Наконец, мы переходим к поиску других хореографий в неподвижной системе координат.

Начнем с продолжения по $c$. Если вдоль семейства мы вернемся к неподвижной системе координат, то получим другую истинную или абсолютную хореографию (в противоположность относительной). Как упоминалось, продолжение возможно, но вскоре возникает двойное столкновение на одной из траекторий семейства. Характеристическая кривая семейства будет показана позже. Нетрудно продолжить семейство за траекторию, на которой происходит столкновение. Для этого можно использовать различные средства. Простейшим является выполнение регуляризации Леви-Чивита всякий раз, когда мы приближаемся к двойному столкновению. Позднее будет представлен другой метод.

Двигаясь вдоль семейства, мы действительно находим другую абсолютную хореографию. После этого траектории семейства становятся все более и более сложными, имея несколько проходов близких к столкновению за время одного обращения (во вращающейся системе координат). Далее этим методом не удалось обнаружить абсолютных хореографий.

Другой подход к получению относительных хореографий и, в частности, абсолютных хореографий, заключается в следующем. Рассмотрим начальные условия в равнобедренной конфигурации с подходящими скоростями:
\[
x_{3}=x_{2}, \quad y_{3}=-y_{2}, \quad \dot{x}_{3}=-\dot{x}_{2}, \quad \dot{y}_{3}=\dot{y}_{2} .
\]

Начальные условия для $m_{1}$ определяются из интегралов центра масс. Ось симметрии рассматриваемого равнобедренного треугольника проходит через $m_{1}$.

Предположим, что через некоторое время $\tau$ тела проходят через другую равнобедренную конфигурацию, на сей раз с телом $m_{2}$ на оси симметрии. Пусть $\beta$ – угол между предыдущей (ось $x$ ) и текущей осями симметрии. Предположим, что после вращения координат и скоростей в момент времени $\tau$ на угол – $\beta$ мы имеем равнобедренную конфигурацию $с$ той же самой симметрией относительно скоростей, что и начальная. Единственным изменением является круговая перестановка тел с изменением ориентации. Тогда, непосредственно следует, что действие полупрямого произведения $\mathbb{Z}^{2}$ и $\mathbb{Z}^{3}$ (симметрия и перестановка) порождает относительную хореографию с периодом $T=6 \tau$ и углом вращения $6 \beta$. В частности, если $\beta$ кратно $\pi$, возникает абсолютная хореография. Очевидно, что она будет симметричной относительно оси $x$.

Для обнаружения начальных равнобедренных конфигураций и связанных с ними скоростей (всегда на уровне $h=-\frac{1}{2}$ ), мы можем использовать различные способы. Один из них заключается в фиксировании значения $c$. Тогда может возникнуть 0,1 или 2 возможных начальных условий, как пересечения эллипса данной кинетической энергии (в конечном счете пустого) с прямой в пространстве ( $\left.\dot{x}_{2}, \dot{y}_{2}\right)$. При движении вдоль семейства и использовании одного из двух корней, если получен двойной (кратный) корень, то после прохождения этой точки следует перейти к другому корню. Это происходит, например, на поворотных точках характеристического семейства (например, в пространстве ( $c, T$ )). Другая возможность заключается в выборе точки на эллипсе данной кинетической энергии посредством вспомогательного угла $\gamma$. Тогда скорости будут иметь вид
\[
\dot{x}_{2}=\sqrt{3} \rho \cos (\gamma), \dot{y}_{2}=\rho \sin (\gamma),
\]

где $\rho$ – квадратный корень из кинетической энергии. Тогда значение $c$ можно получить в виде $c=\left(6 x_{2} \dot{y}_{2}-2 y_{2} \dot{x}_{2}\right) / 3$ (напомним, что массы равны и $\sum m_{i}=1$ ). Чтобы кинетическая энергия была положительной, нужно взять $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ внутри кривой нулевой скорости, кнс, определенной уравнением
\[
\frac{1}{\left|y_{2}\right|}+\frac{4}{\sqrt{9 x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}=1 .
\]

Любому $\left(x_{2}, y_{2}, \gamma\right)$ с $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ внутри кнс и $\gamma \in[0,2 \pi]$ соответствует допустимая равнобедренная конфигурация со связанными с ней скоростями. Однако ввиду симметрий мы можем отбросить данные с $x_{2}<0, y_{2}>0, c<0$. Отметим, что если в начальный момент времени происходит столкновение, то угол $\gamma$ имеет разрыв и скачок на $\pi$. Если столкновение происходит в некоторый момент времени $t>0$, то вдоль семейства разрывов не происходит.

Для заданных значений $\left(x_{2}, y_{2}, \gamma\right)$ можно начать численное интегрирование, пока не произойдет проход через равнобедренную конфигурацию (с произвольным поворотом). Интегрирование останавливается, если $\tau>5$ или тела уходят за пределы области или слишком близко приближаются к столкновению. Можно, конечно, искать последовательные проходы через равнобедренную конфигурацию, но использование первого похода приводит к достаточно хорошим результатам. Затем для выполнения условий на скорости используется процедура Ньютона, при этом изменяются $\left(x_{2}, y_{2}\right)$, а $\gamma$ остается постоянным.

Эта процедура выполнялась на сетке значений $\gamma \in[0,2 \pi]$ с шагом $1 / 4000$. Использовались различные начальные значения $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ внутри области, ограниченной $x_{2}=0, y_{2}=0, x_{2}=1$ и кнс с шагом $1 / 576$ по $x_{2}$ и $y_{2}$. Процесс останавливался в случае ухода тел из области или при столкновении, если полный период $T$ становился больше 30 , если число итераций процедуры Ньютона превышало некоторое ограничение, если итерации уходили из допустимой области или если метод сходился к уже найденному решению. Всего были проверены око.о 1 миллиарда начальных условий. Из них были найдены около $3 \times 10^{5}$ относительных хореографий. Для каждого из них запускался процесс продолжения. Конечно, многие из них получаются друг из друга с помощью продолжения. Кроме того, когда при продолжении происходило пересечение значения $\beta=k \pi, k \in \mathbb{Z}$, возникала абсолютная хореография.

Рис. 14. Вверху слева: положения $(x, y)$ взятые в качестве начальных равнобедренных конфигураций для получения абсолютных хореографий. Вверху справа: восьмеркообразная конфигурация. В последующих строках другие примеры абсолютных хореографий

На рис. 14 и 15 представлена выборка полученных результатов. На верхнем левом графике рисунка 14 изображены значения $\left(x_{2}, y_{2}\right)$, для которых были найдены абсолютные хореографии. К настоящему времени (апрель 2001 года) были обнаружены 345 решений этого типа, при ограничении периода значением 30 и опускании решений, проходящих слишком близко к столкновению. При упорядочении по возрастанию периода первой абсолютной хореографией является восьмерка. Закрашенные и полые точки на траекториях показывают начальные и конечные равнобедренные конфигурации, использованные для получения решения. Во втором ряду показаны следующая за восьмеркой хореография с наименьшим периодом и еще одна, также с небольшим периодом. Левая хореография принадлежит кривой продолжения восьмерки (получается из нее с помощью продолжения). В третьем ряду показаны хореографии номер 6 и 7 , считая в порядке увеличения периода. Интересно, что увеличивая число оборотов в части траектории с двумя телами (лежащей, главным образом, в области $x>0$ на графиках), получаем два счетных множества абсолютных хореографий. В них центр масс двух тел и третье (лежащее напротив первых двух) тело подходят близко к эллиптическим траекториям, до тех пор, пока не произойдет обмен тел. В последнем ряду на рис. 14 показаны последние члены обоих семейств при $T<30$. Соответствующие точки на верхнем левом графике изображены как последовательность, относительно близкая к кнс в правой части. Однако существуют много других семейств. Хореографии в последнем ряду принадлежат простейшим из семейств. Обратим внимание также на то, что некоторые семейства абсолютных хореографий симметричны относительно обеих осей $x$ и $y$.

Приблизительные значения начальных условий и величина одной шестой периода для траекторий, показанных во второй, третьей и четвертой строках рис. 14, приведены ниже. За исключением восьмеркообразного решения величина кинетического момента на этих решениях большее 0.19. Фактически, у всех 345 найденных хореографий, за исключением восьмерки, кинетический момент больше 0.12 .
\begin{tabular}{cccccc}
строка & & $\gamma$ & $x_{2}$ & $y_{2}$ & $\tau$ \\
2 & слева & 0.73976160 & 0.15402894 & -0.09324743 & 0.44929802 \\
2 & справа & 0.80535382 & 0.19818361 & -0.12376832 & 1.08886765 \\
3 & слева & 0.70450055 & 0.26707603 & -0.13756835 & 1.43912861 \\
3 & справа & 0.60277109 & 0.28844514 & -0.11671861 & 1.45630457 \\
4 & слева & 0.29968793 & 0.77718110 & -0.10676744 & 4.72345735 \\
4 & справа & 0.26175926 & 0.78447812 & -0.10133157 & 4.72368628
\end{tabular}

Рис. 15. Характеристические кривые относительных хореографий на плоскости $\left(x_{2}, y_{2}\right)$. Кнс показана пунктирной линией. В нижней части показаны некоторые увеличения верхнего рисунка

На рисунке 15 вверху показаны характеристические кривые относительных хореографий в переменных $\left(x_{2}, y_{2}\right)$. В верхней правой части между кнс и прямой $y=0$ повторяется простая структура. Очевидно, что эти структуры повторяются бесконечное число раз, с увеличивающимися периодами. В левой части этого рисунка ситуация становится запутанной. Увеличения его частей показаны внизу. В интервале $x_{2} \in[0.0 ; 0.1]$ также можно предположить наличие нескольких семейств. При $x_{2} \in[0.1,0.2]$ существует замечательное семейство, начинающееся в отмеченной точке, которая соответствует восьмерке. Двигаясь вдоль семейства достигаем точки $y_{2}=0$, в которой происходит столкновение. Затем характеристическая кривая проходит через точку, отмеченную малой окружностью (расположенную очень близко к начальной точке восьмеркообразного решения в этой проекции). Эта новая отмеченная точка соответствует абсолютной хореографии во второй строке слева на рис. 14. При движении вдоль семейства видны некоторые разрывы. Они связаны с прохождением слишком близко к столкновению.

Ни одна из обнаруженных абсолютных хореографий, за исключением восьмерки, не является устойчивой.

Благодарности.

Стартовой точкой этой работы стали обсуждения и предложения сделанные А. Шенсине и Р. Монтгомери. За исключением последнего параграфа, большая часть работы была выполнена во время года, свободного от преподавания, в Институте небесной механики (Обсерватория Парижа) благодаря поддержке CNRS. Я благодарю своих коллег в этом институте за гостеприимство и интерес к моей работе. При выполнении работы широко использовался центр параллельных вычислений научной группы UB Grup de Sistemes Dinàmics. Работа также поддержана грантами BFM2000-805 (Испания) и 2000SGR-27 (Каталония).