Мы видели, что уравнения движения Ньютона являются инвариантными относительно преобразования Галилея, но не являются инвариантными относительно преобразований Лоренца. Поэтому их нужно соответствующим образом обобщить и получить закон, удовлетворяющий принципу эквивалентности. Конечно, это обобщение должно быть таким, чтобы при скоростях, малых по сравнению с $c$, новые уравнения переходили в обычные уравнения Ньютона
\[
\frac{d}{d t}\left(m v_{i}\right)=F_{i} .
\]

Пространственные составляющие 4 -вектора образуют некоторый вектор трехмерного пространства, так как преобразование Лоренца с коэффициентами $a_{4 i}=a_{i 4}=0, a_{44}=1$ есть обычный пространственный поворот, влияющий только на пространственные составляющие 4-вектора. Обратное утверждение будет, однако, неверным: составляющие вектора трехмерного пространства не обязательно преобразуются как пространственные составляющие 4 -вектора. Составляющие обычного вектора можно умножить на любую функцию $\beta$, не изменяя характера их преобразования при пространственном повороте. Но при этом существенно меняется характер того преобразования, которому подвергаются эти составляющие при преобразовании Лоренца. Так; например, пространственные составляющие 4-скорости $u_{v}$ образуют вектор $v / \sqrt{1-\beta^{2}}$, однако сам вектор $v$ не является частью 4-вектора, так как для этого его нужно разделить на $\sqrt{1-\beta^{2}}$.

Уравнение (6.29) не является инвариантным относительно преобразований Лоренца. Однако можно ожидать, что его релятивистским обобщением будет такое 4-векторное уравнение, пространственная часть которого сведется к (6.29) при $\beta \rightarrow 0$. Мы сейчас увидим, что 4-векторное обобщение левой части этого уравнения получить нетрудно.. Единственным 4-вектором, пространственная часть которого сводится при $\beta \rightarrow 0$ к $v$, является вектор 4-скорости $u_{v}$. Кроме того, массу $m$ можно считать некоторой инвариантной величиной, характеризующей данную материальную точку, а время $t$ хотя и не является инвариантом Лоренца, однако его можно, очевидно, заменить на собственное время $\tau$, которое стремится к $t$ при $\beta \rightarrow 0$. Поэтому искомое обобщение уравнения Ньютона должно иметь вид
\[
\frac{d}{d \tau}\left(m u_{v}\right)=K_{v},
\]

где $K_{v}$ – некоторый 4 -вектор, известный как сила Минковского.

Не следует думать, что пространственные составляющие 4 -вектора $K_{v}$ можно отождествить с составляющими обычной силы. Единственное, что здесь требуется уравнением (6.29),это то, чтобы при $\beta \rightarrow 0$ составляющие $K_{i}$ стремились к составляющим $F_{i}$. Так, например, $K_{i}$ может равняться произведению $F_{i}$ на некоторую функцию от $\beta$, стремящуюся к единице при $\beta \rightarrow 0$. Точные соотношения здесь, конечно, зависят от характера преобразования Лоренца для составляющих сил. $\mathrm{K}$ решению рассматриваемой задачи можно подойти двумя путями.

Первый из них состоит в следующем. Прежде всего заметим, что все известные силы имеют лишь несколько физических источников: либо они являются гравитационными, либо электромагнитными, либо, возможно, ядерными. Целью правильно построенной теории этих сил является дать для них соответствующие выражения, и если они будут даны в ковариантной форме, то тем самым станут ясными правила преобразования составляющих этих сил. $\mathrm{K}$ сожалению, однако, мы не имеем ковариантно построенных теорий для всех перечисленных сил, а что касается ядерных сил, то здесь мы вообще не имеем какой-либо теории, заслуживающей того, чтобы о ней говорить. И лишь только классическая теория электромагнетизма, можно надеяться, даст нам ковариантные выражения для сил, так как преобразования Лоренца были построены как раз так, чтобы сохранялась инвариантность электромагнитных процессов. Но этого для нас достаточно, так как правила преобразования должны быть, конечно, одинаковыми для сил любой природы. Если́ все силы преобразовываются по одному правилу, то утверждение «точка находится в равновесии под действием двух сил» должно быть справедливым во всех лоренцовых системах.

В § 1.5 мы видели, что электромагнитная сила, действующая на частицу, равна
\[
F_{i}=-q\left[\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\varphi-\frac{1}{c} v \cdot A\right)+\frac{1}{c} \frac{d A_{i}}{d t}\right],
\]

где $\varphi$ и $\boldsymbol{A}$-скалярный и векторный электромагнитные потенциалы. Можно показать, что инвариантность скорости света требует, чтобы вектор $\boldsymbol{A}$ и скаляр $і \varphi$ преобразовывались как пространственная и временна́я части некоторого 4-вектора, который мы будем обозначать через $A_{\mu}$. В соответствии с этим выражение $\varphi-\frac{1}{c} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{A}$ может быть записано в ковариантной форме
\[
\varphi-\frac{1}{c} v \cdot \boldsymbol{A}=-\frac{1}{c} \sqrt{1-\beta^{2}} u_{v} A_{v},
\]
8 Г. Голдстейн

и тогда будем иметь
\[
F_{i}=-\frac{q}{c} \sqrt{1-\beta^{2}}\left[-\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(u_{v} A_{v}\right)+\frac{d A_{i}}{d \tau}\right] .
\]

Выражение, стоящее в квадратных скобках, преобразовывается как пространственная часть 4-вектора. Поэтому $F_{i}$ равно произведению $\sqrt{1-\beta^{2}}$ на пространственную часть 4-вектора, который следует отождествить с силой Минковского $K_{\mu}$. Следовательно, связь между обычной силой и силой Минковского должна выражаться равенством
\[
F_{i}=K_{i} \sqrt{1-\beta^{2}}
\]

которое следует считать справедливым для сил любой природы.
Из изложенного следует также, что на заряженную частицу действует сила Минковского, равная
\[
K_{\mu}=\frac{q}{c}\left[\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\left(u_{v} A_{v}\right)-\frac{d A_{\mu}}{d \tau}\right] .
\]

Рассмотрим теперь другой вывод уравнения движения. На этот раз мы не будем пользоваться физической теорией, выходящей за рамки механики, а просто определим силу как скорость изменения количества движения в лоренцовой системе. Тогда будем иметь
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=F_{i} .
\]

Однако фигурирующее здесь количество движения нельзя считать равным $m v_{i}$, а нужно рассматривать как некоторое релятивистское обобщение этого понятия, сводящееся к $m v_{i}$ іри $\beta \rightarrow 0$. Льюис и Толмэн*) получили выражение для релятивистского количества движения, не обращаясь к равенству (6.30). Они исходили из того, что следствием равенства (6.35) является сохранение количества движения при отсутствии внешних сил. Поэтому они рассматривали упругий удар двух частиц и нашли такую форму для $p_{i}$, при которой имеет место такое сохранение.

Если уравнение движения записывать в форме (6.30), то силу $K_{i}$ и релятивистское количество движения $p_{i}$ можно будет получить, представляя (6.30) в форме, схожей с (6.35). Из определения 4-скорости и из соотношения между $\tau$ и $t$ следует, что пространственную часть уравнения (6.30) можно записать в виде
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{m v_{i}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right)=K_{i} \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]
*) См. ранее цитированную книгу Бергмана, стр. 215.

Сравнивая теперь это равенство с равенством (6.35), мы видим, что для того, чтобы была справєдливой теорема о количестве движения, достаточно положить
\[
p_{i}=\frac{m v_{i}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}
\]

и связать $F_{i}$ и $K_{i}$ соотношением (6.34). Заметим, что при $\beta \rightarrow 0$ правая часть равенства (6.36) переходит в $m v_{i}$.

Таким образом, исходя из различных соображений, мы пришли к одному и тому же результату.

До сих пор мы рассматривали только пространственную часть уравнения движения и ничего не говорили о физическом смысле четвертой составляющей силы Минковского. Ее можно получить, умножая (6.30) скалярно на 4-скорость. Проделав это, будем иметь
\[
u_{v} \frac{d}{d \tau}\left(m u_{v}\right)=\frac{d}{d \tau}\left(\frac{m}{2} u_{v} u_{v}\right)=K_{v} u_{v} .
\]

Но так как квадрат вектора $u_{v}$ есть величина постоянная, равная $-c^{2}$ [см. уравнение (6.25)], а $m$ также постоянно, то будем иметь
\[
K_{v} u_{v} \equiv \frac{\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v}}{1-\beta^{2}}+\frac{i c K_{4}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=0 .
\]

Следовательно, четвертая составляющая силы Минковского будет равна
\[
\dot{K}_{4}=\frac{i}{c} \frac{\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v}}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\]

а четвертое уравнение (6.30) будет иметь вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v} .
\]

Кинетическую энергию $T$ мы определим таким образом, чтобы $\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v}$ (скорость, с которой действующая на точку сила совершает работу) было равно производной $\frac{d T}{d t}$. Таким образом, будем иметь
\[
\frac{d T}{d t}=\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v} .
\]

Это определение согласуется с тем нерелятивистским определением кинетической энергии, которое дается известной формулой $T=\frac{1}{2} m v^{2}$. Сравнивая теперь равенства (6.40) и (6.39), мы видим, что релятивистскую кинетическую энергию следует считать равной
\[
T=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Когда $\beta^{2}$ мало по сравнению с единицей, формула (6.41) переходит в формулу
\[
T \rightarrow m c^{2}\left(1+\frac{\beta^{2}}{2}\right)=m c^{2}+\frac{m v^{2}}{2} .
\]

не согласующуюся с ожидаемой нерелятивистской формулой $T=\frac{1}{2} m v^{2}$ и отличающуюся от нее дополнительным членом $m c^{2}$. На первый взгляд, однако, может показаться, что этот член не имеет существенного значения, так как, не нарушая равенства (6.40), мы можем добавить к правой части (6.41) любую константу, в частности равную $-m c^{2}$. Но тогда правая часть формулы (6.42) обратится в $\frac{1}{2} m v^{2}$, и мы получим совпадение с нерелятивистским выражением кинетической энергии. Однако $T$ предпочтительнее все же определять согласно формуле (6.41), ибо тогда количество движения $\boldsymbol{p}$ [см. уравнение (6.36)] и $i T /$ будут образовывать 4 -вектор пространства Минковского. Это будет вектор $p_{v}$, определяемый равенством
\[
p_{v}=m u_{v} \text {. }
\]

Отсюда следует, что если количество движения $p_{i}$ остается постоянным, то определяемая формулой (6.41) энергия $T$ также будет постоянной. В противном случае можно было бы перейти к другой системе, и тогда по формулам преобразования Лоренца мы получили бы новые составляющие $p_{i}^{\prime}$, выражающиеся через $p_{i}$ и $T$, откуда следует, что количество движения уже не было бы постоянным. Таким образом, законы о сохранении количества движения и кинетической энергии более уже не разделяются; в специальной теории относительности они образуют один закон – закон о постоянстве 4-вектора $p_{v}$.

Таким образом, член $m c^{2}$, известный под названием энергии покоя, приобретает важное физическое значение. В нерелятивистской формулировке законов сохранения, данной в главе 1, сохранение количества движения могло иметь место без сохранения кинетической энергии. Однако релятивистская кинетическая энергия (6.41) должна при этом все же сохраняться, что может быть только в том случае, когда изменяется энергия покоя, т. е. масса покоя. Связь между изменением массы покоя и вызванным им изменением энергии дается следующей известной формулой Эйнщтейна:
\[
\Delta E=(\Delta m) c^{2} .
\]

В литературе приводится много примеров сохранения релятивистской суммы $\frac{1}{2} m v^{2}+m c^{2}$. Одной из известных иллюстраций такого рода является пример с неупругим ударом двух тел, движущихся с нерелятивистскими скоростями. Здесь количество движения сохраняется, а кинетическая энергия $\sum \frac{1}{2} m v^{2}$ не сохраняется, и обычно говорят, что энергия, петерянная при этом ударе, превращается в тепло. Однако релягивистская кинетическая энергия должна в этом случае сохраняться, что может иметь место лишь при увеличении массы покоя этой системы, пропорциональном количеству выделяющегося тепла. Практически это увеличение будет, конечно, очень мало, так как один джоуль энергии соответствует массе в $1,1 \times 10^{-14} 2$.

Современная физика дает нам целый ряд примеров значительно большего изменения массы. Одним из них является случай, когда две частицы конечной массы образуются из энергии фотона, масса которого равна нулю. Наиболее ярким примером перехода массы в энергию*) является взрыв атомной бомбы. Количество движения при таком взрыве сохраняется, но кинетическая энергия движения значительно увеличивается. Полная энергия $T$ остается при этом постоянной, так как при взрыве уменьшается масса покоя заряда бомбы. Следует, однако, заметить, что, несмотря на фантастическое количество выделяющейся при этом энергии, потеря массы этой бомбы не превышает $0,1 \%$ от ее первоначальной массы.

Между энергией $T$ и количеством движения $p$ имеется простая связь. Так как величина 4 -вектора количества движения является постоянной, то
\[
p_{\mu} p_{\mu}=-m^{2} c^{2}=p^{2}-\frac{T^{2}}{c^{2}},
\]

откуда
\[
T^{2}=p^{2} c^{2}+m^{2} c^{4} .
\]

Формула (6.44) является релятивистским аналогом классической формулы $T=p^{2} / 2 m$ (если не считать того, что $T$ здесь содержит и энергию покоя).

Массу $m$ мы рассматривали как некоторую скалярную характеристику материальной точки, не изменяющуюся при преобразованиях Лоренца. Это – так называемая масса покоя. Однако иногда вводится и другая масса, которую мы будем называть релятивистской и обозначать через $m_{r}$. Под этой массой
*) Утверждение, что масса переходит в энергию, не следует, конечно, понимать как исчезновение материи. При всех фнзических процессах выполняются и закон сохранения массы, и закон сохранения энергии. (Прим. перев.)

понимается величина
\[
m_{r}=\frac{m}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Единственная цель, с которой вводится эта масса, состоит в том, чтобы сделать возможной запись количества движения в форме
\[
\boldsymbol{p}=m_{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{v}
\]

подобной форме, в которой записывается количество движения в нерелятивистской механике. В отличие от массы покоя релятивисıская масса $m_{r}$ зависит от скорости и при $\beta \rightarrow 1$ становится бесконечно большой.

В литературе можно встретить и другие «массы», вводимые обычно в связи с релятивистским уравнением движения
\[
F_{i}=\frac{d}{d t} \frac{m v_{i}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Согласно этому уравнению сила не определяется ускорением: точки, и даже направления этих векторов будут в общем случае: различными. Однако в случае, когда векторы ускорения и скорости параллельны или перпендикулярны друг к другу, сила $\boldsymbol{F}$ будет параллельна ускорению (см. задачи в конце этой главы). Коэффициенты пропорциональности будут в этих специальных случаях иметь следующий вид:

и
\[
\left.\begin{array}{l}
m_{l}=\frac{m}{\left(1-\beta^{2}\right)^{8 / 2}} \\
m_{t}=\frac{m}{\left(1-\beta^{2}\right)^{1 / 2}} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Они известны как продольная и поперечная массы. Следует, однако, заметить, что «массы» $m_{r}, m_{l}$ и $m_{t}$ употребляются в последнее время все реже и реже, так как они делают менее ясным ковариантный характер законов механики и скорее затемняют, нежели раскрывают физическую сущность этого понятия.