2.1. От плоской ОЗТТ к гамильтониану задачи Хилла

Пусть $P_{1}$ и $P_{2}$ – первое и второе тела с массами $m_{1}=1-\mu$ и $m_{2}=$ $=\mu(\mu<1 / 2)$ соответственно, описывающие круговые орбиты благодаря взаимному притяжению. Во вращающейся системе координат с началом в центре масс уравнения Ньютона для легкой частицы $P_{0}$, которая не влияет
на движение $P_{1}$ и $P_{2}$, имеют вид (см. [19] для вводной информации)
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}-2 \dot{y}=x-\frac{(1-\mu)(x-\mu)}{r_{1}^{3}}-\frac{\mu(x+1-\mu)}{r_{2}^{3}}, \\
\ddot{y}+2 \dot{x}=y\left(1-\frac{1-\mu}{r_{1}^{3}}-\frac{\mu}{r_{2}^{3}}\right),
\end{array}
\]

где $r_{1}^{2}=(x-\mu)^{2}+y^{2}$ и $r_{2}^{2}=(x-\mu+1)^{2}+y^{2}$, как показано на рис. 1 . Положения тел обозначены $P_{1}=(\mu, 0)$ и $P_{2}=(1-\mu, 0)$.
Рис. 1. Постановка пространственной ограниченной задачи трех тел
Отметим, что уравнения приведены в безразмерных координатах, т.е. единица измерения массы $m_{1}+m_{2}=1$, единица длины – расстояние между $P_{1}$ и $P_{2}$, и единицы времени выбраны таким образом, чтобы период обращения тяжелых тел равнялся $2 \pi$. В этих единицах гравитационная константа $G$ принята равной единице. Уравнение (1) допускает первый интеграл, называемый интегралом Якоби, который записывается в виде:
\[
C_{\mathscr{g}}=-\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+2 \Omega(x, y),
\]

где
\[
\Omega(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{2}+\frac{1-\mu}{r_{1}}+\frac{\mu}{r_{2}}+\frac{1}{2} \mu(1-\mu) .
\]
– гравитационный потенциал в синодических координатах. Постоянное слагаемое в (3) выбрано таким образом, чтобы $C_{\mathscr{J}}=3$ в точках $L_{4}$ и $L_{5}$.

Проведем преобразование Хилла, которое состоит в изменении масштаба с последующим переходом в систему отсчета, связанную со вторым телом, а именно:
\[
x=X \mu^{1 / 3}+\mu-1, \quad \dot{x}=\dot{X} \mu^{1 / 3}, \quad y=Y \mu^{1 / 3}, \quad \dot{y}=\dot{Y} \mu^{1 / 3} .
\]

Разложим $C_{\mathscr{g}}$ по степеням $\mu^{1 / 3}$. Отбросив члены порядка $\mu$ и выше, мы получим предельную задачу Хилла. Используя (4), разложение принимает форму:
\[
\begin{aligned}
C_{H}=-\dot{X}^{2}-\dot{Y}^{2}+\frac{2}{\left(X^{2}+Y^{2}\right)^{1 / 2}} & +3 X^{2}+\mu^{1 / 3}\left(2 X^{3}+3 X Y^{2}\right)+ \\
& +\mu^{2 / 3}\left(2 X^{4}-6 X^{2} Y^{2}+\frac{3}{4} Y\right)+O(\mu),
\end{aligned}
\]

где $C_{H}=\mu^{-2 / 3}\left(C_{\mathscr{J}}-3(1-\mu)\right)$ и $\mu^{2 / 3} C_{H} \rightarrow C_{\mathscr{J}}-3$ при $\mu$ стремящемся к нулю.
Гамильтониан для членов, не зависящих от $\mu$, имеет вид:
\[
H_{H}\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)-\frac{1}{\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)^{1 / 2}}+q_{2} p_{1}-q_{1} p_{2}-q_{1}^{2}+\frac{1}{2} q_{2}^{2},
\]

где $q_{1}=X, q_{2}=Y, p_{1}=\dot{X}-Y$ и $p_{2}=\dot{Y}+X-$ канонические переменные. Связь между этим гамильтонианом и $C_{H}$ определяется выражением $H=-C_{H} / 2$. В первом порядке по $\mu^{1 / 3}$ получаем задачу Кеплера, возмущенную силами Кориолиса и действием Солнца. Итак, модель Хилла это первое приближение ОЗТТ, подходящее для изучения движения в окрестности второго тела и учитывающее действие первого. Следующие два члена разложения выглядят следующим образом:
\[
H_{1 / 3}=-2 q_{1}^{3}+3 q_{1} q_{2}^{2}, \quad H_{2 / 3}=-2 q^{4}+6 q_{1}^{2} q_{2}^{2}-\frac{3}{4} q_{2}^{4} .
\]

Стоит отметить, что эта модель применительно к движению Луны дает хорошее описание ее орбиты, и таким образом оправдывает данное приближение ОЗТТ в окрестности второго тела (т.е. Земли, в качестве первого тела берется Солнце). Задача Хилла также полезна для понимания полной O3TT, т. к. некоторые явления могут быть получены аналитически в первом порядке по $\mu^{1 / 3}$.

2.2. Регуляризация Леви-Чивита

Применим следующую замену переменных $\boldsymbol{L}(\hat{\boldsymbol{q}}), \hat{\boldsymbol{q}}=\left(\hat{q}_{1}, \hat{q}_{2}\right)$, известную как преобразование Леви-Чивита (здесь и далее ЛЧ):
\[
\left(\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\hat{q}_{1} & -\hat{q}_{2} \\
\hat{q}_{2} & \hat{q}_{1}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\hat{q}_{1} \\
\hat{q}_{2}
\end{array}\right) .
\]

Индуцированное преобразование канонически сопряженных импульсов имеет вид:
\[
\left(\begin{array}{l}
p_{1} \\
p_{2}
\end{array}\right)=\frac{2}{\hat{r}^{2}}\left(\begin{array}{cc}
\hat{q}_{1} & -\hat{q}_{2} \\
\hat{q}_{2} & \hat{q}_{1}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\hat{p}_{1} \\
\hat{p}_{2}
\end{array}\right)
\]

где $\hat{r}^{2}=\left(\hat{q}_{1}^{2}+\hat{q}_{2}^{2}\right)=r=\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)^{1 / 2}$. Чтобы завершить процедуру регуляризации, необходимо также осуществить замену времени:
\[
d \tau=\frac{4 d t}{\left(\hat{q}_{1}^{2}+\hat{q}_{2}^{2}\right)} .
\]

Подставляя (7)-(9) в (5), получаем соответствующий гамильтониан, $\hat{H}(\hat{\boldsymbol{p}}, \hat{\boldsymbol{q}})=(r / 4)\left(H_{H}(\hat{\boldsymbol{p}}, \hat{\boldsymbol{q}})+p_{0}\right)$, который, если опустить значки ‘, имеет вид:
\[
\begin{aligned}
H=\left(\frac{p_{0}}{2}\right) \frac{\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)}{2}+\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right) & +\frac{1}{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)\left(q_{2} p_{1}-p_{2} q_{1}\right)- \\
& -\frac{1}{4}\left(q_{1}^{6}-3 q_{1}^{4} q_{2}^{2}-3 q_{1}^{2} q_{2}^{4}+q_{2}^{6}\right),
\end{aligned}
\]

где $\frac{1}{2} p_{0}=-\frac{1}{2} h_{H}=\frac{1}{4} c_{H}=c, c_{H}$ и $h_{H}-$ значения интеграла Якоби $C_{H}$ и нерегуляризованного гамильтониана $H_{H}$ соответственно. Заметим, что $c$ одного знака с интегралом Якоби и противоположного с нерегуляризованным гамильтонианом.

Регуляризованный гамильтониан (10) все еще зависит от параметра $c$, который устраняется канонической заменой переменных
\[
q_{1}=\alpha Q_{1}, \quad q_{2}=\alpha Q_{2}, \quad p_{1}=\beta P_{1}, \quad p_{2}=\beta P_{2},
\]

и $H=\gamma \mathscr{H}$, где $\alpha=2 c^{1 / 4}, \beta=2 c^{3 / 4}, \gamma=\frac{1}{4} c^{-3 / 2}$. Здесь мы неявно предполагаем, что $c>0$. Главным образом, нас интересует именно этот случай, так как в этой области находятся точки либрации и их окрестности.

Более того, при $c \rightarrow 0 h$ (значение нового гамильтониана) стремится к бесконечности и наоборот. Для отрицательных значений $c$ применяется то же преобразование, но с масштабным множителем $|c|$. Соответствующие преобразования гамильтониана будут рассмотрены далее. Очевидно, что преобразование (11) не определено при $c=0$.

В конечном итоге мы получили гамильтониан, не зависящий от параметров. Этот гамильтониан будет использован для численных расчетов в следующих разделах. Разложим его на однородные формы:
\[
H\left(Q_{1}, Q_{2}, P_{1}, P_{2}\right)=H_{2}+H_{4}+H_{6},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
H_{2}=\frac{1}{2}\left(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}+P_{1}^{2}+P_{2}^{2}\right), \\
H_{4}=2\left(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}\right)\left(Q_{2} P_{1}-Q_{1} P_{2}\right), \\
H_{6}=-4\left(Q_{1}^{6}+Q_{2}^{6}-3 Q_{1}^{4} Q_{2}^{2}-3 Q_{1}^{2} Q_{2}^{4}\right) .
\end{array}
\]

Уравнения движения при этом принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{Q}_{1}=P_{1}+2 R Q_{2}, \quad \dot{Q}_{2}=P_{2}-2 R Q_{1}, \\
\dot{P}_{1}=-Q_{1}+2 R P_{2}-4 Q_{1} F_{c}+24 Q_{1}\left(Q_{1}^{4}-2 Q_{1}^{2} Q_{2}^{2}-Q_{2}^{4}\right), \\
\dot{P}_{2}=-Q_{2}-2 R P_{2}-4 Q_{2} F_{c}+24 Q_{2}\left(Q_{2}^{4}-2 Q_{1}^{2} Q_{2}^{2}-Q_{1}^{4}\right),
\end{array}
\]

где $R=Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}$, а $F_{c}=Q_{2} P_{1}-Q_{1} P_{2}$ (сила Кориолиса). В случае отрицательных $c=c_{H} / 4$ берется модуль $c$ и меняется знак потенциальной энергии гармонического осциллятора (т.е. $H_{2}$ должен иметь вид $\left.\frac{1}{2}\left(-Q_{1}^{2}-Q_{2}^{2}+P_{1}^{2}+P_{2}^{2}\right)\right)$.

Заметим, что $c$ и $-c$ соответствуют одному и тому же значению $h$, но разным гамильтоновым системам. Случай с $c=0$ необходимо исследовать без изменения масштаба и с «выключенным» потенциалом гармонического осциллятора (т.е. $H_{2}$ должен быть равен $\frac{1}{2}\left(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}\right)$ ). Связь между гамильтонианом и интегралом Якоби имеет вид $h=\frac{1}{2}\left(\left|c_{H}\right|^{-3 / 2}\right), c_{H}
eq 0$, что ясно показывает сингулярную природу масштабного преобразования, а также то, что $c_{H}$ может быть отрицательным. Таким образом, в численных

Рис. 2. Исходные канонические (слева) и ЛЧ (справа) переменные. Неподвижные точки $L_{1}$ и $L_{2}$ при преобразовании в ЛЧ переменные переходят на положительную горизонтальную и вертикальную оси соответственно

расчетах нужно быть осторожным, когда $c$ стремится к нулю, особенно если это происходит при продолжении периодических орбит.

В регуляризованном гамильтониане, как было замечено ранее, $H_{2}$ кеплеровский член, а $H_{4}$ – кориолисовский. Система с гамильтонианом $H_{2}+H_{4}$ интегрируема в смысле Лиувилля-Арнольда. Оставшийся член $H_{6}$ отвечает за возмущающее действие первого тела. Его наличие нарушает интегрируемость, т.е. инвариантные торы деформируются и разрушаются в соответствии с хорошо известным результатом КАМ-теории. Простота выражений в (13) и (14) упрощает вычисления.

ЛЧ-преобразование является двойным накрытием. Поэтому $L_{1}$ и $L_{2}$ являются образами точек либрации, тогда как $L_{1}^{\prime}$ и $L_{2}^{\prime}$ – копии этих точек (рис. 2). Удобно заметить, что ЛЧ-преобразование удваивает углы, отсчитываемые относительно начала координат, тогда как соответствующие расстояния соотносятся как квадратные корни (см. (7), (8) и рис. 2). Количество симметрий задачи Хилла в регуляризованном варианте увеличиваются и будут рассмотрены подробнее в п. 8.
2.3. Построение сечений Пуанкаре

Сечения Пуанкаре – это полезный инструмент для представления в компактной форме важной информации о непрерывных динамических системах. Это особенно верно для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы на заданном уровне энергии. В этой статье в основном используется сечение $Q_{2}=0, \dot{Q}_{2}>0$, когда мы отображаем итерации Пуанкаре на плоскости $\left(Q_{1}, \dot{Q}_{1}\right)$. Соотношение $h=\frac{1}{2}\left(Q_{1}^{2}+P_{1}^{2}+P_{2}^{2}\right)-2 Q_{1}^{3} P_{2}-4 Q_{1}^{6}$ позволяет вычислить $P_{2}$. Заметим, тем не менее, что это сечение, конечно, не глобально. Выражение энергии в переменных $\left(Q_{1}, Q_{2}, \dot{Q}_{1}, \dot{Q}_{2}\right)$ имеет вид:
\[
H\left(Q_{1}, Q_{2}, \dot{Q}_{1}, \dot{Q}_{2}\right)=\frac{1}{2}\left(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}+\dot{Q}_{1}^{2}+\dot{Q}_{2}^{2}\right)-6\left(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}\right)\left(Q_{1}^{2}-Q_{2}^{2}\right)^{2} .
\]

При $Q_{2}=0$ уравнения (14) дают $\dot{Q}_{1}=P_{1}$. И3 (15) мы получаем $\dot{Q}_{2}>0$, и снова (14) дает нам $P_{2}=\dot{Q}_{2}+2 Q_{1}^{3}$. Таким образом, кривая $\frac{1}{2}\left(Q_{1}^{2}+P_{1}^{2}\right)-$ $-6 Q_{1}^{6}=h$ задает границу области определения отображения Пуанкаре, и при $h \leqslant \frac{1}{18}$ она замкнута. Уровень $h=\frac{1}{18}$ содержит неподвижные точки, которые мы обсудим в п. 3. Для $h<\frac{1}{18}$ граница является аналитической кривой. На ней поток не трансверсален сечению. Точки на границе с $P_{1}>0$ ( $\left.P_{1}<0\right)$ соответствуют локальным максимумам (минимумам) функции $Q_{2}(t)$. Если $P_{1}=0$, то точки с $Q_{1}>0\left(Q_{1}<0\right)$ являются точками перегиба $Q_{2}(t)$ с положительной (отрицательной) третьей производной.

Недостаток глобальности сечения Пуанкаре связан с появлением петель в проекции орбиты на плоскость $\left(Q_{1}, Q_{2}\right.$ ), (и, следовательно, на плоскость $\left(q_{1}, q_{2}\right)$ ). Данный факт имеет множество следствий. Например, если п.о. имеет $n$ пересечений с сечением Пуанкаре, мы должны называть ее $n$-п.о. Но в непрерывном семействе п.о. величина $n$ может меняться из-за появления петель. Обычно петли появляются в апоцентре орбиты, вблизи границы области определения сечения Пуанкаре. Если в семействе п.о. число пересечений меняется, то семейству мы будем ставить в соответствие минимальную величину $n$.

В уравнениях движения удобно использовать $\left(\dot{Q}_{1}, \dot{Q}_{2}\right)$ вместо $\left(P_{1}, P_{2}\right)$. В этом случае уравнения запишутся в виде:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{Q}_{1}=-Q_{1}+8 R \dot{Q}_{2}+12 Q_{1}\left(3 Q_{1}^{4}-2 Q_{1}^{2} Q_{2}^{2}-Q_{2}^{4}\right), \\
\ddot{Q}_{2}=-Q_{2}-8 R \dot{Q}_{1}+12 Q_{2}\left(3 Q_{2}^{4}-2 Q_{1}^{2} Q_{2}^{2}-Q_{1}^{4}\right) .
\end{array}
\]

Отметим, что уравнения (16) более «дешевы» для вычислений, чем (14). Стоит также отметить, что симметрии задачи позволяют сократить время вычислений. Так, начнем вычисление итераций Пуанкаре с $Q_{2}=0$ и $\dot{Q}_{2}>0$ (исключая границу). Затем, когда плоскость $Q_{2}=0$ вновь будет пересечена (с $\dot{Q}_{2}<0$ ) в точке $\left(Q_{1}, \dot{Q}_{1}\right)$, мы поставим ей в соответствие симметричную точку ( $\left.-Q_{1},-\dot{Q}_{1}\right)$. Это связано с двумя возможными решениями при построении ЛЧ-преобразования. Таким образом, «половина» сечения Пуанкаре соответствует истинному сечению Пуанкаре в исходных переменных.