В течение нескольких лет один из авторов (Р. Монтгомери) искал периодические орбиты в задаче трех тел, используя метод минимизации действия над хорошо выбранными гомотопическими классами петель в конфигурационном пространстве. (См. [7], где удалось избежать проблемы столкновения с помощью гипотезы сильного взаимодействия и где описаны потенциально интересные гомотопические классы). Приблизительно в то же время оба автора независимо осознали, что равенство масс может сделать вариационный подход более разрешимым, позволив нам наложить дополнительные симметрии на допустимые петли. Это привело к появлению препринта [3], написанного А. Шенсине и А. Вентурелли, представленного к публикации в Celestial Mechanics, где были найдены новые периодические орбиты для пространственной задачи четырех тел с равными массами, и препринта [8], представленного Р. Монтгомери в Nonlinearity. А. Шенсине попросили выступить в качестве рецензента препринта [8], озаглавленного «Фигура в форме восьмерок в задаче трех тел», где описаны два различных типа периодических орбит задачи трех тел в соответствии с тем, являются ли все массы равными или равны только две из них. Тщательное исследование А. Шенсине и А. Вентурелли выдержала только орбита для равных масс. Относительно другой орбиты, которая, как ни странно, дала название статье, было высказано предположение, что она является восьмеркой не на плоскости, а на форм-сфере. Однако в доказательстве отсутствия столкновений для этой орбиты была найдена ошибка. Пытаясь понять случай равных масс, А. Шенсине обнаружил, сначала экспериментально, а затем математически, что три равных массы должны перемещаться вдоль неподвижной кривой в форме восьмерки в плоскости. Это открытие дало новую жизнь названию препринта. Численный эксперимент вырос из примера, названного «аттрактор фигуры восьмерки» в прекрасной программе «Гравитация» Джеффа Роммерейде. Успех эксперимента обусловлен ограничениями, наложенными на скорости $v$ в любой эйлеровой точке орбиты. Эти ограничения, изображенные на рис. 1 для $E_3$ как $v_1=v_2=-v_3/2$, существуют благодаря тому, что момент количества движения нулевой и что каждая эйлерова конфигурация является экстремумом момента инерции $I$ вдоль орбиты: $dI(v)=0$. Наложив более строгие ограничения на симметрии орбиты, чем это сделал Р. Монтгомери, А. Шенсине затем смог дать прямое и простое доказательство, частично в духе [2], отсутствия тройных столкновений, и получить оценки для $I$ и $U$ вдоль орбиты. Наконец, Р. Монтгомери обратил внимание на прием пренебрежения одной из масс, что позволило вычисления для тройных столкновений распространить на двойные столкновения и полностью обойти любой локальный вариационный анализ. Точные численные расчеты Карлеса Симо, с использованием специальной формы скоростей при эйлеровой конфигурации, дали точные картины восьмерки и доказали, в частности, ее «устойчивость»\» 4

Благодарности. Авторы сердечно благодарят Андреа Вентурелли и Карлеса Симо за многочисленные дискуссии, разъясняющие многие проблемы, и еще раз Карла Симо за его решающую помощь в численных расчетах. А.Шенсине также сердечно благодарит Жана Петито, который несколько лет назад дал ему программу «Гравитация». Р. Монтгомери благодарит Нейла Балмфорта за помощь в наглядном представлении восьмерки и Джулиану Барбур за вдохновившую его беседу. Наконц, выражаем благодарность редактору журнала Nonlinearity Жаку Ласкару, который разрешил рецензенту [8] связаться с автором.
Литература
[1] A. Albouy et A. Chenciner Le problème des $n$ corps et les distances mutuelles, Inventiones Mathematicae, v. 131, 151-184 (1998).

${}^4$ Это особенно интересно, потому что в задаче трех тел с равными массами известно очень немного устойчивых периодических орбит. Кроме решений задачи 2 тел с удаленной третьей массой, единственным известным примером, по-видимому, является коллинеарная орбита Шубарта: Numerische Aufsuchung periodischer Lösungen im Dreikörperproblem, Astronomische Nachriften vol. 283, pp. 17-22, 1956 (благодарим К.Симо за этот источник). Одна четвертая этой орбиты перемещается коллинеарно от $E_3$ к $C_1$. В некотором роде «восьмерку» можно считать (большим) возмущением орбиты, которая возникла бы из орбиты Шубарта посредством возмущения сталкивающихся тел при каждом из столкновений.