2.1. От плоской ОЗТТ к гамильтониану задачи Хилла

Пусть $P_1$ и $P_2$ — первое и второе тела с массами $m_1=1-\mu$ и $m_2=$ $=\mu (\mu <1/2)$ соответственно, описывающие круговые орбиты благодаря взаимному притяжению. Во вращающейся системе координат с началом в центре масс уравнения Ньютона для легкой частицы $P_0$, которая не влияет
на движение $P_1$ и $P_2$, имеют вид (см. [19] для вводной информации)
$$\begin{array}{l}\ddot{x}-2\dot{y}=x-\frac{(1-\mu )(x-\mu )}{r_1^3}-\frac{\mu (x+1-\mu )}{r_2^3},\\ \ddot{y}+2\dot{x}=y(1-\frac{1-\mu }{r_1^3}-\frac{\mu }{r_2^3}),\end{array}$$

где $r_1^2=(x-\mu {)}^2+y^2$ и $r_2^2=(x-\mu +1{)}^2+y^2$, как показано на рис. 1 . Положения тел обозначены $P_1=(\mu ,0)$ и $P_2=(1-\mu ,0)$.
Рис. 1. Постановка пространственной ограниченной задачи трех тел
Отметим, что уравнения приведены в безразмерных координатах, т.е. единица измерения массы $m_1+m_2=1$, единица длины — расстояние между $P_1$ и $P_2$, и единицы времени выбраны таким образом, чтобы период обращения тяжелых тел равнялся $2\pi$. В этих единицах гравитационная константа $G$ принята равной единице. Уравнение (1) допускает первый интеграл, называемый интегралом Якоби, который записывается в виде:
$$C_{\mathcal{g}}=-({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)+2\mathrm{\Omega }(x,y),$$

где
$$\mathrm{\Omega }(x,y)=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{1-\mu }{r_1}+\frac{\mu }{r_2}+\frac{1}{2}\mu (1-\mu ).$$
— гравитационный потенциал в синодических координатах. Постоянное слагаемое в (3) выбрано таким образом, чтобы $C_{\mathcal{J}}=3$ в точках $L_4$ и $L_5$.

Проведем преобразование Хилла, которое состоит в изменении масштаба с последующим переходом в систему отсчета, связанную со вторым телом, а именно:
$$x=X{\mu }^{1/3}+\mu -1,\dot{x}=\dot{X}{\mu }^{1/3},y=Y{\mu }^{1/3},\dot{y}=\dot{Y}{\mu }^{1/3}.$$

Разложим $C_{\mathcal{g}}$ по степеням ${\mu }^{1/3}$. Отбросив члены порядка $\mu$ и выше, мы получим предельную задачу Хилла. Используя (4), разложение принимает форму:
$$\begin{array}{rl}{C}_H=-{\dot{X}}^2-{\dot{Y}}^2+\frac{2}{{(X^2+Y^2)}^{1/2}}& +3X^2+{\mu }^{1/3}(2X^3+3X{Y}^2)+\\ & +{\mu }^{2/3}(2X^4-6X^2{Y}^2+\frac{3}{4}Y)+O(\mu ),\end{array}$$

где $C_H={\mu }^{-2/3}(C_{\mathcal{J}}-3(1-\mu ))$ и ${\mu }^{2/3}{C}_H\to C_{\mathcal{J}}-3$ при $\mu$ стремящемся к нулю.
Гамильтониан для членов, не зависящих от $\mu$, имеет вид:
$$H_H(q_1,q_2,p_1,p_2)=\frac{1}{2}(p_1^2+p_2^2)-\frac{1}{{(q_1^2+q_2^2)}^{1/2}}+q_2{p}_1-q_1{p}_2-q_1^2+\frac{1}{2}{q}_2^2,$$

где $q_1=X,q_2=Y,p_1=\dot{X}-Y$ и $p_2=\dot{Y}+X-$ канонические переменные. Связь между этим гамильтонианом и $C_H$ определяется выражением $H=-C_H/2$. В первом порядке по ${\mu }^{1/3}$ получаем задачу Кеплера, возмущенную силами Кориолиса и действием Солнца. Итак, модель Хилла это первое приближение ОЗТТ, подходящее для изучения движения в окрестности второго тела и учитывающее действие первого. Следующие два члена разложения выглядят следующим образом:
$$H_{1/3}=-2q_1^3+3q_1{q}_2^2,H_{2/3}=-2q^4+6q_1^2{q}_2^2-\frac{3}{4}{q}_2^4.$$

Стоит отметить, что эта модель применительно к движению Луны дает хорошее описание ее орбиты, и таким образом оправдывает данное приближение ОЗТТ в окрестности второго тела (т.е. Земли, в качестве первого тела берется Солнце). Задача Хилла также полезна для понимания полной O3TT, т. к. некоторые явления могут быть получены аналитически в первом порядке по ${\mu }^{1/3}$.

2.2. Регуляризация Леви-Чивита

Применим следующую замену переменных $\mathit{L}(\hat{\mathit{q}}),\hat{\mathit{q}}=({\hat{q}}_1,{\hat{q}}_2)$, известную как преобразование Леви-Чивита (здесь и далее ЛЧ):
$$\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\hat{q}}_1& -{\hat{q}}_2\\ {\hat{q}}_2& {\hat{q}}_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\hat{q}}_1\\ {\hat{q}}_2\end{array}\right).$$

Индуцированное преобразование канонически сопряженных импульсов имеет вид:
$$\left(\begin{array}{l}{p}_1\\ p_2\end{array}\right)=\frac{2}{{\hat{r}}^2}\left(\begin{array}{cc}{\hat{q}}_1& -{\hat{q}}_2\\ {\hat{q}}_2& {\hat{q}}_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{\hat{p}}_1\\ {\hat{p}}_2\end{array}\right)$$

где ${\hat{r}}^2=({\hat{q}}_1^2+{\hat{q}}_2^2)=r={(q_1^2+q_2^2)}^{1/2}$. Чтобы завершить процедуру регуляризации, необходимо также осуществить замену времени:
$$d\tau =\frac{4dt}{({\hat{q}}_1^2+{\hat{q}}_2^2)}.$$

Подставляя (7)-(9) в (5), получаем соответствующий гамильтониан, $\hat{H}(\hat{\mathit{p}},\hat{\mathit{q}})=(r/4)(H_H(\hat{\mathit{p}},\hat{\mathit{q}})+p_0)$, который, если опустить значки ‘, имеет вид:
$$\begin{array}{rl}H=\left(\frac{p_0}{2}\right)\frac{(q_1^2+q_2^2)}{2}+\frac{1}{2}(p_1^2+p_2^2)& +\frac{1}{2}(q_1^2+q_2^2)(q_2{p}_1-p_2{q}_1)-\\ & -\frac{1}{4}(q_1^6-3q_1^4{q}_2^2-3q_1^2{q}_2^4+q_2^6),\end{array}$$

где $\frac{1}{2}{p}_0=-\frac{1}{2}{h}_H=\frac{1}{4}{c}_H=c,c_H$ и $h_H-$ значения интеграла Якоби $C_H$ и нерегуляризованного гамильтониана $H_H$ соответственно. Заметим, что $c$ одного знака с интегралом Якоби и противоположного с нерегуляризованным гамильтонианом.

Регуляризованный гамильтониан (10) все еще зависит от параметра $c$, который устраняется канонической заменой переменных
$$q_1=\alpha Q_1,q_2=\alpha Q_2,p_1=\beta P_1,p_2=\beta P_2,$$

и $H=\gamma \mathcal{H}$, где $\alpha =2c^{1/4},\beta =2c^{3/4},\gamma =\frac{1}{4}{c}^{-3/2}$. Здесь мы неявно предполагаем, что $c>0$. Главным образом, нас интересует именно этот случай, так как в этой области находятся точки либрации и их окрестности.

Более того, при $c\to 0h$ (значение нового гамильтониана) стремится к бесконечности и наоборот. Для отрицательных значений $c$ применяется то же преобразование, но с масштабным множителем $|c|$. Соответствующие преобразования гамильтониана будут рассмотрены далее. Очевидно, что преобразование (11) не определено при $c=0$.

В конечном итоге мы получили гамильтониан, не зависящий от параметров. Этот гамильтониан будет использован для численных расчетов в следующих разделах. Разложим его на однородные формы:
$$H(Q_1,Q_2,P_1,P_2)=H_2+H_4+H_6,$$

где
$$\begin{array}{l}{H}_2=\frac{1}{2}(Q_1^2+Q_2^2+P_1^2+P_2^2),\\ H_4=2(Q_1^2+Q_2^2)(Q_2{P}_1-Q_1{P}_2),\\ H_6=-4(Q_1^6+Q_2^6-3Q_1^4{Q}_2^2-3Q_1^2{Q}_2^4).\end{array}$$

Уравнения движения при этом принимают вид
$$\begin{array}{l}{\dot{Q}}_1=P_1+2R{Q}_2,{\dot{Q}}_2=P_2-2R{Q}_1,\\ {\dot{P}}_1=-Q_1+2R{P}_2-4Q_1{F}_c+24Q_1(Q_1^4-2Q_1^2{Q}_2^2-Q_2^4),\\ {\dot{P}}_2=-Q_2-2R{P}_2-4Q_2{F}_c+24Q_2(Q_2^4-2Q_1^2{Q}_2^2-Q_1^4),\end{array}$$

где $R=Q_1^2+Q_2^2$, а $F_c=Q_2{P}_1-Q_1{P}_2$ (сила Кориолиса). В случае отрицательных $c=c_H/4$ берется модуль $c$ и меняется знак потенциальной энергии гармонического осциллятора (т.е. $H_2$ должен иметь вид $\frac{1}{2}(-Q_1^2-Q_2^2+P_1^2+P_2^2))$.

Заметим, что $c$ и $-c$ соответствуют одному и тому же значению $h$, но разным гамильтоновым системам. Случай с $c=0$ необходимо исследовать без изменения масштаба и с «выключенным» потенциалом гармонического осциллятора (т.е. $H_2$ должен быть равен $\frac{1}{2}(P_1^2+P_2^2)$ ). Связь между гамильтонианом и интегралом Якоби имеет вид $h=\frac{1}{2}\left({\left|c_H\right|}^{-3/2}\right),c_{H}eq0$, что ясно показывает сингулярную природу масштабного преобразования, а также то, что $c_H$ может быть отрицательным. Таким образом, в численных

Рис. 2. Исходные канонические (слева) и ЛЧ (справа) переменные. Неподвижные точки $L_1$ и $L_2$ при преобразовании в ЛЧ переменные переходят на положительную горизонтальную и вертикальную оси соответственно

расчетах нужно быть осторожным, когда $c$ стремится к нулю, особенно если это происходит при продолжении периодических орбит.

В регуляризованном гамильтониане, как было замечено ранее, $H_2$ кеплеровский член, а $H_4$ — кориолисовский. Система с гамильтонианом $H_2+H_4$ интегрируема в смысле Лиувилля-Арнольда. Оставшийся член $H_6$ отвечает за возмущающее действие первого тела. Его наличие нарушает интегрируемость, т.е. инвариантные торы деформируются и разрушаются в соответствии с хорошо известным результатом КАМ-теории. Простота выражений в (13) и (14) упрощает вычисления.

ЛЧ-преобразование является двойным накрытием. Поэтому $L_1$ и $L_2$ являются образами точек либрации, тогда как $L_1^{\prime }$ и $L_2^{\prime }$ — копии этих точек (рис. 2). Удобно заметить, что ЛЧ-преобразование удваивает углы, отсчитываемые относительно начала координат, тогда как соответствующие расстояния соотносятся как квадратные корни (см. (7), (8) и рис. 2). Количество симметрий задачи Хилла в регуляризованном варианте увеличиваются и будут рассмотрены подробнее в п. 8.
2.3. Построение сечений Пуанкаре

Сечения Пуанкаре — это полезный инструмент для представления в компактной форме важной информации о непрерывных динамических системах. Это особенно верно для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы на заданном уровне энергии. В этой статье в основном используется сечение $Q_2=0,{\dot{Q}}_2>0$, когда мы отображаем итерации Пуанкаре на плоскости $(Q_1,{\dot{Q}}_1)$. Соотношение $h=\frac{1}{2}(Q_1^2+P_1^2+P_2^2)-2Q_1^3{P}_2-4Q_1^6$ позволяет вычислить $P_2$. Заметим, тем не менее, что это сечение, конечно, не глобально. Выражение энергии в переменных $(Q_1,Q_2,{\dot{Q}}_1,{\dot{Q}}_2)$ имеет вид:
$$H(Q_1,Q_2,{\dot{Q}}_1,{\dot{Q}}_2)=\frac{1}{2}(Q_1^2+Q_2^2+{\dot{Q}}_1^2+{\dot{Q}}_2^2)-6(Q_1^2+Q_2^2){(Q_1^2-Q_2^2)}^2.$$

При $Q_2=0$ уравнения (14) дают ${\dot{Q}}_1=P_1$. И3 (15) мы получаем ${\dot{Q}}_2>0$, и снова (14) дает нам $P_2={\dot{Q}}_2+2Q_1^3$. Таким образом, кривая $\frac{1}{2}(Q_1^2+P_1^2)-$ $-6Q_1^6=h$ задает границу области определения отображения Пуанкаре, и при $h⩽\frac{1}{18}$ она замкнута. Уровень $h=\frac{1}{18}$ содержит неподвижные точки, которые мы обсудим в п. 3. Для $h<\frac{1}{18}$ граница является аналитической кривой. На ней поток не трансверсален сечению. Точки на границе с $P_1>0$ ( $P_1<0)$ соответствуют локальным максимумам (минимумам) функции $Q_2(t)$. Если $P_1=0$, то точки с $Q_1>0(Q_1<0)$ являются точками перегиба $Q_2(t)$ с положительной (отрицательной) третьей производной.

Недостаток глобальности сечения Пуанкаре связан с появлением петель в проекции орбиты на плоскость $(Q_1,Q_2$ ), (и, следовательно, на плоскость $(q_1,q_2)$ ). Данный факт имеет множество следствий. Например, если п.о. имеет $n$ пересечений с сечением Пуанкаре, мы должны называть ее $n$-п.о. Но в непрерывном семействе п.о. величина $n$ может меняться из-за появления петель. Обычно петли появляются в апоцентре орбиты, вблизи границы области определения сечения Пуанкаре. Если в семействе п.о. число пересечений меняется, то семейству мы будем ставить в соответствие минимальную величину $n$.

В уравнениях движения удобно использовать $({\dot{Q}}_1,{\dot{Q}}_2)$ вместо $(P_1,P_2)$. В этом случае уравнения запишутся в виде:
$$\begin{array}{l}{\ddot{Q}}_1=-Q_1+8R{\dot{Q}}_2+12Q_1(3Q_1^4-2Q_1^2{Q}_2^2-Q_2^4),\\ {\ddot{Q}}_2=-Q_2-8R{\dot{Q}}_1+12Q_2(3Q_2^4-2Q_1^2{Q}_2^2-Q_1^4).\end{array}$$

Отметим, что уравнения (16) более «дешевы» для вычислений, чем (14). Стоит также отметить, что симметрии задачи позволяют сократить время вычислений. Так, начнем вычисление итераций Пуанкаре с $Q_2=0$ и ${\dot{Q}}_2>0$ (исключая границу). Затем, когда плоскость $Q_2=0$ вновь будет пересечена (с ${\dot{Q}}_2<0$ ) в точке $(Q_1,{\dot{Q}}_1)$, мы поставим ей в соответствие симметричную точку ( $-Q_1,-{\dot{Q}}_1)$. Это связано с двумя возможными решениями при построении ЛЧ-преобразования. Таким образом, «половина» сечения Пуанкаре соответствует истинному сечению Пуанкаре в исходных переменных.