В этом разделе мы приведем подробное объяснение явлений вблизи линии коллапса резонансов. Пытаясь сделать это изложение понятнее, мы приводим здесь результаты, касающиеся трех различных аспектов: фазового пространства (после исключения очевидной неустойчивости), пространства Фурье и свойств $\lambda$ и $\rho$. В приложении подробно описаны все вычисления.

Рис. 9. Резонансные зоны и линия коллапса
5.1. Фазовое пространство. Исключение неустойчивости

Рассмотрим сначала случай, когда $\lambda=0$, а $\rho$ – не резонансное. Мы изучаем поведение результата итераций в зависимости от их количества после некоторого переходного процесса или, если говорить геометрическим языком, множество первых столбцов матриц $P_{n}$ (см. далее (5)). Результаты для случая $(a, b)=(0.408,0.4)$ показаны на рис. 11 а. Они доказывают явное квазипериодическое поведение, соответствующее проекции двумерного тора. В действительности существует три основные частоты: $1, \gamma$ и $\rho$. Однако, поскольку мы изучаем итерации при значениях $t$, кратных $2 \pi$, то частоту 1 можно исключить, оставив только две частоты $\gamma$ и $\rho$. В рассматриваемом случае $\rho \sim 0.6032880958$, и вероятность того, что выбор $\rho$ таков, что $(1, \gamma, \rho)$ удовлетворяет диофантову условию, равна единице.

Для изображения случаев $\lambda>0$ сначала мы должны исключить неустойчивость. Это достигается введением отмаситабированных матриц $\hat{P}_{n}=\exp (-n \lambda) P_{n}$, в которых используется оценочное значение $\lambda$ (найденное ранее) и значения $n$ после переходного процесса. На рис. $11 \mathrm{~b}$ приведена инвариантная кривая (сечение 2-мерного тора) при $\left(a^{2}, b\right)=(0.413,0.4)$. Peзультаты для $b=0.6, a^{2}=0.408$ (нерезонансный) и $a^{2}=0.413$ (резонансный) приведены на рис. 11 с и d соответственно. На рисунке d) поведение

Рис. 10. Увеличение предыдущего рисунка

подобно случаю b), за исключением того, что инвариантная кривая имеет более сложную форму и не проектируется на плоскость, как простая замкнутая кривая. Случай с) отражает некоторое неприглядное множество точек, далеких от квазипериодичности. Мы ограничили показываемую область, чтобы лучше показать центральную часть. Следует заметить, что значения $b=0.4$, находятся ниже линии коллапса резонансов, тогда как значения $b=0.6-$ выше этой линии.

Интересно также исследовать данные, соответствующие нерезонансному случаю выше линии коллапса. Несомненно в этом случае явно присутствуют несколько пиков. Для более наглядного представления мы построили график величины $\sum_{i, j=1,2}\left(\hat{P}_{N}\right)_{i, j}^{2}$ для большой области итераций. Пики, появляющиеся на рис. 12 с амплитудой больше $0.6 \times 10^{9}$, расположены при значениях $n$ (пропуская переходный процесс), равных 78306, 78683, 153708 и 200076 . Все разности между этими числами (377, 75025 и 46368) равны числам Фибоначчи. Также разности между пиками, превышающими нижний порог, могут быть равны сумме или разности двух относительно больших, но непоследовательных чисел Фибоначчи. Например, ближайший пик, больше $10^{8}$, после самого большого на графике наблюдается при раз-

Рис. 11. Графики итераций первого столбца матриц $P_{n}$ (случай b) или матриц $\hat{P}_{N}$ (остальные случаи). Во всех случаях, за исключением а), было сделано $2^{14}$ итераций после переходного процесса. В случае а) это число составляет $2^{15}$. Переходный процесс длится $10^{6}$ итераций. Показаны гакже оцененные значения $\lambda$ и $\rho$

ности двух таких чисел $\triangle n=70844=75025-4181$. Заметим, что несмотря на это резко отклоняющееся поведение матриц $\hat{P}_{n}$, матрица $M(\theta)$ достаточно регулярна. На рис. 12 мы также отобразили поведение ее составляющих в зависимости от $\theta$. Кажется, что некоторая малая амплитуда гармоник высокого порядка $M(\theta)$ «усредняется не полностью» под действием суперпозиции.

Рис. 12. Слева: пики суммы квадратов элементов отмасштабированной матрицы для $2^{18}$ итераций следующих после переходного процесса в $2 \times 10^{6}$ итераций. Значения параметров равны $\left(a^{2}, b\right)=(0.408,0.6)$. Справа: матрица монодромии как функция $\theta$ для $\theta \in[0,2 \pi]$. При $\theta=0$ элементы матрицы расположены в следующем порядке сверху вниз – $(1,2),(1,1),(2,1)$ и $(2,2)$.
5.2. Фурье-анализ

Для более глубокого понимания структуры данных, изложенных в предыдущем параграфе, мы выполним Фурье-анализ отмасштабированных матриц. На рис. 13 показаны результаты соответствующего анализа одного элемента отмасштабированных матриц для каждой пары параметров, изображенных на рис. 11. Эти результаты представляют собой зависимости нормы гармоник элемента $(2,1)$ от ее номера. Число гармоник равно $2^{17}$, и последняя гармоника соответствует частоте $\frac{1}{2}$. Заметим, что частоты показаны по модулю 1 , а частоты в промежутке $
u \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ подставляются вместо соответствующих $1-
u$.

В случае, когда система приводима, выполненный таким образом анализ включает как частоты редуцирующей замены переменных, так и «собственную частоту» приведенного уравнения. В резонансном случае «собственная частота» имеет вид $\left(k_{1}+k_{2} \gamma\right) / 2$ с подходящими значениями $k_{1}$ и $k_{2}$.

Легко видеть, что нерезонансные случаи выше линии коллапса, повидимому, далеки от квазипериодических. Для получения количественной меры квазипериодичности в этом случае было выполнено следующее исследование. После проведения Фурье-анализа мы искали «главные гармо-

Рис. 13. Результаты Фурье-анализа, соответствующие элементу $\left.P \hat{P}_{n}\right)_{2,1}$ для каждого из случаев на рис. 11. Все случаи, за исключением с), показывают квазипериодическое поведение. Число проанализированных итераций равно $2^{18}$

ники». Пусть $A_{\max }$ максимальная амплитуда гармоник. Зададим «масштаб» величины гармоник следующим образом: будем говорить, что гармоника имеет «порядок» $m$, если соответствующая ей амплитуда лежит в интервале $\left[0.8^{m+1}, 0.8^{m}\right] \times A_{\max }$, где в качестве подходящего варианта было выбрано значение основания степенной функции, равное 0.8 . Во время Фурьеанализа мы выбирали значение $m^{*}$ так, чтобы число гармоник порядка $m \leqslant m^{*}$ было меньше ста, а число гармоник порядка $m \leqslant m^{*}+1$ – больше ста. Большое значение $m^{*}$ означает быстрое уменьшение величины гармоник, тогда как малое значение означает «приблизительность» функции. На рис. 14 приведены значения $m^{*}$ в зависимости от $a$ для двух областей значений $a$ и четырех различных значений $b$. Эта зависимость еще раз свидетельствует о различиях поведения выше и ниже линии коллапса.

Рис. 14. Мера «приблизительности» Фурье-анализа отмасштабированных матриц. Низкие значения означают более приближенное поведение. Дополнительные объяснения см. в тексте. Приближенно линии сверху вниз соответствуют значениям $b=0.2,0.4,0.6,0.8$. Для каждого значения $b$ приведены две области значений $a^{2}$, содержащие резонансы $(-2,2)$ и $(3,-1)$. Это области равны $[0.395,0.4]$ и $[0.47,0.475]$ для $b=0.2,[0.408,0.430]$ и $[0.455,0.478]$ для $b=0.4,[0.408,0.444]$ и $[0.452,0.494]$ для $b=0.6$ и $[0.402,0.427]$ и $[0.473,0.504]$ для $b=0.8$. Кроме того, для последних трех значений $b$ были опущены некоторые подобласти вблизи резонансов и там, где $m^{*}$ – постоянная величина. В каждой области рассмотрены 1000 значений $a$

Еще одна интересная особенность – это поведение главной гармоники в зависимости от $a$ при постоянном $b$. На рис. 15 приведены некоторые типичные случаи при рассмотрении элемента $(2,1)$ матрицы $\hat{P}_{n}$. Пусть $A_{\max }-$ максимальная амплитуда различных гармоник, соответствующих некоторой частоте $
u_{\max }$. За некоторыми исключениями $
u_{\max }=\rho$. Только в нескольких случаях равенство не выполняется, и тогда $A_{\max }$ немного больше $A_{\rho}$, соответствующего этому конкретному элементу матрицы. Поэтому для сохранения когерентности мы будем вычислять $A_{\rho}$ в зависимости от $a$. Во всех случаях ниже, выше либо через линию коллапса, в пределах резонансов поведение $A_{\rho}$ является гладким. При подходе к концевым точкам резонанса возникает два различных случая: либо амплитуда имеет крутой пик в концевой точке, либо уменьшается до очень малых значений. За пределами резонансов, если $\lambda>0$, она ведет себя сильно нерегулярно. Если же $\lambda=0$, то появляются лишь небольшие нерегулярности. На рис. 15 проиллюстрированы некоторые частные случаи ниже линии коллапса, выше и через нее.
5.3. Поведение $\lambda$ и $\rho$ вблизи линии коллапса

На рис. 7 были показаны оценки $\lambda$ и $\rho$ вблизи линии коллапса. Некоторые их дополнительные подробности показаны на рис. 16 , где сделаны последовательные увеличения рисунков. На рисунке также дано обоснование эффекта «коллапса». Большой резонанс на этих рисунках слева соответствует мультипликаторам $k_{1}=1, k_{2}=0$ и, следовательно, $\rho=0.5$. Заметим, что в последнем ряду рисунков 16 значения $b$ выбраны таким образом, чтобы за пределами резонансов значение $\lambda$ было положительным.

Для размещения точки на линии коллапса мы выбрали простейший случай, когда значения $(a, b)$ соответствуют пересечению правой границы резонанса $(1,0)$ с линией коллапса. На рис. 17 показан график $\lambda$ при $b=0.5284$ в области $a^{2} \in[0.39479,0.395]$ такой, что первое «касание» $\lambda$ с нулем происходит при $\rho$, несколько большем $1 / 2$. Значения $\lambda$ за пределами резонансов, по-видимому, очень близки к кривой, которая, в свою очередь, довольно близка к прямой линии. Ее график также построен на рисунке и позволяет с помощью экстраполяции получить значение $a=a_{c}(b)$, при котором происходит «касание». Построение графика $\rho\left(a_{c}(b), b\right)-1 / 2$ (или некоторой эквивалентной величины) в зависимости от $b$ (снова см. рис. 17) позволяет спрогнозировать значение $b$, для которого $\rho\left(a_{c}(b), b\right)=\frac{1}{2}$. Найденные указанным способом значения равны $\left(a^{2}, b\right) \sim(0.39479983,0.528315)$. Подобный же процесс можно использовать для любого резонанса.

После нахождения значений $\left(a^{2}, b\right)$ появляется возможность изучить поведение резонансов. По-видимому, особо важное значение имеют два вопроса:
– Зависимость максимального значения резонансных выпуклостей $\lambda$ от

Рис. 15. Поведение амплитуды $A_{\rho}$ гармоники, частота которой совпадает с $\rho$ при Фурье-анализе $\left(\hat{P}_{n}\right)_{(2,1)}$. Вверху слева: $b=0.4$, ниже линии коллапса. Вверху справа: $b=0.528$, очень близко к линии коллапса. «Нерегулярности» возникают из-за большого числа резонансов. Внизу: $b=0.6$, выше линии коллапса. За пределами резонансных зон видны сильные нерегулярности. Длина шага по $a^{2}$ равна $10^{-5}$, за исключением случая $b=0.528$, где было использовано значение $10^{-7}$. Для того чтобы лучше отобразить и малые, и большие составляющие одновременно, по вертикальной оси откладывается величина $\arcsin \left(A_{\rho}\right)$ вместо $A_{\rho}$
соответствующей частоты при заданном значении $b$. На рис. 18 изображена такая зависимость для $b=0.5284$ и частот справа от $\frac{1}{2}$. Область $a$ выбрана так, что мы находимся около линии коллапса. На рисунке мы видим четкую организацию структуры этого множества. Высоты ведут себя почти линейно относительно некоторой предельной частоты. Также видны подобные структуры на меньших масштабах. Это происходит при пересечении линии коллапса. Для значений параметров, не слишком близких к этой линии, вторичные выпуклости едва видны.

Рис. 16. Подробности поведения $\lambda$ и $\rho$ вблизи линии коллапса. Слева: $\lambda=\lambda\left(a^{2}\right)$, справа: $\rho=\rho\left(a^{2}\right)$. Значения $b$ : в первом ряду $0.526-0.535$ с шагом $10^{-3}$; во втором $0.528-0.53$ с шагом $10^{-4}$; в третьем $0.528-0.5285$ с шагом $10^{-4}$; в последнем ряду 0,52832 и 0,52833 . В самом нижнем ряду значения $a^{2}$ изменяются от 0.3947995 до 0,39480035 .

Рис. 17. Значения параметров, для которых правая концевая точка $a_{1 / 2, r}$ резонансного полуострова с частотой $\frac{1}{2}$ находится на линии коллапса. Слева: $\lambda\left(a^{2}\right)$ при $b=0.5284$ и приближение значений $\lambda>0$ за пределами резонансных полуостровов с помощью прямой линии. Справа: величина расстояния $a_{1 / 2, r}^{2}$ от линии коллапса в зависимости от $b$ и ее экстраполяция

Рис. 18. Высоты выпуклостей $\lambda$ в зависимости от соответствующей частоты при $b=0.5284$
– Зависимость высот резонансных выпуклостей $\lambda$ от значения $b$ для выбранного множества в $\mathcal{R}$. На рис. 19 изображены такие зависимости. Использованные здесь значения $b$ колеблются в пределах от 0.528 до 0.53 с шагом $10^{-4}$, плюс дополнительные значения в интервале $(0,5283,0,5284)$ с длиной шага $10^{-4}$. Выбранные резонансы имеют частоты $
u$ в интервале $(1 / 2,(35-21 \gamma) / 2 \sim 0.5106431181)$. Резонансы самых младших порядков: $(35,-21),(-54,34),(90,-55),(-143,89)$, $(179,-110),(-198,123),(234,-144)$ и $(-287,178)$. Все эти числа (в конечном счете $\pm 1$ ) равняются числам Фибоначчи, или сумме, или разности двух из них. Для всех значений $b$ в рассмотренном диапазоне обнаружены все резонансы в соответствующем диапазоне порядков $|k|=\left|k_{1}\right|+\left|k_{2}\right|<2000$. Для значений $b$, близких к критическому значению 0,528315 , найденному ранее, т. е. для $b=0.5283$ и $b=0.5284$, обнаружены все резонансы в этом диапазоне с $|k|<10000$ (некоторые хорошо определяемые резонансы имеют порядок больше 50000). Эти резонансы и представлены на рисунке. Ясно, что при критическом значении выпуклости имеют максимум. Увеличение показывает, что чем выше порядок резонанса, тем круче максимум при критическом значении $b$. То есть опять получаем еще одно проявление «коллапса резонансов».

Рис. 19. Высоты выпуклостей в $\lambda$ в зависимости от $b$. На рисунке справа показано увеличение рисунка слева в вертикальном направлении
5.4. Разрушение торов

Подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе с резонансом $\rho=\frac{1}{2}$, мы изучим поведение нерезонансного тора при пересечении линии коллапса, наблюдая его разрушение. Положим $\rho=\rho^{*}=$ $=1 / \sqrt{3} \sim 0.577350269$. Для заданного значения найдем $a_{\rho^{*}}(b)$, где $\rho\left(a_{\rho^{*}}(b), b\right)=\rho^{*}$, и $\lambda\left(a_{\rho^{*}}(b), b\right)$. На рис. 20 показаны графики обеих функций. Ясно видно, что существует значение $b_{\text {crit }}\left(\rho^{*}\right)$, вплоть до которого соответствующее значение $\lambda$ вдоль кривой $\left(a_{\rho^{*}}(b), b\right)$ равно нулю. Начиная с этой точки оно локально возрастает почти линейно. Точка кривой, соответствующая $\rho^{*}$, по определению находится на линии коллапса. Для данного значения $\rho^{*}$ получено приближенное значение $\left.b_{\text {crit }}\left(\rho^{*}\right)\right) \sim 0.533713$ (фактически оно немного больше) и соответствующее значение $a$ (т.е. $a_{\text {crit }}\left(\rho^{*}\right)$ ) $\sim 0.40697017905282$.

Рис. 20. Слева: кривая на $\left(a^{2}, b\right)$-плоскости с $\rho=1 / \sqrt{3}$. Отмеченная точка соответствует линии коллапса. Справа: значения $\lambda(b)$ вдоль кривой. Оно становится положительным на линии коллапса

На рис. 21 показан график, подобный графику на рис. 18 для найденного значения $b$. Для рассматриваемого критического нерезонансного случая высоты выпуклостей $\lambda$ снова располагаются на решетке прямых линий с масштабной симметрией. На этом рисунке мы пропустили две относительно большие выпуклости, соответствующие резонансам сравнительно «малого порядка»: $(95,-58)$ и $(49,31)$. На рис. 22 показан график высоты выпуклостей как функции величины обратной порядку соответствующего резонанса $\left(|k|=\left|k_{1}\right|+\left|k_{2}\right|\right)$. На этом рисунке вычисления с шагом $\delta a_{\min }^{2}=10^{-11}$ позволяют обнаружить все гармоники порядка меньше 20000 в выбранном диапазоне значений $a$ и большинство гармоник вплоть до порядка $2 \times 10^{5}$. Рисунок обнаруживает явное линейное поведение. Увеличение показывает, что большинство точек сконцентрированы на двух соседних линиях, верхняя соответствует $a>a_{\text {crit }}\left(\rho^{*}\right)$, а нижняя $a<a_{\text {crit }}\left(\rho^{*}\right)$. Это поведение соответствует тому, что высоты выпуклостей приблизительно пропорциональны квадратным корням ширин соответствующих окон неустойчивости параметра $a$, а ширины (из метода нормальных форм) пропорциональны амплитуде гармоник (см. обсуждение после теоремы 2). Также такое поведение иллюстрирует утверждение, упомянутое в конце раздела 4 , относительно поведения амплитуд гармоник, когда мы приближаемся к линии коллапса: амплитуда гармоники $k$ ведет себя как $1 /|k|^{2}$ для гармоник, частоты которых стремятся к $\rho$. Это говорит в пользу уменьшения регулярности инвариантного тора до тех пор, пока он не станет просто $\mathcal{C}^{1}$ (см. далее).

Рис. 21. Зависимость высоты выпуклостей $\lambda$ от соответствующей частоты при $b=$ $=0.533713$. Справа изображена зависимость $\rho\left(a^{2}\right)$ в интервале $a^{2}$ шириной $10^{-6}$, близком к центру диапазона $
u$ на левом рисунке

Рис. 22. Зависимость высоты выпуклостей от $1 /|k|$ при $b=b_{\text {crit }}\left(\rho^{*}\right)$ и значениях $a$, близких к $a_{\text {crit }}\left(\rho^{*}\right)$. Справа изображено увеличение части рисунка слева

На рис. 22 показано скопление точек вблизи начала координат. Для их разложения мы можем построить график $\log$ высота в зависимости от $|k|$.

Результат можно увидеть на рис. 23. Высоты ниже $\exp (-11)$ больше не ведут себя как $1 /|k|$, они уменьшаются скорее экспоненциално. Это говорит нам о том, что при $b=0.533713$ все еще существует инвариантный тор и коэффициенты уменьшаются, так, как будто он соответствует некоторому аналитическому тору. Считая, что высота ведет себя как $\sim \exp (-\kappa|k|)$, можно оценить $\kappa$, которое для рассматриваемого значения $b$ приблизительно равно $1 / 75000$. Интересно сравнить полученные результаты с несколько меньшими значениями $b$. Уже при $b=0.533$ высоты быстро уменьшаются. Поэтому мы взяли значение $b=0.5335$, очень близкое к предыдущему, чтобы получить значительное количество обнаруживаемых выпуклостей в пределах малого диапазона $a$ вблизи $a_{\rho^{*}}(b)$. Если включить высоты порядка $\exp (-15)$, ясно видно их экспоненциальное уменьшение. Соответствующее значение $\kappa$ можно оценить как $1 / 200$. При использовании бо́льших областей значений $a$, тем самым допуская большие выпуклости, первоначальное поведение (для малых $|k|$ ) высоты имеет вид $|k|^{-\psi}$ (и, следовательно, $|k|^{-2 \psi}$ для размера гармоник) с $\psi>1$. Следовательно, полученные численные результаты, указывают на то, что инвариантные торы, если они существуют, являются аналитическими, но при этом двигаются к некоторому непрерывному «объекту» при стремлении параметров к линии коллапса.

Рис. 23. Тот же, что и рис. 22, но с $|k|$ в качестве горизонтальной координаты и логарифма высоты выпуклости в качестве вертикальной. Крестиками обозначены соответствующие результаты для $b=0.5335$

Для того чтобы рассмотреть поведение в фазовом пространстве, на рис. 24 приведены два тора с $\rho=1 / \sqrt{3}$ и $b$, равным 0,5 и 0,53 соответственно. Отметим, что эти значения относительно «далеки» от критического. Заметим также, что «размер» торов приблизительно пропорционален $1 /\left(b_{\text {crit }}\left(\rho^{*}\right)-b\right)$. Например, для $b=0.533$ рисунок, подобный рис. 24 , требует минимального окна с полуширинами $1.2 \times 10^{3}$ и $9.7 \times 10^{3}$. Не существует нелинейных членов, способных остановить это взрывное увеличение размеров! Можно также сравнить полученные результаты с тором при $b=0.53$ на рис. $11 \mathrm{c}$, который показывает типичное поведение для нерезонансного случая после пересечения линии коллапса.

Рис. 24. Торы, полученные так же как на рис. 11. Слева: при $b=0.5$. Справа: при $b=0.53$