Свою книгу автор посвящает
памяти

ЛЮИСА ДЖ. КЛЕЙНА, учителя и друга

Углубленный курс классической механики долгое время считался обязательной частью учебных планов по физике. Однако в настоящее время целесообразность такого курса может показаться сомнительной, так как студентам старших курсов или аспирантам он не дает новых физичєских понятий, не вводит их непосредственно в современные физические исследования и не оказывает им заметной помощи при решении тех практических задач механики, с которыми им приходится встречаться в лабораторной практике. Но, несмотря на это, классическая механика все же остается неотъемлемой частью физического образования. При подготовке студентов, изучающих современную физику, она играет двоякую роль. Во-первых, в углубленном изложении она может быть использована при переходе к различным областям современной физики. Примером могут служить переменные действие – угол, нужные при построении старой квантовой механики, а также уравнение Гамильтона – Якоби и принцип наименьшего действия, обеспечивающие переход к волновой механике, или скобки Пуассона и канонические преобразования, которые весьма ценны при переходе к новейшей квантовой механике. Во-вторых, классическая механика позволяет студенту, не выходя за пределы понятий классической физики, изучить многие математические методы, необходимые в квантовой механике.

Обычное изложение, установившееся в основном около пятидесяти лет назад, конечно, не отвечает указанным целям. Поэтому автор сделал попытку привести классическую механику в соответствие с последними требованиями. В книге подчеркиваются формулировки, которые важны для современной физики, и всюду, где это возможно, используются математические методы, применяемые обычно в квантовой механике и обеспечивающие компактность и изящество изложения. Например, в связи с движением под действием центральных сил рассматривается задача о рассеянии элементарных частиц и дается классическое решение этой задачи. Большое место в книге отведено каноническим преобразованиям, скобкам Пуассона, теории Гамильтона – Якоби и переменным действие – угол. Дано также введение в теорию вариационных принципов для непрерывных систем и полей.

Для иллюстрации применения новых математических методов в книге широко применяется теория матриц, в частности, к исследованию вращения твердого тела. При таком изложении известная теорема Эйлера о повороте твердого тела превращается в теорему о собственных значениях ортогональной матрицы. При матричном изложении такие различные темы, как тензор инерции, преобразование Лоренца в пространстве Минковского и собственные частоты малых колебаний оказываются в математическом отношении тождественными. Кроме того, матричные методы позволяют уже в начале курса познакомиться с такими сложными понятиями, как понятия отражения и псевдотензора, которые так важны в современной кванговой механике. Наконец, в связи с изучением параметров Кэйли – Қлейна матричные методы позволяют ввести понятие «спинора».

Кроме того, мы сознательно допустили и некоторые другие отступления от обычного построения курса. Например, специальная теория относительности часто излагается недостаточно последовательно, если не считать весьма специального курса, охватывающего также и общую теорию относительности. Однако важность этой теории в современной физике требует знакомства с ней уже в ранней стадии обучения. Поэтому мы посвятили специально этому предмету шестую главу. Другим нововведением является рассмотрение сил, зависящих от скорости. В прошлом классическая механика строилась в основном на «статических» силах, т. е. силах, зависящих только от положения, таких, например, как гравитационные силы. Однако в современной физике нам постоянно прнходится встречаться с силами, зависящими от скорости, например, с электромагнитными силами. Для того чтобы возможно раньше научить студента обращению с этими силами, мы с самого начала ввели потенциалы, зависящие от скорости, и затем постоянно пользовались ими.

Следующим новшеством этой книги является включение в нее механики непрерывных систем и полей (гл. 11). Вообще говоря, эти вопросы охватывают тесрию упругости, гидродинамику и акустику, однако в таком объеме они выходят за рамки настоящей книги и, кроме того, по ним имеется соответствующая литература. В противоположность этому не существует хорошей литературы по применению классических вариационных принципов к непрерывным системам, хотя роль этих принципов в теории полей элементарных частиц все время возрастает. Вообще теорию поля можно развить достаточно глубоко и широко еще до рассмотрения квантования. Например, вполне возможно рассматривать тензор напряжение – энергия, микроскопические уравнения неразрывности, пространство обобщенных импульсов и т. д., целиком оставаясь при этом в рамках классической физики. Однако строгое рассмотрение этих вопросов предъявило бы чрезмерно высокие требования к студентам. Поэтому было решено (по крайней мере в этом издании) ограничиться лишь элементарным изложением методов Лагранжа и Гамильтона в применении к полям.

Стремясь к тому, чтобы этой книгой могли пользоваться лица с различной подготовкой, автор включил в главы 1 и 3 многое из того, что обычно содержится в общих курсах механики.

Математическая подготовка, необходимая для чтения этой книги, как правило, не выходит за пределы обычных курсов высшей математики и векторного анализа. Поэтому в книге отводится значительное место изложению более сложных математических методов, необходимых при изучении некоторых вопросов.

В тех случаях, когда речь шла об электромагнитных силах, мы преднолагали элементарное знакомство читателя с уравнениями Максвелла и простейшими следствиями из них. Кроме того, мы предполагали некоторое знакомство с современной физикой, учитывая, что большинство студентов старших курсов или аспирантов изучали ее, по крайней мере, в течение одного семестра. Поэтому автор часто коротко останавливался на связи между классическим развитием механики и его квантовым продолжением.

В литературе по механике встречается много элементарных задач, и поэтому мы считали нецелесообразным помещать их в большом количестве. По этой причине задачи, помещенные нами в конце каждой главы, служат большей частью продолжением текста и относятся к некоторым частным вопросам или различным вариантам доказательств теорем. Традиционных педантичных задач мы старательно избегали.

Выбор подходящих обозначений всегда связан с известными трудностями, так как нелегко найти обозначения, имеющие единственный смысл и не являющиеся громоздкими. В этой книге мы следовали установившейся практике, обозначая векторы полужирным латинским шрифтом, а все матрицы и тензоры – полужирным рубленым шрифтом. Список наиболее важных обозначений, встречающихся в этой книге, приводится в ее конце. Второстепенные обозначения, встречающиеся лишь один раз, в этот список не включены.

Для более глубокого изучения изложенного материала и ознакомления читателей с незатронутыми вопросами в конце каждой главы приводится список рекомендуемой литературы. Этот список сопровождается краткими аннотациями, которые даются для ориентации студентов в существующей литературе по механике. Конечно, эти аннотации выражают только личное мнение автора. В конце всей книги имеется также общий библиографический список, содержащий много книг, не указанных ранее; он, однако, не содержит устаревших книг. Литературой, указанной в этом списке, автор пользовался при написании данной книги и поэтому считает своим долгом выразить признательность авторам перечисленных работ.

Настоящая книга написана по материалам лекций по классической механике, прочитанных автором в Гарвардском университете. Автор выражает благодарность заведующему кафедрой физики профессору ван Флеку за его личную и официальную поддержку, а также профессору Швингеру и другим своим коллегам за ряд ценных советов. Кроме того, автор глубоко признателен слушавшим его лекции студентам, активный интерес и доброжелательное отношение которых служили постоянным стимулом в работе автора над этой книгой.
Кембридж, Март 1950
Герберт Голдстейн