При заданных массах $m_{1}, \ldots, m_{n}$ в задаче $n$ тел из небесной механики является ли количество относительных равновесий конечным?

Эта проблема взята из книги Уинтнера [72] по небесной механике. Относительное равновесие – это решение уравнений Ньютона, которые порождены двумерными равномерными вращениями.

В задаче трех тел существует пять относительных равновесий: три найдены Эйлером, два – Лагранжем. В задаче четырех тел конечность числа равновесий не доказана.

В [60] я рассмотрел относительные равновесия как критические точки функции, порожденной потенциалом плоской задачи $n$ тел. Более точно, относительные равновесия соответствуют критическим точкам функции
\[
\hat{V}:\left(S_{k}-\Delta\right) / S O(2) \rightarrow \mathbb{R},
\]

где $S_{k}=\left\{x \in\left(R^{2}\right)^{n} \mid \sum m_{i} x_{i}=0, \frac{1}{2} \sum m_{i}\left\|x_{i}\right\|^{2}=1\right\}, \Delta=\left\{x \in S_{k} \mid x_{i}=\right.$ $\left.=x_{j}, i
eq j\right\}$.

Группа вращений $S O(2)$ действует на $S_{k} / \Delta$, где потенциальная функция
\[
V(x)=\sum_{i<j} \frac{m_{i} m_{j}}{\left\|x_{i}-x_{j}\right\|}
\]

индуцирует $\hat{V}$. Заметим, что $V: S_{k} \rightarrow \mathbb{R}$ инвариантна относительно группы вращений $S O(2)$ и фактор-пространство $S_{k} / S O(2)$ гомеоморфно к комплексному проективному пространству размерности $n-2$.

Майк Шуб [53] доказал, что множество критических точек компактно, а Палмор [39], что даже для $n=4 \hat{V}$ может иметь вырожденные критические точки.

Относительные равновесия играют важную роль в небесной механике, например, при исследовании бифуркаций отображения углового момента. Кроме того, в солнечной системе существуют «троянцы», представляющие собой группу астероидов, положение которых соответствует относительным равновесиям Лагранжа.

В работе [30] Кузьмина нашла верхнюю границу числа относительных равновесий в общем случае. Дальнейшее описание вопроса можно найти в [1].