Мы рассматриваем три тела единичной массы в евклидовой плоскости ${\mathbb{R}}^2=\mathbb{C}$ с ньютоновским притяжением. Используя принцип инвариантно-
${}^{\ast }$ A. Chenicer, R. Montgomery, A remarkable period solution of the three body problem in the case of equal masses. Annals of Mathematics, 2000. Перевод Богатыревой Е. В., Килина А. A.
${}^1$ См. статью К. Симо «Новые семейства решений задачи $N$ тел» в настоящем издании. Прим. ред.

Рис. 1.

сти Галилея, зафиксируем координаты центра масс. При этом фазовое пространство становится касательным расслоением конфигурационного пространства $\hat{\mathcal{X}}=\mathcal{X}\mathrm{\setminus }\{$ столкновения $\}$
$$\mathcal{X}=\{x=(x_1,x_2,x_3)\in (\mathbb{C}{)}^3,\sum _{i=1}^3{x}_i=0\}.$$

Введем на $\mathcal{X}$ массовое эрмитово скалярное произведение, определенное формой кинетической энергии. В нашем случае равных масс оно примет вид
$$⟨x,y⟩=\sum _{j=1}^3{\overline{x}}_j\cdot y_j=x\cdot y+i\omega (x,y).$$

Вещественная и мнимая части — это массовое скалярное произведение и симплектическая структура содержащая массы соответственно. Группа $O(2)$ изометрий в ${\mathbb{R}}^2=\mathbb{C}$ диагональна на $\mathcal{X}$ : отражение относительно первой координатной оси $S$ и вращение $R_{\theta }$ на угол $\theta$ действуют как
$$\{\begin{array}{c}S\cdot (x_1,x_2,x_3)=({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2,{\overline{x}}_3),\\ R_{\theta }\cdot (x_1,x_2,x_3)=(e^{i\theta }{x}_1,e^{i\theta }{x}_2,x_3).\end{array}$$

Фазовое пространство отождествим с декартовым произведением $\mathcal{X}\times \mathcal{X}$, элементы которого запишем как $(x,y)$. Определим следующие $O(2)$ инвариантные функции на фазовом пространстве
$$\begin{array}{c}I=x\cdot x,J=x\cdot y,K=y\cdot y,U=U(x),\\ H=\frac{1}{2}K-U,L=\frac{1}{2}K+U.\end{array}$$

Эти величины представляют собой момент инерции относительно центра масс, половину его производной по времени, удвоенную величину кинетической энергии в системе координат, связанной с центром масс, потенциальную функцию, суммарную энергию и лагранжиан. Величина $r=I^{1/2}$ является нормой на $\mathcal{X}$. Силовая функция $U$, равная потенциальной энергии, взятой с противоположным знаком, имеет вид
$$U=\frac{1}{r_{12}}+\frac{1}{r_{13}}+\frac{1}{r_{23}},\text{ где }{r}_{ij}=|x_i-x_j|.$$
(Мы выбираем единицы измерения так, чтобы гравитационная постоянная равнялась единице.)

Центральные конфигурации играют основную роль в этой статье. Они являются единственными конфигурациями, которые допускают гомотетические движения, то есть движения, для которых конфигурация гомотетично стягивается к своему центру масс. Они допускают и более общие гомографические движения, когда каждое тело движется по орбите, подобной кеплеровой. В частности, подобные движения включают в себя положения относительного равновесия, когда тела равномерно вращаются подобно твердому телу вокруг своего центра масс. Эти конфигурации являются критическими точками отмасштабированной потенциальной функции $\tilde{U}=$ $=\sqrt{I}U$. После нормализации они становятся критическими точками ограничения ${U|}_{I=1}$ потенциальной функции на сферу $I=1$. В случае трех тел центральные конфигурации хорошо известны благодаря работам Эйлера и Лагранжа. Существует три коллинеарные конфигурации $E_1,E_2,E_3$, различимые по массе, которая находится между двумя другими (в средней точке в случае равных масс) и две равносторонние треугольные конфигурации $L^{+},L^{-}$, различимые только своей ориентацией.

Определив центральные конфигурации, мы уже факторизовали конфигурационное пространство по группе вращений $SO(2)$. Известно ([6], [7]), что после приведения с помощью простых изометрий (переносов и вращений) конфигурационное пространство задачи трех тел на плоскости становится гомеоморфно ${\mathbb{R}}^3$. Это приведенное конфигурационное пространство (пространство ориентированных треугольников на плоскости с точностью до переноса и вращения) обладает метрикой, индуцированной на него метрикой конфигурационного пространства, и образующей из него конус над двумерной сферой радиуса $\frac{1}{2}$. Точки этой сферы, в последующем называемой форм-сферой, соответствуют ориентированным треугольникам, момент инерции которых относительно их центра масс равен единице (то есть $I=$ $=1$ ). Саму сферу следует считать пространством классов ориентированных подобных треугольников [7]. В случае равных масс форм-сфера показана на рис. 2 , в п. 5 мы рассмотрим ее с римановой точки зрения. Ее основные особенности — северный и южный полюса, соответствуют двум типам равносторонних треугольников (точки Лагранжа), экватор соответствует коллинеарным конфигурациям, а три меридиана соответствуют трем типам равнобедренных треугольников. Каждый меридиан пересекает экватор в эйлеровой точке и точке столкновения. На рисунке также показана эквипотенциальная кривая (линия уровня ${U|}_{I=1}$ ), содержащая эйлеровы точки и поверхность уровня, соответствующая большему значению $U$. Проекция орбиты «восьмерки» на форм-сферу имеет сильное сходство с эквипотенциальной кривой, проходящей через три эйлеровы точки, и обладает ее симметрией. На рис. 2 мы выделили полупрямую $E_3$ и плоскость меридиана, потому что они явно присутствуют в доказательстве, приведенном ниже.