Как было сказано выше, в (2) мы можем рассмотреть семейство однородных потенциалов вида $f(r)=1 / r^{a}, a>0$. Естественный интерес вызывают некоторые вопросы: Что случится с хореографией, существующей при $a=1$, если уменьшать $a$ до нуля? Что происходит с хореографией, существующей при $a=2$, но исчезающей при $a=1$ ? Являются ли сложности в доказательстве гипотезы для ньютоновского потенциала чисто техническими, или они лежат глубже. Как уже было сказано, с помощью продолжения по $a$ из заданной хореографии при $a=1$, можно получить другую, также при $a=1$. Основной целью этого раздела является представление нескольких численных результатов в этих направлениях.

Без всяких трудностей восьмерку можно продолжить до любого значения $a>0$. Однако устойчивым оно является только в небольшой области, примерно равной $a \in[0.86,1.23]$.

В случаях, приведенных на рис. 3 с $N=4$ при уменьшении $a$ хореографии достигают бифуркации седло-узел ( $\mathrm{c}-\mathrm{y}$ ) и дальнейшее продолжение семейства возможно только при увеличении $a$. За исключением упомянутого выше случая е), все эти хореографии приближаются к столкновению (к одному или нескольким двойным столкновениям, либо к тройному столкновению) перед тем как снова достигнуть значение $a=1$. В случае с) наблюдается небольшой интервал устойчивости вблизи значения $a=0.63$.

Похожие вещи происходят и для $N=5$. В большинстве случаев или после, или до достижения $c-y$ хореография приближается к столкновению (теперь может существовать уже четверное столкновение). В некоторых случаях до достижения столкновения хореография может пройти через несколько $c-y$. Между двумя последовательными $c-y$ а изменяется монотонно. В паре случаев после прохождения $c-y$ при $a<1$ хореография возвращается к $a=1$ до тогоб как будет достигнуто столкновение. С другой стороны, хореографию из пяти тел, движущихся по симметричной восьмерке, можно продолжить до любого значения $a>0$, тогда как линейная цепочка с $J=4$ (супер-супер-восьмерка) моет быть продолжена только до $a \simeq 0.0288854$, где она достигает $c-y$, а затем $a$ снова начинает возрастать.

Теперь рассмотрим хореографию с $N=4$ которая, по-видимому, не существует в случае ньютоновского потенциала. Она должна выглядеть как рис. 3a, но с небольшой петлей внутри большой. Такая хореография точно существует при $a=2$. На рисунке 7 показано, что происходит во время продолжения при попытке уменьшить $a$. В качестве характеристики рассматриваемой хореографии было взято минимальное расстояние $r_{\min }=$ $=\min _{1 \leqslant i<j \leqslant N, t \in[0,2 \pi]} r_{i, j}(t)$.

На рисунке 7а изображено изменение $r_{\min }$ в зависимости от $a$ при его уменьшении начиная с $a=2$ (точка А). На рисунке видны две $c-y$, обозначенные точками В и D. При движении вдоль семейства столкновение достигается в точке F. На рис. $7 \mathrm{~b}$ показаны три траектории, соответствующие точкам $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ и $\mathrm{C}$ на рисунке $7 \mathrm{a}$. При уменьшении $a$ размер внутренней петли также уменьшается. Следующие траектории D и F показаны на рис. 7 c. Увеличение показывает очевидное приближение $\mathrm{F}$ к двойному столкновению. На траектории $\mathrm{C}$ видна очень маленькая петля. B точке D она становится такой же величины, как и внешняя петля, затем в точке Е ее часть оказывается уже вне большой петли, и, наконец, в точке F бо́льшая ее часть лежит вне большой петли. Этот сценарий часто наблюдается при проведении процедуры минимизации действия с ньютоновским потенциалом, когда, по-видимому, не существует локальных минимумов внутри выбранного класса хореографий.
Рис. 7. Эволюция хореографии в зависимости от $a$ для потенциала $r^{-a}$
Случай $N=4$ с малой внутренней петлей не является исключением. При $N>4$ также можно искать малые петли целочисленной длины $[\ell]=1$ внутри больших. При этом для хореографии необходимы только две этих петли. Во всех случаях поведение по-видимому одинаковое. На рисунке 8а изображено поведение вблизи точки, эквивалентной точке В на рисунке $7 \mathrm{a}$, то есть вблизи первой $c-y$, встречающейся при уменьшении $a$ начиная со значения $a=2$. На этом рисунке показаны малые внутренние петли для нескольких значений $N$ : от четырех до восьми, 12 и 36 . По мере увеличения $N$ петли движутся влево. Для того, чтобы поместить их на одном рисунке, ко всем кривым мы добавили координату наиболее правой точки больших

Рис. 8. Детали малых петель для разных $N$. Слева: Внутренние петли для потенциала $r^{-a}$ со значениями $a$ в которых происходит $c-y$. Справа: Внешние петли для ньютоновского потенциала

петель. В случае $N=4$ на рис. 8а получается та же самая петля, что и на рис. $7 \mathrm{~b}$ соответствующая кривой В. Заметим, что эволюция малой петли, образующейся на рис. 7а при возрастании $N$ похожа на раскрытие ласточкина хвоста.

Пусть $a_{N, k}$ – значение $a$, в котором при продолжении хореографии из $N$ тел достигается $k$-я $c-y$, начиная со значения $a=2$. Для случая $N=4$, показанного на рис. $7 \mathrm{a}$, эти значения равны $a_{N, 1} \simeq 1.0344, a_{N, 2} \simeq 1.5374$. Крайне поучительно рассмотреть одни и те же величины при разных значениях $N$. Эти данные приведены в таблице 6 . В частности, все значения $a_{N, 1}$ больше единицы. Из чего становится очевидным отсутствие таких очень простых хореографий для всех $N$. Более того, исходя из экспериментальных данных можно сделать предположение о поведении $a_{N, 1}$ в зависимости от $N$. Это поведение имеет вид $a_{N, 1} \simeq 1+c / N^{2}$, с некоторым $c>0$. Для значений $a$, немного больших единицы и достаточно больших $N$, должно существовать хореография с малыми петлями длины $[\ell]=1$ внутри большой, тогда как при $a=1$ ее, по-видимому, не существует. Принять во внимание эти небольшие различия в аналитических доказательствах существования представляется достаточно сложным.

С другой стороны, мы можем рассмотреть малые петли с $[\ell]=1$ вне больших петель, обобщив на произвольное $N$ случай, изображенный на рис. 3а. Форма малых петель для значений $N$, равных $40,48,50,60,70$ и 100 , показана на рис. 8 b. Как и ранее, размер петель уменьшается при возрастании $N$. Для того, чтобы изобразить все петли на одном рисунке,

Таблица 1

к каждой кривой было добавлено координаты наиболее левой точки больших петель. Значение $N=48$ было выбрано так, как на соответствующей хореографии почти появляется точки возврата. Эволюция формы малых петель отличается от предыдущего с.тучая.

Закончим статью обсуждением несколько иного вопроса. Рассмотрим $N$-угольник. По-видимому, он является глобальным минимумом действия. Предположим, что он проходится $k>1$ раз. Является данная траектория все еще локальным минимумом? Наиболее простой контрпример найден нами при $N=7, k=2$. Беря малое отклонение от этого решения, минимизация приводит нас к хореографии с внутренней петлей длины $[\ell]=3$ внутри большой. Эта хореография похоже на случай А на рис. $7 \mathrm{~b}$, только внутренняя петля располагается ближе к внешней. Действие такой хореографии примерно равно $A \simeq 182.326$, тогда как действие дважды проходимого семиугольника равно $A \simeq 182.729$. Продолжение по $a$, начиная с $a=1$, приводит к $c-y$ при $a \simeq 0.304557$. Однако затем происходит возврат к $a=1$, при этом мы получаем новую хореографию того же класса. Эта хореография является седловой точкой функционала действия, величина действия в ней равна $A \simeq 186.705$. Это также контрастирует со случаем, изображенным на рис.3е, для которого хореография того же класса получается с помощью продолжения и также является локальным минимумом действия.