясь на множестве диофантовых чисел? В случае периодических решений предположительно получим классическую теорию Флоке, при этом линия коллапса должна уйти на бесконечность в направлении $b$.
– Как изменяется общая картина, если отношение частот $r$ является не диофантовым, а, например, числом Лиувилля?
– Как существование очагов неустойчивости влияет на линию коллапса?
– Какова общая ситуация, когда $p(t)$ квазипериодическая с тремя и более основными частотами?
– Уравнение Хилла с квазипериодической вынуждающей силой вероятно является простейшим примером линейного уравнения с квазипериодическими коэффициентами. Что можно ожидать для общих уравнений в $\mathbb{R}^{n}$ ?