В качестве примера применения такой процедуры рассмотрим задачу о продольных колебаниях бесконечно длинного упругого стержня. Дискретная система, аппроксимирующая этот стержень, состоит из бесконечного числа точек равной массы, отстоящих друг от друга на расстоянии $a$ и связанных между собой невесомыми пружинами с жесткостью $k$ (рис. 71). Мы будем предполагать, что эти точки могут двигаться только вдоль прямой, на которой они лежат. Эту дискретную систему можно рассматривать как обобщение линейной трехатомной молекулы, исследованной в предыдущей главе. Поэтому мы можем воспользоваться обычным методом изучения малых колебаний. Обозначая отклонение $i$-й точки от положения равновесия через $\eta_{i}$, получаем выражение для кинетической энергии
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i} m \dot{\eta}_{i}^{2}
\]

где $m$-масса каждой точки. Аналогично, потенциальная энергия этой системы будет равна сумме потенциальных энергий отдельных пружин. Поэтому
\[
V=\frac{1}{2} \sum_{i} k\left(\eta_{i+1}-\eta_{i}\right)^{2}
\]
(см. § 10.4). Убедиться в том, что формула (11.2) выражает потенциальную энергию этой системы, можно и непосредственно, вычисляя силу, действующую на $i$-ю точку, и сравнивая ее с силой, полученной из выражения (11.2). Сила,
Рис. 71. Дискретная система точек равной массы, связанных пружинами. Эта система имитнрует непрерывный упругий стержень.

действующая на $i$-ю точку со стороны правой пружины, равна $k\left(\eta_{i+1}-\eta_{i}\right)$, а сила со стороны левой пружины равна $-k\left(\eta_{i}-\eta_{i-1}\right)$. Поэтому $F_{i}$ равно
\[
F_{l}=k\left(\eta_{l+1}-\eta_{l}\right)-k\left(\eta_{i}-\eta_{l-1}\right),
\]

что совпадает с производной – $\frac{\partial V}{\partial \eta_{i}}$, получаемой из формулы (11.2).

Из выражений (11.1) и (11.2) следует, что лагранжиан данной системы равен
\[
L=T-V=\frac{1}{2} \sum_{i}\left[m \dot{\eta}_{i}^{2}-k\left(\eta_{l+1}-\eta_{i}\right)^{2}\right],
\]

что можно записать также в виде
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{i} a\left[\frac{m}{a} \dot{\eta}_{i}^{2}-k a\left(\frac{\eta_{l+1}-\eta_{i}}{a}\right)^{2}\right]=\frac{1}{2} \sum_{i} a L_{i} .
\]

Следовательно, уравнение Лагранжа для $i$-й координаты будет иметь вид
\[
\frac{m}{a} \ddot{\eta}_{i}-k a\left(\frac{\eta_{i+1}-\eta_{t}}{a^{2}}\right)+k a\left(\frac{\eta_{t}-\eta_{i-1}}{a^{2}}\right)=0 .
\]

Та специальная форма, в которой записаны выражения (11.4) и (11.5), выбрана нами для удобства предельного перехода к случаю непрерывного стержня, т. е. к случаю, когда
$a=0$. Рассмотрим сначала отношение $m / a$. Ясно, что при $a \rightarrow 0$ оно стремится к линейной плотности $\mu$, т. е. к массе единицы длины стержня. Что касается величины $k a$, то ее предельное значение не столь очевидно. Так как упругий стержень подчиняется закону Гука, то его относительное удлинение прямо пропорционально растягивающей силе, и поэтому можно написать:
\[
F=Y \xi
\]

где $\xi$-относительное удлинение, т. е. увеличение единицы длины стержня, а $Y$ – модуль Юнга. Но относительное удлинение отрезка $a$ равно
\[
\xi=\left(\eta_{i+1}-\eta_{i}\right) / a,
\]

а необходимая для этого сила равна
\[
F=k\left(\eta_{i+1}-\eta_{l}\right)=k a\left(\frac{\eta_{i+1}-\eta_{i}}{a}\right) .
\]

Следовательно, произведение $k a$ должно соответствовать модулю Юнга непрерывного стержня. Далее ясно, что индекс $i$, характеризующий номер материальной точки, должен при переходе к непрерывному стержню превратиться в непрерывную координату $x$. Поэтому вместо переменной $\cdot \eta_{i}$ будем теперь иметь переменную $\eta(x)$, а фигурирующая в $L_{i}$ величина
\[
\frac{\eta_{i+1}-\eta_{i}}{a}=\frac{\eta(x+a)-\eta(x)}{a}
\]

перейдет, очевидно, в
\[
\frac{d \eta}{d x}
\]

так как мы стремим $a$ к нулю. Что касается самой величины $a$, то ее нужно заменить теперь на $d x$, а суммирование по $i$ заменить интегралом по $x$. Тогда лагранжиан (11.4) примет вид
\[
L=\frac{1}{2} \int\left[\mu \dot{\eta}^{2}-Y\left(\frac{d \eta}{d x}\right)^{2}\right] d x .
\]

Перейдем теперь к уравнениям движения. Когда а стремится к нулю, два последних члена в уравнении (11.5) принимают вид
\[
\lim _{a \rightarrow 0}-\frac{Y}{a}\left\{\left(\frac{d \eta}{d x}\right)_{x}-\left(\frac{d \eta}{d x}\right)_{x-a}\right\},
\]

что, очевидно, равно – $Y \frac{d^{2} \eta}{d x^{2}}$. Следовательно, колебания непрерывного упругого стержня будут описываться уравнением
\[
\mu \frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}-Y \frac{d^{2} \eta}{d x^{2}}=0
\]

Этот простой пример хорошо иллюстрирует метод перехода от дискретной системы к непрерывной. Особенно важно правильно понять здесь роль координаты $x$, которая не является обобщенной координатой, а представляет «непрерывный номер» частицы, аналогичный «дискретному номеру» $i$. В дискретной системе каждому значению $i$ соответствует определенная обобщенная координата $\eta_{i}$. Здесь же каждому значению $x$ соответствует обобщенная координата $\eta(x)$. Но так как $\eta$ зависит также и от $t$, то лучше писать не $\eta(x)$, а $\eta(x, t)$, указывая тем самым, что $x$ и $t$ можно рассматривать как параметры лагранжиана.

Если бы непрерывная система была не одномерной, как в рассмотренном примере, а трехмерной, то каждая ее точка характеризовалась бы тремя непрерывными индексами $x, y, z$, и следовало бы писать не $\eta(x, t)$, а $\eta(x, y, z, t)$. Лагранжиан ее выражался бы тогда не интегралом по $x$, а трехкратным интегралом вида
\[
L=\iiint \mathcal{2} d x d y d z,
\]

где $\mathfrak{L}$-лагранжиан единицы объема или удельный лагранжиан. Для рассмотренного выше непрерывного стержня он равен
\[
\mathcal{R}=\frac{1}{2}\left\{\mu\left(\frac{\partial \eta}{\partial t}\right)^{2}-Y\left(\frac{\partial \eta}{\partial x}\right)^{2}\right\}
\]

и получается из величины $L_{i}$ в уравнении (11.4) при $a \rightarrow 0$. В дальнейшем мы увидим, что, составляя уравнения движения системы, нам придется пользоваться не лагранжианом, а удельным лагранжианом.