При заданных массах $m_1,\dots ,m_n$ в задаче $n$ тел из небесной механики является ли количество относительных равновесий конечным?

Эта проблема взята из книги Уинтнера [72] по небесной механике. Относительное равновесие — это решение уравнений Ньютона, которые порождены двумерными равномерными вращениями.

В задаче трех тел существует пять относительных равновесий: три найдены Эйлером, два — Лагранжем. В задаче четырех тел конечность числа равновесий не доказана.

В [60] я рассмотрел относительные равновесия как критические точки функции, порожденной потенциалом плоской задачи $n$ тел. Более точно, относительные равновесия соответствуют критическим точкам функции
$$\hat{V}:(S_k-\mathrm{\Delta })/SO(2)\to \mathbb{R},$$

где $S_k=\{x\in {\left(R^2\right)}^n\mid \sum m_i{x}_i=0,\frac{1}{2}\sum m_i{\Vert x_i\Vert }^2=1\},\mathrm{\Delta }=\{x\in S_k\mid x_i=$ $=x_j,ieqj\}$.

Группа вращений $SO(2)$ действует на $S_k/\mathrm{\Delta }$, где потенциальная функция
$$V(x)=\sum _{i<j}\frac{m_i{m}_j}{\Vert x_i-x_j\Vert }$$

индуцирует $\hat{V}$. Заметим, что $V:S_k\to \mathbb{R}$ инвариантна относительно группы вращений $SO(2)$ и фактор-пространство $S_k/SO(2)$ гомеоморфно к комплексному проективному пространству размерности $n-2$.

Майк Шуб [53] доказал, что множество критических точек компактно, а Палмор [39], что даже для $n=4\hat{V}$ может иметь вырожденные критические точки.

Относительные равновесия играют важную роль в небесной механике, например, при исследовании бифуркаций отображения углового момента. Кроме того, в солнечной системе существуют «троянцы», представляющие собой группу астероидов, положение которых соответствует относительным равновесиям Лагранжа.

В работе [30] Кузьмина нашла верхнюю границу числа относительных равновесий в общем случае. Дальнейшее описание вопроса можно найти в [1].