Ниже мы докажем существование новых семейств периодических решений задачи $N$ тел, когда все $N$ масс движутся вдоль фиксированной кривой на плоскости. Эти решения имеют привлекательный вид и интересны с топологической точки зрения. Они приведены ниже на рисунках, хотя лучше всего их рассматривать в анимированном варианте ${ }^{1}$.
Уравнения движения задачи $N$ тел с равными массами имеют вид
\[
\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=
abla_{i} U\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right),
\]

где $U(x)=U\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right)$ – потенциальная энергия, взятая с обратным знаком. Векторы $x_{i} \in \mathbb{R}^{d}, i=1,2, \ldots, N$ задают положения $N$ тел в $\mathbb{R}^{d}$. Мы будем рассматривать только плоский случай $d=2$. Также мы положим все массы равными единице, а $U$ возьмем в виде
\[
U(x)=\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant N} f\left(r_{i j}\right),
\]

где $r_{i j}=\left|x_{i}-x_{j}\right|$ – расстояния между $i$-м и $j$-м телами, а двухчастичный потенциал $f(r)$ является гладкой неотрицательной функцией $r>0$, бесконечно растущей при стремлении $r$ к нулю. Потенциал является ньютоновским, если $f=c / r$ для некоторого $c>0$.

Бесстолкновительное решение задачи $N$ тел, при котором все массы движутся вдоль одной и той же плоской кривой с постоянными сдвигами фаз, назовем простой хореографией. Лагранж в 1772 году указал простую хореографию для ньютоновского потенциала в случае $N=3$. При этом три тела образуют равносторонний треугольник, вращающийся как твердое тело внутри описывающей его окружности. В более общем случае расположим $N$ тел в вершинах правильного $N$-угольника, вписанного в окружность с радиусом $r$. Закрутим получившийся $N$-угольник вокруг

${ }^{1}$ Некоторые анимации, запускаемые под linux и использующие пакет gnuplot, можно найти на Internet-cайте http://www.maia.ub.es/dsg.

его центра с угловой скоростью $\omega$. Полученная траектория будет являться решением задачи $N$ тел. Для определенности выберем потенциал в виде $f(r)=c / r^{a}, c>o, a>0$. Тогда условие на радиус окружности будет иметь вид
\[
r \omega^{2}=\frac{a c}{r^{a+1}} \sigma_{a, N} \quad \text { where } \quad \sigma_{a, N}=\Sigma_{j=1}^{N-1}\left(2 \sin \frac{j \pi}{N}\right)^{-a} .
\]

Такое решение мы назовем тривиальной круговой простой хореографией.
Рис. 2. Пять тел, лежащие на четырехлепестковом цветке
В декабре 1999 года двое из нас (А.Шенсине и Р. Монтгомери [3]) нашли другую простую хореографию в задаче трех тел с ньютоновским потенциалом. В этой хореографии тела движутся вдоль фиксированной плоской кривой в форме восьмерки (см. рис. 1а). Эта восьмерка вызвала целый шквал работ. Вскоре после ее нахождения еще один из авторов (Дж. Джервер) задался вопросом, можно ли обобщить найденное решение на другие кривые типа фигур Лиссажу. Вскоре он нашел начальные условия для $N=4$ с ньютоновским потенциалом, которые приводят к простой «цепочечной» хореографии (см. pис. reffourfig1b). В этом случае четыре тела в каждый момент времени образуют параллелограмм. Затем К. Симо, четвертый из авторов, численно нашел целое множество решений, когда тела движутся вдоль одной и той же кривой. Причем вид этой кривой может быть совершенно различным (см. рис. 3,4). К. Симо также ввел название «хореографии», которое появилось из-за того, что при анимации тела совершают танцеподобные движения. Прилагательное «простые» отражает тот факт, что все тела движутся вдоль одной кривой. «Сложными» назовем хореографии соответствующие случаю, когда тела движутся вдоль нескольких различных траекторий. Так как в данной статье мы рассматриваем только простые хореографии, то мы зачастую будем опускать слово «простые». В настоящее время найдены сотни ньютоновских хореографических решений, причем число «различных» хореографий быстро возрастает при увеличении $N$. Наибольшее число $N$, для которого найдены хореографические конфигурации, равно 799, при этом все тела движутся вдоль восьмеркообразной кривой.

Когда мы говорим «различные», мы считаем только так называемые «основные» хореографии, которые нельзя получить из заданной, ни проходя ее несколько раз (субгармоники), ни методом продолжения по угловому моменту, ни какой-либо комбинацией этих способов. Точное определение «основной» и «сопутствующей» хореографий, а также примеры и соответствующие вычисления будут приведены в п. 5 .

Следствие 1. Для любого $N \geqslant 3$ существует основное простое хореографическое решение задачи $N$ тел равных масс с ньютоновским потенциалом, отличное от тривиальной круговой хореографии. Число таких «различных» основных простых хореографий быстро растет при увеличении $N$.

Мы докажем это предположение, но только для случая, когда двухчастичный ньютоновский потенциал $f=1 / r$ заменяется на потенциал сильного взаимодействия, такая замена была предложена еще А. Пуанкаре [15]. Более точная формулировка приведена ниже в теореме 2.2. В случае потенциала сильного взаимодействия существуют положительные константы $c, \delta$ такие, что двухчастичный потенциал $f$ удовлетворяет неравенству:
\[
f(r) \geqslant c / r^{2} \text { при } r<\delta .
\]

Наложение условия сильного взаимодействия позволяет обойти основные сложности в доказательстве существования простых хореографий, которые заключаются в доказательстве ограниченности действия для столкновительных траекторий. Такие столкновительные решения присутствуют в ньютоновском случае, а также и для любого потенциала $f(r)=1 / r^{a}$ при $a<2$. Основной интерес, конечно, представляет обоснование существования ньютоновских хореографий. К этому вопросу мы обратимся в последующих статьях.
1.1. Литература

Поиск периодических решений задачи $N$ тел в случае равных масс является более легким, нежели в общем случае ввиду перестановочной симметрии тел. Это наблюдение впервые явно (но только в пространственном случае) было приведено в статье И. Дэвиса, А. Трумана и Д. Вильямса [5]. Среди прочего, авторы искали периодические решения задачи $N$ тел в $R^{3}$ с ньютоновским потенциалом в случае равных масс, когда в каждый момент конфигурации инвариантны относительно обращения ориентации. После исключения вращения ими была получена система с двумя степенями свободы, параметризованная угловым моментом (симплектическая редукция). После чего они искали периодические орбиты, проекции которых на редуцированное фазовое пространство являются «тормозными траекториями». Тормозные траектории – это такие периодические траектории, образ которых проходит некоторый интервал, затем постепенно останавливается (тормозит) до нулевой (редуцированной) скорости и в конце этого интервала меняет направление движения.

Надлежащим образом начиная периодическое решение нередуцированной системы, период редуцированной (тормозной) траектории может быть выбран в резонансе с периодом вращения системы. Существование таких резонансных тормозных траекторий было обосновано только численно. Периодические решения подобного вида недавно были открыты заново по меньшей мере дважды: «клубки», численно найденные Ояном (Hoyanant) [9], априори включающие бесконечное множество примеров, в которых по крайней мере четыре тела движутся вдоль одной и той же пространственной кривой, и «хип-хоп» – бесстолкновительные траектории, минимизирующие действие с соответствующими свойствами симметрии, существование которых доказали А. Шенсине и А. Вентурелли в [4]. Статья И. Дэвиса, А. Трумана и Д. Вильямса побудила И. Стюарта систематически исследовать методы симметрии в задаче $N$ тел с несингулярным потенциалом [18].

Еще об одной важной статье К. Мура [13] мы узнали, когда наша статья была уже почти готова. К. Мур исследовал возможность образования периодическими решениями плоской задачи $N$ тел чистых кос из $N$ прядей. Простые хореографии соответствуют определенному специальному типу кос, следовательно, статья К. Мура имеет непосредственной отношение к нашей статье. В его статье используется метод градиентного потока для функционала действия. Им был получен результат, переоткрытый позднее Р. Монтгомери [11] о том, что любой «запутанный» тип косы может быть реализован в случае потенциала сильного взаимодействия. К. Мур утверждает, что существование решения в виде восьмерки в ньютоновском случае основано на численном исследовании сходимости градиентного потока и обсуждает его динамическую устойчивость. Он также обсуждает зависимость хореографических решений (в том числе их существование или исчезновение) от показателя $a$ в функции $f=1 / r^{a}$, таким образом предвосхищая обсуждение в разделе 6 настоящей статьи.

Практическое применение «восьмерки» уже начинает появляться. Д.К. Хегги в [6] привел численное доказательство, что такое решение может появиться в результате взаимодействия двух пар тел.