Мы будем рассматривать только такие системы, гамильтониан которых является полной энергией. Тогда между функциями $S$ и $W$ будет иметь место соотношение
\[
S(q, P, t)=W(q, P)-E t .
\]

Так как характеристическая функция $W$ не зависит от $t$, то поверхности $W=$ const в пространстве конфигураций занимают фиксированные положения. Что касается поверхностей $S=$ const, то в любой момент $t$ каждая такая поверхность совпадает с некоторой поверхностью $W=$ const. Однако значение $W$, соответствующее заданному значению $S$, будет изменяться со временем в соответствии с равенством (9.78). Рассмотрим, например, поверхности $S=a$ и $S=b$. В момент $t=0$ они будут совпадать с поверхностями $W=a$ и $W=b$ (рис. 66). Однако спустя некоторое время $d t$ поверхность $S=a$ будет совпадать с поверхностью $W=a+E d t$, а поверхность $S=b-$ п поверхностью $W=b+E d t$. Следовательно, за время $d t$ поверхность $S=a$ переходит из положения $W=a$ в положение $W=a+E d t$. Taким образом, движение поверхности $S=a$ подобно распространению фронта некоторой волны, например, волны давления. Это позволяет рассматривать ее как фронт волны, распространяющейся в пространстве конфигураций.

В общем случае каждая поверхность $S=$ const изменяет свою форму при возрастании $t$. Следовательно, скорость волны, т.е. скорость, с которой движется такая поверхность, будет в разных ее точках различной. Вычислим эту скорость в простейшем случае, когда рассматриваемая система состоит всего из одной точки.

В качестве обобщенных координат этой точки мы возьмем ее декартовы координаты, и тогда пространство конфигураций будет тем трехмерным пространством, в котором движется точка. Скорость волны в некоторой точке поверхности $S=$ const равна
\[
u=\frac{d s}{d t},
\]

где $d s$ – расстояние, которое волна проходит за время $d t$ в направлении, перпендикулярном к $S$. Но за время $d t$ фронт волны переходит от поверхности $W$ к поверхности $W+d W$, где $d W=$ $=E d t$. Кроме того, $d W$ связано с $d s$ соотношением
\[
d W=|
abla W| d s .
\]

Поэтому
\[
u=\frac{d s}{d t}=\frac{E}{|
abla W|} .
\]

Для вычисления $|
abla W|$ следует обратиться к уравнению Гамильтона – Якоби, согласно которому
\[
\frac{1}{2 m}\left[\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial z}\right)^{2}\right]+V=E,
\]

или
\[
(
abla W)^{2}=2 m(E-V) .
\]

Следовательно, скорость волны равна
\[
u=\frac{E}{\sqrt{2 m(E-V)}},
\]

и так как разность $E-V$ равна кинетической энергии $T$, то формулу (9.84) можно записать в виде
\[
u=\frac{E}{\sqrt{2 m T}} .
\]

Учитывая теперь, что рассматриваемая система состоит из одной точки, будем иметь:

и поэтому
\[
2 m T=m^{2} v^{2}=p^{2},
\]
\[
u=\frac{E}{p}=\frac{E}{m v} .
\]

Равенство (9.85′) показывает, что скорость поверхности $S=$ const обратно пропорциональна скорости точки, движение которой описывается с помощью $S$. Кроме того, легко показать, что траектория этой точки обязательно должна быть нормальной к поверхностям $S=$ const. Это следует из того, что направление траектории определяется направлением вектора $\boldsymbol{p}=m \boldsymbol{v}$. Но согласно (9.21)
\[
\boldsymbol{p}=
abla W,
\]

а вектор $
abla W$ перпендикулярен к поверхности $W=$ const, т. е. к поверхности $S=$ const. Таким образом, семейство поверхностей $W=$ const определяет систему траекторий возможного движения, так как они нормальны к поверхностям этого семейства. Когда точка движется вдоль одной из возможных траекторий, поверхности $\mathcal{S}$ тоже движутся, но эти движения оказываются не «синхронными», так как при увеличении скорости $v$ скорость $u$ уменьшается и наоборот.

Проведенные рассуждения относились к системе, состоящей из одной точки. Однако бо́льшая часть полученных нами результатов будет иметь место и для системы, состоящей из многих точек, но метрику пространства конфигураций нужно будет определять тогда формулой
\[
d \rho^{2}=2 T d t^{2},
\]

где $d \rho$ – элемент длины [см. уравнение (7.42)]. Вместо истинной траектории точки мы будем рассматривать траекторию изображающей точки в пространстве конфигураций, а скорость поверхности $S$ будет определяться равенством *)
\[
u=\frac{E}{\sqrt{2(E-V)}}=\frac{E}{\sqrt{2 T}},
\]

подобным равенству (9.84). Следует напомнить, что скорость изображающей точки пропорциональна $\sqrt{T}$ (см. § 7.5). По-
*) Движение поверхностей $S$ в пространстве конфигураций рассмотрено в книге L. Brillouin, Les Tenseurs en Mécanique et en Elasticité, rл. VIII.

этому между скоростью волны и скоростью изображающей точки здесь будет иметь место соотношение, подобное ранее полученному, а возможные траектории изображающей точки будут, по-прежнему, нормальны к поверхностям $S=$ const. Следовательно, переход к системам из многих точек не приносит каких-либо новых физических результатов, и для упрощения математической стороны вопроса мы и в дальнейшем будем рассматривать движение одной точки.

Поверхности $S=$ const мы рассматривали как последовательные состояния фронта волны и, исходя из этого представления, говорили о скорости ее распространения. Однако мы совершенно не рассматривали вопроса о природе этих волн и поэтому ничего не можем сказать о таких важных понятиях, как частота или длина волны. Чтобы пролить свет на эти вопросы, мы начнем с рассмотрения хорошо известного волнового процесса, а именно движения световых волн.

Уравнение, описывающее распространение световой волны, имеет вид
\[

abla^{2} \varphi-\frac{n^{2}}{c^{2}} \frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}=0,
\]

где $\varphi$-скалярная величина, такая, например, как скалярный электромагнитный потенциал. Величина $c$ означает здесь скорость света в пустоте, а $n$ – коэффициент преломления, равный отношению $c$ к скорости света в данной среде. В общем случае коэффициент $n$ является некоторой функцией $x, y, z$. Если $n$ постоянно, то одним из решений уравнения (9.87) является функция
\[
\varphi=\varphi_{0} e^{l(k \cdot r-\omega t)},
\]

описывающая распространение плоской волны. Волновое число $k$ и частота $\omega$ связаны при этом соотношением
\[
k=\frac{2 \pi}{\lambda}=\frac{n \omega}{c} .
\]

Направляя для простоты $\boldsymbol{k}$ вдоль оси $\boldsymbol{z}$, будем иметь:
\[
\varphi=\varphi_{0} e^{i k,(n z-c t)},
\]

где $k_{0}$ – волновое число в пустоте.
Пусть теперь $n$ будет изменяться с изменением $x, y, z$. Тогда плоская волна (9.90) уже не будет удовлетворять уравнению (9.87), так как коэффициент преломления будет неодинаковым, что приведет к искажению формы этой волны. Мы, однако, будем считать, что $n$ не сильно изменяется от точки к точке, и решение уравнения (9.87) будем искать в виде
\[
\varphi=e^{A(r)+i k_{0}[L(r)-c t]} \text {, }
\]

подобном (9.90). Величины $A$ и $L$ являются здесь вещественными функциями $r$, подлежащими определению. Первая из них характеризует амплитуду волны. Если бы $n$ было постоянно, то $L$ равнялось бы $n z$ и называлось бы оптической длиной траектории или фазой волны. Часто ее называют еще эйконалом.
Вычисляя теперь $
abla \varphi$ и $
abla^{2} \varphi$, будем иметь:

и
\[

abla \varphi=\varphi
abla\left(A+i k_{0} L\right)
\]

или
\[

abla^{2} \varphi=\varphi\left[
abla^{2}\left(A+i k_{0} L\right)+\left\{
abla\left(A+i k_{0} L\right)\right\}^{2}\right]
\]
\[

abla^{2} \varphi=\varphi\left[
abla^{2} A+i k_{0}
abla^{2} L+(
abla A)^{2}-k_{0}^{2}(
abla L)^{2}+2 i k_{0}
abla A \cdot
abla L\right],
\]

и волновое уравнение примет вид
\[
i k_{0}\left[2
abla A \cdot
abla L+
abla^{2} L\right] \varphi+\left[
abla^{2} A+(
abla A)^{2}-k_{0}^{2}(
abla L)^{2}+n^{2} k_{0}^{2}\right] \varphi=0 .
\]

Но так как $A$ и $L$ являются вещественными, то для выполнения этого равенства необходимо, чтобы каждая из квадратных скобок была равна нулю. Таким образом, мы приходим к двум слецующим уравнениям:
\[
\begin{aligned}

abla^{2} A+(
abla A)^{2}+k_{0}^{2}\left[n^{2}-(
abla L)^{2}\right] & =0, \\

abla^{2} L+2
abla A \cdot
abla L & =0 .
\end{aligned}
\]

Так как мы не делали еще никаких приближений, то эти уравнения являются точными. Теперь мы сделаем предположение, что коэффициент $n$ столь медленно изменяется с расстоянием, что на расстояниях порядка длины волны этим изменением можно пренебречь. Иначе говоря, это означает, что длина волны мала по сравнению с величиной расстояния, на котором проявляется неоднородность среды. Как известно, это предположение составляет основу геометрической оптики. Если принять указанное предположение, то член, содержащий $k_{0}^{2}=4 \pi^{2} / \lambda_{0}^{2}$ будет доминирующим членом уравнения (9.93a), и это уравнение примет следующий простой вид:
\[
(
abla L)^{2}=n^{2} .
\]

Полученное нами уравнение известно в геометрической оптике как уравнение эйконала. Определяемые им поверхности $L=$ = const являются поверхностями постоянной фазы и, следовательно, определяют фронт волны. Все световые лучи будут перпендикулярны к этим поверхностям и, следовательно, тоже будут определяться уравнением (9.94).

Дальше нам нет необходимости углубляться в подробности геометрической оптики, так как мы видим, что уравнение (9.94)

подобно уравнению (9.83), являющемуся уравнением Гамильтона – Якоби для характеристической функции $W$. Таким образом, мы имеем аналогию, в которой $W$ играет роль эйконала $L$, а $[2 m(E-V)]^{1 / 2}$ – коэффициента преломления n. Поэтому классическую механику можно рассматривать как аналог геометрической оптики, в котором роль поверхностей движущейся волны и ортогональных к ним световых лучей играют поверхности $S=$ const и ортогональные к ним траектории движения. Отсюда ясно, почему волновая теория Гюйгенса и корпускулярная теория Ньютона одинаково хорошо объясняли явления отражения и преломления: в рамках геометрической оптики между этими теориями имеется формальная аналогия.

Мы уже отмечали, что принцип наименьшего действия имеет сходство с принципом Ферма в геометрической оптике. Теперь это сходство становится понятным. Согласно (7.40) принцип наименьшего действия можно записать в виде
\[
\Delta \int \sqrt{2 m T} d s=0,
\]

а мы знаем, что корень $\sqrt{2 m T}$ пропорционален коэффициенту преломления или обратно пропорционален скорости волны в соответствующем волновом движении. Следовательно, аналог принципа наименьшего действия должен иметь вид
\[
\Delta \int n d s=\Delta \int \frac{d s}{u}=0,
\]

что представляет два хорошо известных варианта принципа Ферма для пути светового луча.

Мы еще не нашли тех величин, которые играют в классической механике роль частоты и длины волн. Единственное, что мы пока установили, это то, что искомая длина волны должна быть значительно меньше того расстояния, на котором становится заметной неоднородность силового поля, Дальше этого мы, естественно, не могли идти, так как, будучи аналогом геометрической оптики, классическая механика является той областью, в которой не встречаются эффекты, зависящие от длины волны (интерференция, дифракция и т. п.). Поэтому, хотя двойственность «частица – волна» имеет место и в классической механике, однако волновой концепции здесь не представляется случая обнаружить свое преимущество перед корпускулярной.

Тем не менее, можно попытаться написать волновое уравнение, для которого уравнение Гамильтона – Якоби является своего рода пределом при $\lambda \rightarrow 0$. Сходство между уравнениями (9.94) и (9.83) не означает, конечно, что величине $L$ должно соответствовать именно $W$, так как оно может соответствовать величине, пропорциональной $L$. Мы увидим, что коэффициент пропорциональности является здесь мерой длины волны. Из соответствия между $L$ и $W$ следует, что $S=W-E t$ должно быть пропорционально фазе колебания
\[
k_{0}(L-c t)=2 \pi\left(\frac{L}{\lambda_{0}}-v t\right)
\]
[см. равенство (9.91)]. Следовательно, энергия $E$ и частота $v$ должны быть пропорциональны, и поэтому можно написать
\[
E=h v .
\]

Но длина волны связана с частотой соотношением
\[
\lambda v=u,
\]

откуда с учетом (9.85′) получаем
\[
\lambda=\frac{u}{v}=\frac{E}{p}: \frac{E}{h},
\]
т. е.
\[
\lambda=\frac{h}{p} .
\]

Уравнение (9.87) можно записать в виде
\[

abla^{2} \varphi-\frac{1}{u^{2}} \frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}=0,
\]

где $u$-скорость световой волны в среде с показателем преломления $n$. Если заменить здесь $\varphi$ на $\varphi e^{-i \omega t}$, то это уравнение примет вид
\[

abla^{2} \varphi+\frac{4 \pi^{2}}{\lambda^{2}} \varphi=0,
\]

что представляет собой волновое уравнение, не содержащее времени. Величина $\varphi$ является здесь амплитудой колебания, и в волновой механике ей должна соответствовать некоторая величина $\psi$, удовлетворяющая уравнению такого же типа, как уравнение (9.98). Но $\lambda$ равно теперь $h / p$, где $p=\sqrt{2 m(E-V)}$. Следовательно, волновое уравнение, для которого $W$ является эйконалом, должно иметь вид
\[

abla^{2} \psi+\frac{8 \pi^{2} m}{h^{2}}(E-V) \psi=0 .
\]

Равенство (9.99) выражает известное уравнение волновой механики – уравнение Шредингера.

Из формулы (9.97) видно, что длина волны прямо пропорциональна коэффициенту $h$. Поэтому, чем меньше $h$, тем меньше длина волны и тем теснее связь с геометрической оптикой.

Эквивалентность уравнений Гамильтона – Якоби и эйконала была установлена Гамильтоном в 1834 г., а соответствующее волновое уравнение было получено де Бройлем и Шредингером
в 1926 г. Иногда высказывают мнение, что если бы Гамильтон пошел немного дальше, то он получил бы уравнение Шредингера. Это, однако, не так, ибо для такой экстраполяции он нуждался в достаточном экспериментальном материале. В то время, когда жил Гамильтон, классическая механика считалась абсолютно верной, и не было оснований для экспериментальной проверки ее с целью уточнения и создания более общей теории. Другими словами, Гамильтон не имел основания считать, что $h$ отлично от нуля. Тот факт, что классическая механика является лишь приближением волновой механики и что это приближение представляет своего рода «геометрическую оптику», стал ясен значительно позже, когда были обнаружены эффекты, зависящие от длины волны частицы [например, в интерференционных опытах Дэвиссона (Davisson) и Гермера (Germer)]. Только после этого можно было приписать определенный физический смысл величине $h$, являющейся известной постоянной Планка *).

Теперь мы видим, что классическая механика содержит в себе зерна квантовой механики и что уравнение Гамильтона Якоби особенно удобно для перехода от первой из них ко второй. Дальнейшее углубление в эти вопросы вывело бы нас за рамки данной книги, которую с достаточным основанием можно назвать «Геометрической оптикой волновой механики».

ЗА д А ч и

1. Уравнение (9.3), определяющее функцию $S$, было получено нами с помощью канонического преобразования, осуществляющего переход от канонических координат $(q, p)$ к постоянным $(\alpha, \beta)$. Покажите, что верно и обратное, т. е. если $S\left(q_{i}, \alpha_{i}, t\right)$ есть любой полный интеграл уравнения (9.3), то определяемые равенствами (9.6) и (9.7) переменные ( $q_{i}, p_{i}$ ) будут каноническими и, следовательно, будут удовлетворять уравнениям Гамильтона.
2. Решите задалу о движении материальной точки в однородном гравитационном поле, пользуясь методом Гамильтона – Якоби. Найдите также уравнение ее траектории.
3. Рассмотрите задачу о тяжелом симметричном волчке с одной неподвижной точкой, пользуясь методом Гамильтона – Якоби. Получите для нее формальное решение (5.56).
4. Найдите собственные частоты гармонического осциллятора с тремя степенями свободы, пользуясь переменными действие – угол и считая, что коэффициенты сил, действующих вдоль каждой из осей, являются различными.
5. (a) Покажите, что при малой амплитуде колебаний энергия простого маятника равна
\[
E=J v .
\]
(b) Рассмотрите маятник, состоящий из тяжелой точки, подвешенной на нити, проходящей через отверстие. Предположим, что нить втягивается через отверстие, вследствие чего длина маятника уменьшается, при-
*) Аналогичное положение имело место и в волновой теории света. Пока не были обнаружены явления интерференции и дифракции, волновая теория Гюйгенса не имела преимуществ по сравнению с корпускулярной теорией Ньютона.

чем это происходит настолько медленно, что в каждый момент времени еще можно говорить об определенном периоде колебания. Вычислите работу, которая затрачивается при этом на преодоление натяжения пути, и найдите таким путем изменение энергии маятника. Покажите, что переменная $J=E / v$ будет при этом оставаться постоянной.

Изменение внешних параметров системы со скоростью, малой по сравнению с собственной частотой, называют адиабатическим изменением. Поэтому переменная $J$ в этом маятнике будет адиабатическим инвариантом. Вообще, можно доказать, что если система не вырождается, то переменные $J_{i}$ являются адиабатическими инвариантами, т. е. не изменяются под действием медленного изменения внешних условий. Заметим, что в квантовых процессах каждое состояние системы также является адиабатическим инвариантом, так как медленное изменение внешних параметров не приводит к переходу из одного состояния в другое. Это дает еще одно указание на целесообразность пользования переменными $J_{i}$ при описании квантования системы.
6. (a) Пусть гармонический осциллятор задачи 4 будет полностью вырождающимся, т. е. все его частоты будут одинаковыми (изотропный осциллятор). Получите для него «истинные» переменные и выразите его энергию только через одну переменную $J$.
(b) Решите задачу об изотропном осцилляторе, пользуясь переменными действие – угол ( $J, w$ ) и применяя сферические координаты. Получите «истинные» переменные ( $J, w$ ) и сравните полученный результат с результатом задачи (а). Будут ли эти две системы переменных одинаковыми? Каков их физический смысл? (Эта задача показывает, что в случае вырождающегося движения разделение переменных возможно более чем в одной системе обобщенных координат. В случае невырождающегося осциллятора разделение переменных можно произвести в декартовых координатах и нельзя произвести в полярных.)
7. В случае вырождающегося плоского движения гармонического осциллятора разделение переменных возможно в любой декартовой системе координат. Получите соотношения между переменными действие – угол, соответствующими двум декартовым системам координат, образующим друг с другом угол $\theta$. (Заметим, что рассматриваемое преобразование переменных ( $J, w$ ) не является ортогональным.)
8. Вычислите элементарными методами интеграл (9.68) из задачи Кеплера.
9. Интегрируя каждое из уравнений Гамильтона – Якоби в задаче Кеплера, получите $W$ в виде суммы трех интегралов. Из соотношений
\[
w_{i}^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial J_{i}^{\prime}}
\]

получите затем интегральные выражения для трех угловых, переменных. Покажите, что с точностью до аддитивной постоянной углы $\omega_{1}^{\prime}$ и $w_{2}^{\prime}$ имеют смысл азимута линии узлов и угла между линией узлов и радиусом-вектором перигелия. При интерпретировании получающихся интегралов удобно отношение $J_{1}^{\prime} / J_{2}^{\prime}$ заменить на $\cos \alpha$, где $\alpha$ – угол между плоскостью орбиты и полярной осью $z$.
10. Уравнение орбиты в задаче Кеплера можно получить с помощью равенства $(9.29 \mathrm{~b})$, выражая $\alpha_{1}=E$ и $\alpha_{\varphi}=l$ через $J_{2}^{\prime}$ и $J_{3}^{\prime}$. (Обратите внимание на изменение смысла угла $\varphi$.) Выполните необходимое интегрирование и получите уравнение орбиты, а также покажите, что
\[
a=\frac{J_{3}^{\prime 2}}{4 \pi^{2} m k}, \quad \varepsilon=\sqrt{1-\frac{J_{2}^{\prime}}{J_{3}^{\prime}}},
\]

где а – главная полуось орбиты, а $\varepsilon$ – ее эксцентриситет.

11. Рассмотрите релятивистскую задачу Кеплера, пользуясь переменными действие – угол и гамильтонианом (7.20). Покажите, в частности, что полная энергия движущейся точки (включая энергию покоя) определяется равенством
(Заметим, что вырождение здесь частично уменьшается, так как орбита перестает быть замкнутой, хотя остается еще плоской.) Покажите, что при $c \rightarrow \infty$ мы приходим к равенству (9.75).