Может ли диффеоморфизм компактного многообразия $M$ на себя быть $C^{r}$-аппроксимирован при всех $r \geqslant 1$ диффеоморфизмом $T: M \rightarrow M$, который коммутирует только со своими итерациями?

Таким образом, централизатором $T$ в группе диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}(M)$ должно быть множество $\left\{T^{k} \mid k \in Z\right\}$.

Начало изучения централизаторов было положено мной в [58], однако только после диссертации Ненси Копелл (см. [10]), ответившей утвердительно на вопрос в случае $\operatorname{dim} M=1$, я предложил эту проблему [59]. В настоящее время она остается нерешенной даже для двумерных многообразий $M$.

Можно также задать вопрос, является ли множество диффеоморфизмов $M$ с тривиальным централизатором плотным и открытым в $\operatorname{Diff}(M)$ с $C^{r}$ топологией.

Основная работа по этой тематике была выполнена Палисом и Иоккос в [38], где они дали почти полные ответы в случае гиперболической динамики (см. проблему 11) для любого многообразия.

В [65] я написал: «Я нахожу эту проблему интересной в том смысле, что она фокусируется на некоторой темной области вне гиперболичности, где даже трудно четко что-либо сформулировать».