Хорошо известно, что гамильтоновы системы с двумя степенями свободы с помощью сечения Пуанкаре на постоянном уровне энергии индуцируют сохраняющие площадь отображения (СПО) (см., например, [12] § 22). Это дает мощный инструмент для понимания динамики и получения критериев устойчивости. С этой же целью требуется, чтобы отображение было
\”Simó C. Invariant curves of analytic perturbed nontwist area preserving maps, Reg. \& Chaot. Dyn., 1998, v.3, №3, p. 180-195. Перевод Богатыревой Е. В., Килина А. А.

(по крайней мере, локально) достаточно малым возмущением закручивающего отображения. Для того чтобы быть более конкретным, предположим, что отображение выражено в полярных координатах $(x-$ угол $\bmod 2 \pi$, $y$ – радиус) в виде
\[
(x, y) \rightarrow(x+\alpha(y), y)+\varepsilon\left(f_{1}(x, y,), f_{2}(x, y)\right),
\]

где $y$ лежит в интервале $\left[y_{1}, y_{2}\right], 0<y_{1}<y_{2}$ и $x \in \mathbb{S}^{1}$. Члены $f_{1}, f_{2}$, появляющиеся в возмущении, не являются независимыми, а связаны условием сохранения площади полного отображения. Первая (невозмущенная) часть отображения в (1) имеет динамику, определяемую расслоением на инвариантные окружности. Говорят, что она удовлетворяет условию закручивания, если $[d \alpha / d y]$ ограничено снизу в интервале $\left[y_{1}, y_{2}\right]$. Тогда, если $\omega$ достаточно мало, то при возмущении несколько инвариантных кривых выживают. Если для некоторого $y^{*} \in\left(y_{1}, y_{2}\right) \rho=\alpha\left(y^{*}\right) /(2 \pi)$ удовлетворяет диофантову условию, $|\rho-p / q|>c / q^{\tau}$ для любого $p / q \in Q,(p, q)=1, q>0$ и некоторых положительных $c$ и $\tau$, тогда, если $\varepsilon$ достаточно малая величина, существует инвариантная кривая с числом вращения $\rho$. Более того, ее можно выразить как график функции $y=g(x)$, определенной на $\mathbb{S}^{1}$.

Вышеизложенное утверждение составляет содержание знаменитой теоремы Мозера о закручивающих отображениях. Аналитический случай теоремы рассматривается в так называемой КАМ теории [7,1], первое доказательство в дифференцируемом случае дал Мозер [8], а последующие уточнения, касающиеся оптимальности условия дифференцируемости, в основном появились благодаря Рюссману [11] и Ерману [5]. Мы не будем следовать в этом направлении. Основная цель этой статьи состоит в том, чтобы прояснить ситуацию, когда условие закручивания больше не выполняется. Некоторые результаты в этом направлении и много вдохновляющих идей можно найти у Германа [6]. В целях упрощения мы будем придерживаться в ходе нашего исследования аналитичности, однако это несущественно для любого из результатов.

Основная мысль состоит в том, что можно легко вернуться к выполнению условия закручивания с помощью соответствующей замены переменных, подходящих для описания данной динамической проблемы. В частности, можно выбрать удобное масштабирование переменных. Начнем с интегрируемого случая, когда условие закручивания низкой коразмерности более не выполняется: т.е. существует некоторое значение $y^{*}$, такое что $d \alpha / d y\left(y^{*}\right)=0$, но $d^{2} \alpha / d y^{2}\left(y^{*}\right)
eq 0$. В данном случае возмущения общего вида приводят на соответствующей развертке к существованию
инвариантных кривых, которые, конечно, больше не являются графиками над $\mathbb{S}^{1}$. Ниже приведены несколько «естественных» примеров. Более того, для того чтобы проиллюстрировать типичность приведенных примеров, рассматривается одно из очень «популярных» семейств отображений. Консервативного отображения Хе́нона вполне достаточно, чтобы показать существование исследуемого здесь явления. Появляющиеся при рассмотрении инвариантные кривые имеют отчасти «меандровое» поведение. Меандр высшего порядка также может наблюдаться в очень простых семействах отображений, если подобраны соответствующие множества значений параметров.

Затем мы обращаемся к конкретным возмущениям, которые приводят к инвариантным кривым с различными структурами. Рассматривается также пример с вырождением условия закручивания. Приведены некоторые результаты для случая, когда первая ненулевая производная $\alpha(r)$ в точке $y=y^{*}$ имеет порядок $k>2$.

Если определенные условия на закручивание объединить со специальными возмущениями, то можно получить крайне вырожденные и интересные примеры, содержащие так называемые лабиринтные инвариантные кривые. Это явление также показано на очень простых примерах.

Интересно отметить, что все рассмотренные ниже случаи устойчивы относительно малых возмущений. Это следует из устойчивости диофантовых инвариантных кривых (1), если возмущение $f_{1}$ и $f_{2}$ достаточно мало. В частности, для всех семейств отображений, используемых в примерах (даже для необщих), меандровые кривые существуют на открытых множествах пространства параметров.

Для краткости все приведенные здесь примеры представляют собой простые дискретные отображения. Конечно, такого рода явления встречаются и на сечениях Пуанкаре в задачах механики.

В заключение мы приводим перспективы дальнейших исследований и новые постановки задач.