Все рассмотренные до сих пор случаи имели одну общую особенность: они включают в качестве главных членов только одну гармонику (см. (11), (21), (22) и (25)). Если незакручивание общее, а возмущение нет, и гармоника «второго» порядка так же (или более) важна, как гармоника «первого» порядка, то есть, используя обозначение шага 1 в доказательстве теоремы 1 , если $c_{2 n}$ более важен, чем $c_{n}$, то соответствующая гамильтонова модель имеет вид
\[
H_{\alpha}(x, y)=-b y+\frac{1}{3} y^{3}+\cos (x)+\frac{\gamma}{2} \cos (2 x+\varphi)+o(1),
\]

где $\gamma$ может быть значительно больше 1. Теперь здесь появляется в целом восемь неподвижных точек, четыре эллиптических и четыре гиперболических. Соответствующий выбор значений $b, \gamma$ и $\varphi$ позволяет получить различные наборы решений для гамильтониана и, следовательно, наборы инвариантных кривых для рассматриваемого СПО.

Как предложено в п. 4, поучительно изучить изменения топологии (27) как функции $(b, \gamma, \varphi)$, для того, чтобы понять как происходят изменения при появлении второй гармоники.

Ниже мы прсдставим болес общий случай и описанис выбора парамстров. Семейство отображений, соответствующее модели (27), следующее
\[
\left.T_{\omega, \alpha, \gamma}:(x, y) \rightarrow(\bar{x}, \bar{y})=\left(x+\omega+\bar{y}^{2}, y+\alpha \sin (x)+\gamma \sin (2 x+\varphi)\right)\right) .
\]

Пример возможной формы инвариантных кривых для значений параметров $(\omega, \alpha, \gamma, \varphi)=(-0.01,0.05,1.3,1)$ показан на рис. 6с.

Посмотрев на форму различных инвариантных кривых, представляется естественным предложить для них название лабиринтные кривые. Несомненно, они выглядят как путь в (цилиндрическом) лабиринте, стенками лабиринта при этом являются инвариантные множества седловых точек (сепаратриссы). Эти множества не показаны на рис. 6c и d, чтобы не загромождать рисунки. Вместо этого нарисованы некоторые из основных островов. Если мы посмотрим на рис. $2 \mathrm{a}$ и $\mathrm{b}$, то увидим, что следуя меандровой кривой первого порядка (в координатах $(x, y)$ ) слева направо, касательный к ней вектор вращается от начального угла, близкого к горизонтальному, на некоторую величину в интервале $(\pi / 2, \pi)$ (по часовой стрелке и против нее). На рис. 6а это вращение близко к $\pi$, а на рис. 6с значительно превосходит $\pi$. Далее мы рассмотрим случай, где допустим почти любой угол вплоть до $2 \pi$.

Пытаясь обобщить предыдущую мысль, мы можем рассмотреть в простейшем случае предельный гамильтонов поток, который состоит из суммы полинома по $y$ («кинетической энергии») и тригонометрического полинома по $x$ («потенциала»). Более общие ситуации будут включать произведения полинома на тригонометрические функции. Для конкретности выберем полином пятой степени и тригонометрический полином с гармониками первого и второго порядка. Поскольку мы хотим получить много неподвижных точек, то выберем такие полиномы, чтобы их производные имели четыре нуля. С помощью масштабирования переменных поместим два крайних нуля производной по $y$ в точки $y_{1}=0$ и $y_{4}=1$, и пусть для остальных двух нулей выполняется $0<y_{2}<y_{3}<1$. Один из нулей по $x$ можно расположить в точку $x_{1}=0$. Еще для двух нулей пусть выполняется $0<x_{2}<x_{3}$. Четвертый $x_{4}$ определяется через первые три. Допустим, что $x_{2}, x_{3}$ таковы, что $x_{3}<x_{4}$. Тогда гамильтониан может быть записан как
\[
H(x, y)=P(y)+\gamma T(x),
\]

а его производные равны $P^{\prime}(y)=\frac{d P}{d y}=y\left(y-y_{2}\right)\left(y-y_{3}\right)(y-1), \quad T^{\prime}(x)=$ $=\frac{d P}{d x}=s_{1} \sin (x)+s_{2} \sin (2 x)+c_{1}(\cos (x)-\cos (2 x))$ и $s_{1}, s_{2}, c_{1}$ выбраны так, что $T^{\prime}\left(x_{2}\right)=T^{\prime}\left(x_{3}\right)=0$ и $s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+c_{1}^{2}=1$, а значение $\gamma$ – масштабный множитель потенциала. Таким образом, гамильтониан (29) зависит от пяти параметров, $p=\left(x_{2}, x_{3}, y_{2}, y_{3}, \gamma\right)$, а СПО, как обычно, может быть получено с помощью
\[
L_{p, \varepsilon}:(x, y) \rightarrow(\bar{x}, \bar{y})=\left(x+\varepsilon P^{\prime}(\bar{y}), y+\varepsilon T^{\prime}(x)\right) .
\]

Гамильтониан $H$ имеет восемь эллиптических и восемь седловых критических точек. Пусть $S_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right), S_{2}=\left(x_{1}, y_{3}\right), S_{3}=\left(x_{2}, y_{2}\right), S_{4}=$ $=\left(x_{2}, y_{4}\right), \ldots$, являются седловыми точками (см. рис. 6d). Относительное положение инвариантных многообразий зависит от значений $h_{j}=H\left(S_{j}\right)$. После нескольких тестов мы выбрали порядок $h_{1}<h_{7}<h_{5}<h_{2}<$ $h_{6}<h_{3}<h_{8}<h_{4}$ как удобный для примера. Для достижения этого были определены приблизительные значения $p$, а затем они были локально оптимизированы, при этом максимизировался $\min _{i
eq j}\left|h_{i}-h_{j}\right|$ так, чтобы «пути в лабиринте» допускали меандровые кривые. Были получены следующие значения : $x=0.2816112 \cdot 2 \pi, x_{3}=0.549899 \cdot 2 \pi, y_{2}=0.33040195, y_{3}=$ $=0.84999789, \gamma=-0.0049$. Так как в интересующей нас области векторное поле мало, то даже при больших значениях $\varepsilon$ инвариантные кривые сохраняются. Инвариантные кривые для такого большого значения $\varepsilon=5$ приведены на рис. 6d. При значениях $\varepsilon$ между шестью и семью некоторые из меандров вырождаются в узкие хаотические зоны. Если на рис. 6d основные эллиптические острова рассматривать как дырки на цилиндре, то легко проверить, что инвариантные кривые принадлежат к девяти различным гомотопическим классам. Таким образом возникает задача о максимальном числе таких неэквивалентных кривых в зависимости от степеней $P$ и $T$.