Пусть $V_{N}(x)=\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant N} \log \frac{1}{\left\|x_{i}-x_{j}\right\|}$, где $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right), x_{i}$ — различные точки на двумерной сфере $S^{2} \subset \mathbb{R}^{3}$, а $\left\|x_{i}-x_{j}\right\|$ — расстояние в $\mathbb{R}^{3}$. Обозначим $\min _{x} V_{N}(x)$ через $V_{N}$.
Найти $\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right)$ такие, что
\[
V_{N}(x)-V_{N} \leqslant c \log N, \quad \text { где } c-\text { универсальная постоянная. }
\]
«Найти» означает дать алгоритм, который по заданному $N$ выдает различные $x_{1}, \ldots, x_{N}$ на двумерной сфере, удовлетворяющие неравенству (2).

Чтобы быть более точным, необходимо рассматривать алгоритм для вещественных чисел в смысле, указанном в [5] (связанным с вычислением квадратного корня), с временем остановки алгоритма, полиномиальным по $N$.

Эта задача возникла в теории сложности и предложена мной совместно с Майком Шубом (см. [55]). Она возникла при отыскании хорошего начального многочлена для алгоритма гомотопии, реализующего основную теорему алгебры ${ }^{2}$.

Точка $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right)$ в которой $V_{N}(x)=V_{N}$ называется $N$-кратной эллиптической точкой Факетэ (см. [69]).
Сумма $V_{N}$, как функция $N$, удовлетворяет равенству
\[
V_{N}=-\frac{1}{4} \log \left(\frac{4}{e}\right) N^{2}-\frac{1}{4} N \log N+O(N) .
\]

Естественно также рассмотреть функции
\[
V_{N}(x, s)=\sum_{i<j} \frac{1}{\left\|x_{i}-x_{j}\right\|^{s}}, \quad V_{N}=\min _{x} V_{N}(x, s),
\]

где $x$ — такое же как прежде, а $0<s<2$. Исходные функции $V_{N}(x)$ и $V_{N}$ соответствуют естественным образом случаю $s=0$. В случае $s=1$ функция $V_{N}(x, 1)$ — кулоновский потенциал, а $V_{N, 1}$ соответствует состоянию равновесия $N$ электронов, лежащих на двумерной сфере.
${ }^{2}$ Также данная задача имеет отношение к вихревой динамике. Так, $V_{N}(x)$ является гамильтонианом системы $N$ одинаковых точечных вихрей на сфере, а $V_{N}$ — значение энергии системы вихрей в положении равновесия. Подробности см. в книге Борисов А. В., Мамаев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск, 1999, Изд-во РХД, 466 с. — Прим. ред.

При разрешении указанной проблемы я попросил помощи у Эда Сафа. Впоследствии он и его коллеги написали по этой теме и ее ответвлениям ряд замечательных статей. Основную информацию и дальнейшие ссылки по этому вопросу можно найти в [29] и [50]. В работе [47] можно найти численное подтверждение ( $N=12000$ ), обосновывающее изложенные выше задачи.

На рассматриваемую проблему можно также взглянуть с точки зрения оптимизации функции
\[
W_{N}(x)=\left(\exp V_{N}(x)\right)^{-1}=\prod_{i<j}\left\|x_{i}-x_{j}\right\| .
\]

Однако, как было написано в [55], «…это не может быть таким легким, поскольку существуют седловые точки индекса $N$ (на большой окружности в $S^{2}$, равноотстоящие $N$ точек $x_{1}, \ldots, x_{N}$ ). Кроме того, различные симметрии, которыми обладает $W_{N}$, также запутывают картину».