Все рассмотренные до сих пор случаи имели одну общую особенность: они включают в качестве главных членов только одну гармонику (см. (11), (21), (22) и (25)). Если незакручивание общее, а возмущение нет, и гармоника «второго» порядка так же (или более) важна, как гармоника «первого» порядка, то есть, используя обозначение шага 1 в доказательстве теоремы 1 , если $c_{2n}$ более важен, чем $c_n$, то соответствующая гамильтонова модель имеет вид
$$H_{\alpha }(x,y)=-by+\frac{1}{3}{y}^3+\cos (x)+\frac{\gamma }{2}\cos (2x+\phi )+o(1),$$

где $\gamma$ может быть значительно больше 1. Теперь здесь появляется в целом восемь неподвижных точек, четыре эллиптических и четыре гиперболических. Соответствующий выбор значений $b,\gamma$ и $\phi$ позволяет получить различные наборы решений для гамильтониана и, следовательно, наборы инвариантных кривых для рассматриваемого СПО.

Как предложено в п. 4, поучительно изучить изменения топологии (27) как функции $(b,\gamma ,\phi )$, для того, чтобы понять как происходят изменения при появлении второй гармоники.

Ниже мы прсдставим болес общий случай и описанис выбора парамстров. Семейство отображений, соответствующее модели (27), следующее
$$T_{\omega ,\alpha ,\gamma }:(x,y)\to (\overline{x},\overline{y})=(x+\omega +{\overline{y}}^2,y+\alpha \sin (x)+\gamma \sin (2x+\phi ))).$$

Пример возможной формы инвариантных кривых для значений параметров $(\omega ,\alpha ,\gamma ,\phi )=(-0.01,0.05,1.3,1)$ показан на рис. 6с.

Посмотрев на форму различных инвариантных кривых, представляется естественным предложить для них название лабиринтные кривые. Несомненно, они выглядят как путь в (цилиндрическом) лабиринте, стенками лабиринта при этом являются инвариантные множества седловых точек (сепаратриссы). Эти множества не показаны на рис. 6c и d, чтобы не загромождать рисунки. Вместо этого нарисованы некоторые из основных островов. Если мы посмотрим на рис. $2\mathrm{a}$ и $\mathrm{b}$, то увидим, что следуя меандровой кривой первого порядка (в координатах $(x,y)$ ) слева направо, касательный к ней вектор вращается от начального угла, близкого к горизонтальному, на некоторую величину в интервале $(\pi /2,\pi )$ (по часовой стрелке и против нее). На рис. 6а это вращение близко к $\pi$, а на рис. 6с значительно превосходит $\pi$. Далее мы рассмотрим случай, где допустим почти любой угол вплоть до $2\pi$.

Пытаясь обобщить предыдущую мысль, мы можем рассмотреть в простейшем случае предельный гамильтонов поток, который состоит из суммы полинома по $y$ («кинетической энергии») и тригонометрического полинома по $x$ («потенциала»). Более общие ситуации будут включать произведения полинома на тригонометрические функции. Для конкретности выберем полином пятой степени и тригонометрический полином с гармониками первого и второго порядка. Поскольку мы хотим получить много неподвижных точек, то выберем такие полиномы, чтобы их производные имели четыре нуля. С помощью масштабирования переменных поместим два крайних нуля производной по $y$ в точки $y_1=0$ и $y_4=1$, и пусть для остальных двух нулей выполняется $0<y_2<y_3<1$. Один из нулей по $x$ можно расположить в точку $x_1=0$. Еще для двух нулей пусть выполняется $0<x_2<x_3$. Четвертый $x_4$ определяется через первые три. Допустим, что $x_2,x_3$ таковы, что $x_3<x_4$. Тогда гамильтониан может быть записан как
$$H(x,y)=P(y)+\gamma T(x),$$

а его производные равны $P^{\prime }(y)=\frac{dP}{dy}=y(y-y_2)(y-y_3)(y-1),T^{\prime }(x)=$ $=\frac{dP}{dx}=s_1\sin (x)+s_2\sin (2x)+c_1(\cos (x)-\cos (2x))$ и $s_1,s_2,c_1$ выбраны так, что $T^{\prime }\left(x_2\right)=T^{\prime }\left(x_3\right)=0$ и $s_1^2+s_2^2+c_1^2=1$, а значение $\gamma$ — масштабный множитель потенциала. Таким образом, гамильтониан (29) зависит от пяти параметров, $p=(x_2,x_3,y_2,y_3,\gamma )$, а СПО, как обычно, может быть получено с помощью
$$L_{p,\epsilon }:(x,y)\to (\overline{x},\overline{y})=(x+\epsilon P^{\prime }(\overline{y}),y+\epsilon T^{\prime }(x)).$$

Гамильтониан $H$ имеет восемь эллиптических и восемь седловых критических точек. Пусть $S_1=(x_1,y_1),S_2=(x_1,y_3),S_3=(x_2,y_2),S_4=$ $=(x_2,y_4),\dots$, являются седловыми точками (см. рис. 6d). Относительное положение инвариантных многообразий зависит от значений $h_j=H\left(S_j\right)$. После нескольких тестов мы выбрали порядок $h_1<h_7<h_5<h_2<$ $h_6<h_3<h_8<h_4$ как удобный для примера. Для достижения этого были определены приблизительные значения $p$, а затем они были локально оптимизированы, при этом максимизировался $\underset{ieqj}{min}|h_i-h_j|$ так, чтобы «пути в лабиринте» допускали меандровые кривые. Были получены следующие значения : $x=0.2816112\cdot 2\pi ,x_3=0.549899\cdot 2\pi ,y_2=0.33040195,y_3=$ $=0.84999789,\gamma =-0.0049$. Так как в интересующей нас области векторное поле мало, то даже при больших значениях $\epsilon$ инвариантные кривые сохраняются. Инвариантные кривые для такого большого значения $\epsilon =5$ приведены на рис. 6d. При значениях $\epsilon$ между шестью и семью некоторые из меандров вырождаются в узкие хаотические зоны. Если на рис. 6d основные эллиптические острова рассматривать как дырки на цилиндре, то легко проверить, что инвариантные кривые принадлежат к девяти различным гомотопическим классам. Таким образом возникает задача о максимальном числе таких неэквивалентных кривых в зависимости от степеней $P$ и $T$.