Мы рассматриваем три тела единичной массы в евклидовой плоскости $\mathbb{R}^{2}=\mathbb{C}$ с ньютоновским притяжением. Используя принцип инвариантно-
${ }^{*}$ A. Chenicer, R. Montgomery, A remarkable period solution of the three body problem in the case of equal masses. Annals of Mathematics, 2000. Перевод Богатыревой Е. В., Килина А. A.
${ }^{1}$ См. статью К. Симо «Новые семейства решений задачи $N$ тел» в настоящем издании. Прим. ред.

Рис. 1.

сти Галилея, зафиксируем координаты центра масс. При этом фазовое пространство становится касательным расслоением конфигурационного пространства $\hat{\mathcal{X}}=\mathcal{X} \backslash\{$ столкновения $\}$
\[
\mathcal{X}=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in(\mathbb{C})^{3}, \quad \sum_{i=1}^{3} x_{i}=0\right\} .
\]

Введем на $\mathcal{X}$ массовое эрмитово скалярное произведение, определенное формой кинетической энергии. В нашем случае равных масс оно примет вид
\[
\langle x, y\rangle=\sum_{j=1}^{3} \bar{x}_{j} \cdot y_{j}=x \cdot y+i \omega(x, y) .
\]

Вещественная и мнимая части — это массовое скалярное произведение и симплектическая структура содержащая массы соответственно. Группа $O(2)$ изометрий в $\mathbb{R}^{2}=\mathbb{C}$ диагональна на $\mathcal{X}$ : отражение относительно первой координатной оси $S$ и вращение $R_{\theta}$ на угол $\theta$ действуют как
\[
\left\{\begin{array}{c}
S \cdot\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(\bar{x}_{1}, \bar{x}_{2}, \bar{x}_{3}\right), \\
R_{\theta} \cdot\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(e^{i \theta} x_{1}, e^{i \theta} x_{2}, x_{3}\right) .
\end{array}\right.
\]

Фазовое пространство отождествим с декартовым произведением $\mathcal{X} \times \mathcal{X}$, элементы которого запишем как $(x, y)$. Определим следующие $O(2)$ инвариантные функции на фазовом пространстве
\[
\begin{array}{c}
I=x \cdot x, \quad J=x \cdot y, \quad K=y \cdot y, \quad U=U(x), \\
H=\frac{1}{2} K-U, \quad L=\frac{1}{2} K+U .
\end{array}
\]

Эти величины представляют собой момент инерции относительно центра масс, половину его производной по времени, удвоенную величину кинетической энергии в системе координат, связанной с центром масс, потенциальную функцию, суммарную энергию и лагранжиан. Величина $r=I^{1 / 2}$ является нормой на $\mathcal{X}$. Силовая функция $U$, равная потенциальной энергии, взятой с противоположным знаком, имеет вид
\[
U=\frac{1}{r_{12}}+\frac{1}{r_{13}}+\frac{1}{r_{23}}, \quad \text { где } \quad r_{i j}=\left|x_{i}-x_{j}\right| .
\]
(Мы выбираем единицы измерения так, чтобы гравитационная постоянная равнялась единице.)

Центральные конфигурации играют основную роль в этой статье. Они являются единственными конфигурациями, которые допускают гомотетические движения, то есть движения, для которых конфигурация гомотетично стягивается к своему центру масс. Они допускают и более общие гомографические движения, когда каждое тело движется по орбите, подобной кеплеровой. В частности, подобные движения включают в себя положения относительного равновесия, когда тела равномерно вращаются подобно твердому телу вокруг своего центра масс. Эти конфигурации являются критическими точками отмасштабированной потенциальной функции $\tilde{U}=$ $=\sqrt{I} U$. После нормализации они становятся критическими точками ограничения $\left.U\right|_{I=1}$ потенциальной функции на сферу $I=1$. В случае трех тел центральные конфигурации хорошо известны благодаря работам Эйлера и Лагранжа. Существует три коллинеарные конфигурации $E_{1}, E_{2}, E_{3}$, различимые по массе, которая находится между двумя другими (в средней точке в случае равных масс) и две равносторонние треугольные конфигурации $L^{+}, L^{-}$, различимые только своей ориентацией.

Определив центральные конфигурации, мы уже факторизовали конфигурационное пространство по группе вращений $S O(2)$. Известно ([6], [7]), что после приведения с помощью простых изометрий (переносов и вращений) конфигурационное пространство задачи трех тел на плоскости становится гомеоморфно $\mathbb{R}^{3}$. Это приведенное конфигурационное пространство (пространство ориентированных треугольников на плоскости с точностью до переноса и вращения) обладает метрикой, индуцированной на него метрикой конфигурационного пространства, и образующей из него конус над двумерной сферой радиуса $\frac{1}{2}$. Точки этой сферы, в последующем называемой форм-сферой, соответствуют ориентированным треугольникам, момент инерции которых относительно их центра масс равен единице (то есть $I=$ $=1$ ). Саму сферу следует считать пространством классов ориентированных подобных треугольников [7]. В случае равных масс форм-сфера показана на рис. 2 , в п. 5 мы рассмотрим ее с римановой точки зрения. Ее основные особенности — северный и южный полюса, соответствуют двум типам равносторонних треугольников (точки Лагранжа), экватор соответствует коллинеарным конфигурациям, а три меридиана соответствуют трем типам равнобедренных треугольников. Каждый меридиан пересекает экватор в эйлеровой точке и точке столкновения. На рисунке также показана эквипотенциальная кривая (линия уровня $\left.U\right|_{I=1}$ ), содержащая эйлеровы точки и поверхность уровня, соответствующая большему значению $U$. Проекция орбиты «восьмерки» на форм-сферу имеет сильное сходство с эквипотенциальной кривой, проходящей через три эйлеровы точки, и обладает ее симметрией. На рис. 2 мы выделили полупрямую $E_{3}$ и плоскость меридиана, потому что они явно присутствуют в доказательстве, приведенном ниже.