Предыдущие рассуждения имели целью подчеркнуть ту важную роль, которую играет тензор инерции при изучении движения твердых тел. С этой точки зрения исследование свойств этого тензора и связанной с ним матрицы представляет значительный интерес. Из формулы (5.7) видно, что составляющие этого тензора симметричны, т. е.
\[
I_{x y}=I_{y x} .
\]

Так как, кроме того, они вещественны, то матрица этого тензора совпадает со своей эрмитовски сопряженной [см. уравнение (4.38)], т. е. является матрицей Эрмита. Таким образом, хотя этот тензор имеет девять составляющих, однако среди них будет только шесть независимых: три вдоль диагонали и три по одну сторону от нее.

Моменты инерции зависят как от положения начала подвижной системы, так и от ее ориентации относительно тела. Было бы, конечно, весьма удобно, если бы при заданном положении начала координат можно было найти такую ориентацию подвижных осей, при которой тензор инерции является диагональным и, следовательно, может быть записан в виде диады
\[
I^{\prime}=I_{1} i \boldsymbol{i}+I_{2} j i+I_{3} k \boldsymbol{k} .
\]

В такой системе координат каждая из составляющих вектора $\boldsymbol{L}$ будет содержать только соответствующую составляющую вектора $\omega$; таким образом, в этом случае будем иметь:
\[
L_{x}=I_{1} \omega_{x}, \quad L_{y}=I_{2} \omega_{y}, \quad L_{z}=I_{3} \omega_{z} .
\]

Аналогичное упрощение получается здесь и для кинетической энергии, которая принимает вид
\[
T=\frac{\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{\omega}}{2}=\frac{1}{2} I_{1} \omega_{x}^{2}+\frac{1}{2} I_{2} \omega_{y}^{2}+\frac{1}{2} I_{3} \omega_{z}^{2} .
\]

Можно показать, что такие оси всегда существуют; доказательство этого основывается на том, что тензор инерции является эрмитовым.

Как отмечалось в § 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путем приведения этой матрицы к диагональному виду; элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой I имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора $\boldsymbol{I}$, причем числа $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что в координатной системе, где тензор I является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор $\boldsymbol{6}$ будет направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси $x$. Тогда кинетический момент $\boldsymbol{L}=\boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{\omega}$ будет направлен вдоль этой же оси. Следовательно, действие оператора $\boldsymbol{I}$ на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. Но согласно определению такой вектор должен быть одним из собственных векторов преобразования $\boldsymbol{I}$.

B § 4.6 мы говорили о диагонализации матрицы и отыскании ее собственных значений. Однако сама по себе эта процедура не является доказательством существования вещественной декартовой системы, в которой матрица тензора I ортогональна. Вспомним, например, что, за исключением тривиальных случаев, любая ортогональная матрица имеет только одно вещественное собственное значение и, значит, для собственных векторов ее имеется только одно вещественное направление (направление оси вращения). В противоположность этому мы сейчас докажем, что все собственные значения матрицы тензора $I$ являются вещественными, а три вещественных направления ее собственных векторов взаимно ортогональны *).
*) Это значит, что матрица $X$, которая диагонализирует матрицу тензсра 1 посредством подобного преобразования, является вещественной ортогональной матрицей.

Пусть $X_{k j}$ будет $k$-я составляющая $j$-го собственного вектора матрицы тензора I (согласно обозначениям § 4.6). Тогда уравнения, определяющие собственные векторы, запишутся в виде
\[
\sum_{k} I_{i k} X_{k_{j}}=I_{j} X_{i j} .
\]

Умножая написанное равенство на $X_{i l}^{*}$ и суммируя по всем $i$, получаем
\[
\sum_{i, k} X_{i l}^{*} I_{i k} X_{k j}=I_{l} \sum_{i} X_{i l}^{*} X_{i j} .
\]

Сумму, стоящую в правой части этого равенства, можно записать в виде произведения $\boldsymbol{R}_{l}^{*} \cdot \boldsymbol{R}_{l}$, т. е. в виде скалярного произведения собственного вектора $\boldsymbol{R}_{j}$ и вектора, комплексно сопряженного с собственным вектором $\boldsymbol{R}_{l}$. Составляя теперь для $I_{l}$ уравнение, подобное (5.22), и переходя затем к комплексно сопряженному уравнению, будем иметь
\[
\sum_{i} I_{k i}^{*} X_{i l}^{*}=I_{l}^{*} X_{k l}^{*} \text {. }
\]

Умножая это равенство на $X_{k j}$ и суммируя по $k$, получаем
\[
\sum_{i, k} X_{i l}^{*} I_{k i}^{*} X_{k j}=I_{l}^{*} \sum_{k} X_{k l}^{*} X_{k j}
\]

причем сумму, стоящую в правой части этого равенства, опять можно заменить на $\boldsymbol{R}_{i}^{*} \cdot \boldsymbol{R}_{l}$. Но так как матрица тензора $\boldsymbol{I}$ является эрмитовой, то
\[
I_{i k}=I_{k i}^{*},
\]

и, следовательно, левые части равенств (5.23) и (5.24) одинаковы. Вычитая одно из другого, получаем
\[
\left(I_{j}-I_{l}^{*}\right) \boldsymbol{R}_{l}^{*} \cdot \boldsymbol{R}_{f}=0 .
\]

Пусть теперь $l$ равно $j$. Тогда
\[
\boldsymbol{R}_{i}^{*} \cdot \boldsymbol{R}_{j}=\left|\boldsymbol{R}_{j}\right|^{2}
\]

будет некоторым положительным числом, и поэтому левая часть равенства (5.25) будет обращаться в нуль только при $I_{j}=I_{i}^{*}$, что доказывает первую часть рассматриваемой георемы. Заметим, что в этом доказательстве использовалось лишь то обстоятельство, что матрица тензора I является эрмитовской. Таким образом, собственные значения любой эрмитовой матрицы являются вещественными. Так как матрица тензора I является, кроме того, вещественной, то вещественными должны быть и направляющие косинусы ее собственных векторов $\boldsymbol{R}_{j}$.

Пусть теперь $l$ отлично от $j$ и все собственные значения различны. Тогда левая часть равенства (5.25) будет обращаться в нуль только тогда, когда $\boldsymbol{R}_{l} \cdot \boldsymbol{R}_{j}=0$, т. е. когда собственные векторы ортогональны, что доказывает вторую половину теоремы*). Если собственные значения матрицы тензора $I$ не все различны, то изложенное доказательство ортогональности не проходит, однако оно может быть для этого случая немного изменено, что можно сделать без большого труда. Если имеются два одинаковых собственных значения, то соответствующие собственные векторы не обязательно будут ортогональны. Однако любая линейная комбинация этих собственных векторов должна опять быть собственным вектором матрицы тензора I с тем же собственным значением. Следовательно, все векторы, лежащие в плоскости, определяемой двумя этими собственными векторами́, также являются собственными векторами. Тогда собственный вектор, соответствующий третьему собственному значению, будет перпендикулярен к этой плоскости. Поэтому в рассматриваемой плоскости можно выбрать два произвольных взаимно перпендикулярных вектора, которые вместе с третьим, им перпендикулярным, определят три искомые оси. Аналогично, если все собственные значения будут одинаковы, то все направления пространства будут направлениями собственных векторов. Но это значит, что матрица тензора I является диагональной и ее не требуется диагонализировать.

Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора I, т. е. из векового уравнения. Haпомним, как получается это уравнение. Заметим, что при $i=1$, 2,3 уравнения (5.22) образуют систему трех однородных линейных уравнений относительно составляющих собственного вектора. Поэтому они будут иметь нетривиальное решение только в том случае, когда детерминант из их коэффициентов
*) Здесь можно заметить близкую аналогию, связанную с уравнением Штурма – Лиувилля в теории дифференциальных уравнений в частных производных, так қак известно, что собственные значения дифференциального оператора Эрмита являются вещественными, а соответствующие собственные функции – ортогональными. Эта аналогия не является случайной, ибо всегда можно установить соответствие между данным уравнением в частных производных и некоторой матрицей. Именно такое соответствие имеет место в квантовой теории между матричной механикой и волновой механикой,
будет равен нулю:
\[
\left|\begin{array}{ccc}
I_{x x}-I & I_{x y} & I_{z x} \\
I_{x y} & I_{y y}-I & I_{y z} \\
I_{z x} & I_{y z} & I_{z z}-I
\end{array}\right|=0 .
\]

Уравнение (5.26) является вековым уравнением, кубическим относительно $I$, и три его корня представляют искомые моменты инерции. Для каждого из этих корней можно найти решения уравнений (5.22) и получить таким путем направление соответствующей главной оси.

Во многих простых случаях о главных осях твердого тела можно судить непосредственно по его виду. Часто, например, встречаются случаи, когда рассматриваемое тело представляет собой тело вращения, а начало подвижной системы координат лежит на его оси симметрии. Тогда все направления; перпендикулярные к оси симметрии, будут, очевидно, равнозначными, что указывает на наличие двойного корня векового уравнения. Главными осями будут в этом случае ось симметрии и две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии.

K понятию о главных осях можно прийти и из некоторых геометрических соображений. Исторически они были первыми, которые привели к этому понятию. Момент инерции относительно данной оси мы определили как
\[
I=\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{n} .
\]

Обозначив направляющие косинусы вектора $n$ через $\alpha, \beta, \gamma$, будем иметь
\[
n=\alpha \boldsymbol{i}+\beta j+\gamma k,
\]

и тогда вследствие симметрии выражения для $I$ его можно будет записать в виде
\[
I=I_{x x} \alpha^{2}+I_{y y} \beta^{2}+I_{z z} \gamma^{2}+2 I_{x y} \alpha \beta+2 I_{y z} \beta \gamma+2 I_{z x} \gamma \alpha .
\]

Введем теперь вектор $\rho$, определяемый равенством
\[
\rho=\frac{n}{\sqrt{\bar{I}}} .
\]

Таким образом, мы связываем величину этого вектора с моментом инерции относительно оси $\boldsymbol{n}$. Вводя составляющие этого вектора в равенство (5.27), мы можем записать последнее в виде
\[
1=I_{x x} \rho_{1}^{2}+I_{y y} \rho_{2}^{2}+I_{z z} \rho_{3}^{2}+2 I_{x y} \rho_{1} \rho_{2}+2 I_{y z} \rho_{2} \rho_{3}+2 I_{z x} \rho_{3} \rho_{1} .
\]

Рассматривая правую часть этого уравнения как функцию трех переменных, мы видим, что оно является уравнением некоторой поверхности в пространстве вектора $\rho$. Эта повсрхность представляет собой поверхность эллипсоида, который называется эллипсоидом инерции. Известно, что всегда можно найти такое преобразование декартовых координат, в результате которого уравнение эллипсоида принимает канонический вид
\[
1=I_{1} \rho_{1}^{\prime 2}+I_{2} \rho_{2}^{\prime 2}+I_{3} \rho_{3}^{\prime 2},
\]

и главные оси его оказываются направленными вдоль новых осей координат. Но уравнение (5.29) имеет как раз такой вид, какой приобретает уравнение (5.28) в системе координат, где тензор инерции $I$ является диагональным. Следовательно, преобразование координат, приводящее уравнение эллипсоида к каноническому виду, совпадает с рассмотренным выше преобразованием к главным осям. Главные моменты инерции определяют длину осей эллипсоида инерции. Если два корня векового уравнения будут равны, то эллипсоид инерции будет иметь две равные оси и, следовательно, будет эллипсоидом вращения. Если же все главные моменты инерции будут равны, то эллипсоид инерции превратится в сферу.

Величиной, тесно связанной с моментом инерции, является радиус инерции $R_{0}$, определяемый равенством
\[
I=M R_{0}^{2} .
\]

С помощью радиуса инерции вектор $\rho$ можно представить в виде
\[
\rho=\frac{n}{R_{0} \sqrt{\bar{M}}} .
\]

Следовательно, радиус-вектор каждой точки эллипсоида инерции обратно пропорционален радиусу инерции относительно оси, на которой лежит этот вектор.
§5.5. Общий метод решения задачи о движении твердого тела. Уравнения Эйлера. Весь аппарат, необходимый для решения задачи о движении твердого тела, нами практически уже получен. В некоторых случаях, когда на это тело наложены неголономные связи, нам потребуется применить специальные приемы, чтобы учесть их. Так обстоит дело, например, в том случае, когда на тело наложена «связь качения», которая может быть учтена с помощью введения неопределенных множителей Лагранжа, как это делается в § 2.4. Если, однако, исключить эти специальные случаи, то, как правило, нам придется иметь дело только с голономными и консервативными системами, а движение таких систем вполне определяется их лагранжианом. Если рассматриваемое тело является свободным, то нам потребуется полная система из щести обобщенных координат: трех декартовых координат для описания поступательного движения и трех углов Эйлера для описания его вращения. Кинетическую энергию этого тела можно представить как энергию его поступательного движения вместе с центром масс и энергию вращательного движения, т. е. в виде
\[
\frac{1}{2} M v^{2}+\frac{1}{2} I \omega^{2}
\]

Чтобы получить удобное выражение для второго члена этой суммы, его обычно выражают в главных осях; при этом вращательная энергия приобретает простой вид, получающийся из (5.21) после подстановки туда составляющих вектора $\boldsymbol{\omega}$, выраженных через углы Эйлера. Разумеется, если одна точка твердого тела закреплена, го его кинетическая энергия будет состоять только из энергии вращения, и тогда задача значительно упростится.

В ряде случаев изучаемое движение является плоским, например движение пластины в своей плоскости. Тогда направление оси вращения будет все время перпендикулярным к этой плоскости, т. е. будет фиксированным в пространстве. В этом случае понадобятся не три угла, характеризующих вращение, а только один такой угол, и можно будет обойтись без громоздких формул, содержащих углы Эйлера.

Хотя формально уравнения Лагранжа и достаточны для решения рассматриваемой задачи, однако в случае тела с одной неподвижной точкой часто удобнее пользоваться другими уравнениями, известными под названием уравнений Эйлера.

Эти уравнения можно получить следующим образом. В случае, когда действующие силы являются консервативными, рассматриваемое твердое тело имеет лагранжиан, равный
\[
L=T-V=\frac{1}{2}\left(I_{1} \omega_{x}^{2}+I_{2} \omega_{y}^{2}+I_{3} \omega_{z}^{2}\right)-V(\theta, \varphi, \psi),
\]

где $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ – главные моменты инерции относительно неподвижной точки. Далее, нам нужно подставить сюда составляющие $\omega_{x}, \omega_{y}, \omega_{z}$, выраженные через углы Эйлера, что можно сделать с помощью формул (4.103), связывающих главные оси тела с некоторой неподвижной системой осей. Полученный таким путем лагранжиан будет функцией трех углов поворота: $\theta, \varphi$ и $\psi$. Заметим теперь, что если некоторая обобщенная координата описывает вращение, то соответствующая обобщенная сила будет составляющей вращающего момента вдоль оси вращения (см. § 2.6). Поэтому обобщенные силы, соответствующие координатам $\theta, \varphi, \psi$, будут составляющими действующего вращающего момента, но только не вдоль главных осей тела, а вдоль линии узлов, неподвижной оси $z$ и подвижной оси $z^{\prime}$, связанной с телом. Следовательно, из трех этих обобщенных сил только сила $-\frac{\partial V}{\partial \psi}$, соогветствующая углу $\psi$, представляет полный момент действующих сил относительно одной из главных осей оси $z$. Поэтому уравнение Лагранжа, соответствующее координате $\psi$, можно записать в виде
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}\right)-\frac{\partial T}{\partial \psi}=N_{z} .
\]

Далее, из уравнений (4.103) видно, что производную $\dot{\psi}$ содержит только составляющая $\omega_{z}$, а саму координату $\psi$-только составляющие $\omega_{x}$ и $\omega_{y}$. При этом имеют место равенства:
\[
\frac{\partial \omega_{z}}{\partial \dot{\psi}}=1, \quad \frac{\partial \omega_{x}}{\partial \phi}=\omega_{y}, \frac{\partial \omega_{y}}{\partial \psi}=-\omega_{x} .
\]

С помощью этих формул и формулы кинегической энергии в форме (5.21) мы получим следующие выражения для частных производных, входящих в (5.32):
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}=I_{3} \omega_{z} ; \\
\frac{\partial T}{\partial \psi}=I_{1} \omega_{x} \omega_{y}-I_{2} \omega_{y} \omega_{x} .
\end{array}
\]

Поэтому уравнение (5.32) принимает вид
\[
I_{3} \dot{\omega}_{z}-\omega_{x} \omega_{y}\left(I_{1}-I_{2}\right)=N_{z} .
\]

Далее заметим, что, выбирая одну из главных осей в качестве оси $z$, мы совершали этот выбор совершенно произвольно. Поэтому в уравнении (5.33) можно переставить индексы и написать аналогичное уравнение для составляющей полного момента относительно любой из главных осей. Таким образом, мы сразу получаем полную систему уравнений движения, которая имеет следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
I_{1} \dot{\omega}_{x}-\omega_{y} \omega_{z}\left(I_{2}-I_{3}\right)=N_{x}, \\
I_{2} \dot{\omega}_{y}-\omega_{z} \omega_{x}\left(I_{3}-I_{1}\right)=N_{y}, \\
I_{3} \dot{\omega}_{z}-\omega_{x} \omega_{y}\left(I_{1}-I_{2}\right)=N_{z} .
\end{array}\right\}
\]

Это-так называемые уравнения Эйлера для движения твердого тела с одной неподвижной точкой. Следует подчеркнуть, что третье из этих уравнений является уравнением Лагранжа для координаты $\psi$, однако два других не являются уравнениями Лагранжа для координат $\theta$ и р. Это видно хотя бы из того, что производная $-\frac{\partial V}{\partial \theta}$ не равна $N_{x}$ или $N_{y}$, а является составляющей момента $\boldsymbol{N}$ по линии узлов.

Возможен другой вывод уравнений Эйлера, основанный на теореме о кинетическом моменте, согласно которой
\[
\frac{d \boldsymbol{L}}{d t}=\boldsymbol{N}
\]
[см. уравнение (1.24)]. Производная по времени здесь берется, конечно, в неподвижной системе координат, так как это уравнение справедливо только в инерциальной системе. С другой стороны, в уравнения (5.34) входят производные по времени от составляющих вектора а по подвижным осям. Однако согласно равенству (4.100) имеем:
\[
\left(\frac{d \boldsymbol{L}}{d t}\right)_{\text {пространство }}=\left(\frac{d \boldsymbol{L}}{d t}\right)_{\text {тело }}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{L},
\]

и, следовательно, проекция уравнения
\[
\frac{d \boldsymbol{L}}{d t}=N
\]

на главную ось $x$ имеет вид
\[
\frac{d L_{x}}{d t}+\omega_{y} L_{z}-\omega_{z} L_{y}=N_{x} .
\]

Учитывая теперь, что составляющие кинетического момента $L_{x}$, $L_{y}, L_{z}$ равны произведениям $I_{x} \omega_{x}, I_{y} \omega_{y}, I_{z} \omega_{z}$, получим
\[
I_{1} \dot{\omega}_{x}-\omega_{y} \omega_{z}\left(I_{2}-I_{3}\right)=N_{x},
\]

что совпадает с первым из уравнений (5.34). Остальные уравнения получаются отсюда посредством циклической перестановки индексов.