В случае простого гармонического колебания мы смогли найти полный интеграл уравнения Гамильтона – Якоби. В основном это удалось сделать потому, что $S$ можно было разбить на две части, одна из которых содержала только $q$, а другая – только $t$. Мы сейчас увидим, что если старый гамильтониан не содержит явно $t$, то такое разделение всегда возможно.

Если $H$ не является явной функцией $t$, то уравнение Гамильтона – Якоби принимает вид
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(q_{i}, \frac{\partial S}{\partial q_{i}}\right)=0 .
\]

Первый член 乞того равенства содержит производную $S$ по $t$, а второй – производную $S$ по $q$. Поэтому полный интеграл этого уравнения можно искать в виде
\[
S\left(q_{i}, \alpha_{i}, t\right)=W\left(q_{i}, \alpha_{i}\right)-\alpha_{1} t .
\]

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получаем
\[
H\left(q_{i}, \frac{\partial W}{\partial q_{i}}\right)=\alpha_{1},
\]

что представляет собой дифференциальное уравнение, уже не содержащее времени. Таким образом, одна из констант, входящих в $S$, именно $\alpha_{1}$, равна постоянному значению гамильтониана $H$. ( $H$ обычно является энергией, однако следует помнить, что это не всегда так; см. задачу 4 гл. 7.)

Функция $W$, не зависящая от времени, введена нами просто как часть производящей функции $S$ в случае, когда $H$ не содержит явно $t$. Мы сейчас увидим, что ее можно рассматривать как производящую функцию некоторого канонического преобразования, свойства которого отличны от свойств преобразования, осуществляемого функцией $S$. Рассмотрим каноническое преобразование, при котором новые импульсы являются константами движения $\alpha_{i}$, причем $\alpha_{1}$ равно $H$. Если производящую функцию этого преобразования обозначить через $W(q, P)$, то уравнения преобразования будут иметь вид:
\[
p_{i}=\frac{\partial W}{\partial q_{i}}, \quad Q_{i}=\frac{\partial W}{\partial P_{i}}=\frac{\partial W}{\partial \alpha_{i}} .
\]

Хотя эти уравнения имеют сходство с уравнениями (9.6) и (9.7), однако для функции $S$ мы имеем теперь условие, которое состоит в том, что $H$ должно равняться новому импульсу $\alpha_{1}$ :
\[
H\left(q_{i}, p_{i}\right)=\alpha_{1} .
\]

Согласно (9.21) это условие приводит к следующему уравнению в частных производных относительно $W$ :
\[
H\left(q_{i}, \frac{\partial W}{\partial q_{i}}\right)=\alpha_{1} .
\]

Қак можно видеть, оно не отличается от уравнения (9.20). Так как $W$ не содержит времени, то новый и старый гамильтонианы равны и, следовательно, $K=\alpha_{1}$.

Функция $W$ известна как характеристическая функция Гамильтона. Мы видим, что она осуществляет каноническое преобразование, в котором все новые координаты являются циклическими. В предыдущей главе мы говорили, что в случае постоянного $H$ такое преобразование, в сущности, целиком решает задачу, так как интегрирование новых уравнений движения становится при этом тривиальным. Канонические уравнения для $\dot{P}_{i}$ фактически снова подтверждают, что импульсы, соответствующие циклическим координатам, являются постоянными:
\[
\dot{P}_{i}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{i}}=0, \quad P_{i}=\alpha_{i} .
\]

Так как новый гамильтониан зависит только от одного из импульсов $\alpha_{i}$, то уравнения движения для $Q_{i}$ примут вид:

откуда
\[
\dot{Q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial \alpha_{i}}=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { при } & i=1 \\
0 & \text { при } & i
eq 1,
\end{array}\right.
\]
\[
\left.\begin{array}{l}
Q_{1}=t+\beta_{1} \equiv \frac{\partial W}{\partial \alpha_{1}}, \\
Q_{i}=\beta_{i} \equiv \frac{\partial W}{\partial \alpha_{i}} \quad(i
eq 1) .
\end{array}\right\}
\]

Единственной координатой, которая отлична от постоянной, является здесь координата $Q_{1}$.

Зависимость функции $W$ от старых координат $q_{i}$ определяется уравнением (9.20), которое является дифференциальным уравнением в частных производных и подобно уравнению Гамильтона – Якоби (9.3). Полный интеграл его опять будет содержать $n$ независимых постоянных, одна из которых опять будет аддитивной. Остальные постоянные $\alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ могут вместе с $\alpha_{1}$ быть приняты за новые постоянные импульсы. Полагая в первой половине уравнений (9.21) $t=0$, мы можем связать $n$ постоянных $\alpha_{i}$ с начальными значениями $q_{i}$ и $p_{i}$. Наконец, разрешая равенства ( $9.22 \mathrm{~b}$ ) относительно $q_{i}$, мы можем получить их как функции $\alpha_{i}, \beta_{i}$ и $t$, чем и заканчивается решение задачи. Следует заметить, что при $i
eq 1$ уравнения (9.22b) не содержат времени. Поэтому они позволяют выразить все координаты $q_{i}$ через какую-либо одну из них, для чего достаточно считать ее известной и разрешить эти уравнения (при $i
eq 1$ ) относительно остальных координат. Таким путем мы получим уравнения траектории движения (в пространстве конфигураций). В случае, например, центральной силы мы получим $r$ как функцию $\theta$, не отыскивая $r$ и $\theta$ как функции времени.

В качестве новых постоянных импульсов можно брать не $\alpha_{1}$ и константы полного интеграла для $W$, а какие-либо $n$ независимых функций от $\alpha_{i}$. Обозначая эти постоянные через $\gamma_{i}$, можно выразить $W$ через $q_{i}$ и $\gamma_{i}$. В общем случае гамильтониан будет зависеть более чем от одной из величин $\gamma_{i}$, и уравнения для $Q_{i}$ будут иметь вид
\[
\dot{Q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial \gamma_{i}}=v_{i},
\]

где $v_{i}$ – функции $\gamma_{i}$. В этом случае все новые координаты будут линейными функциями времени:
\[
Q_{i}=v_{i} t+\beta_{i} .
\]

Физический смысл характеристической функции $W$ подобен физическому смыслу функции $S$. Так как время не входит явно в $W$, то полная производная $\frac{d W}{d t}$ будет равна
\[
\frac{d W}{d t}=\sum_{i} \frac{\partial W}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}=\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i},
\]

и, следовательно,
\[
W=\int \sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i} d t=\int \sum_{i} p_{i} d q_{i}
\]

что представляет собой действие $A$, рассматривавшееся в $\S 7.5$. Как и ранее, этот результат оказывает малую практическую помощь, так как $W$ нельзя найти до получения полного интеграла уравнения Гамильтона – Якоби.

Мы рассмотрели два метода решения задач механики: один с помощью главной функции Гамильтона, другой с помощью характеристической функции Гамильтона. Полученные результаты можно записать теперь в виде следующей сравнительной схемы.
Эти методы применимы тогда, когда гамильтониан
есть любая функция $q, p, t$ :
постоянен:
\[
H=H(q, p, t) .
\]
\[
H(q, p)=\text { const. }
\]

Мы ищем такое каноническое преобразование, при котором все новые координаты $Q_{i}$ и $\mid$ все импульсы $P_{i}$ являются поновые импульсы $P_{i}$ являются стоянными.

Чтобы удовлетворить этим условиям, достаточно потребовать, чтобы новый гамильтониан

был тождественно равен нулю:
\[
K=0 .
\]

был циклическим относительно всех координат:
\[
K=H\left(P_{i}\right)=\alpha_{1} .
\]

При этих условиях новые уравнения движения будут иметь вид:
\[
\begin{array}{l}
\dot{Q}_{i}=\frac{\partial K}{\partial P_{i}}=0, \\
\dot{P}_{i}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{i}}=0,
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\dot{Q}_{i}=\frac{\partial K}{\partial P_{i}}=v_{i}, \\
\dot{P}_{i}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{i}}=0,
\end{array}
\]

а их решениями будут функции:
\[
\begin{array}{l}
Q_{i}=\beta_{i}, \\
P_{i}=\gamma_{i},
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
Q_{i}=v_{i} t+\beta_{i}, \\
P_{i}=\gamma_{i},
\end{array}
\]

удовлетворяющие поставленным условиям. Производящей функцией искомого преобразования будет
главная функция Гамильтона
характеристическая функция Гамильтона
\[
S(q, P, t) \text {. }
\]
\[
W(q, P) .
\]

Эта функция удовлетворяет уравнению в частных производных, имеющему вид
\[
H\left(q, \frac{\partial S}{\partial \mathcal{f}}, t\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0 . \quad H\left(q, \frac{\partial W}{\partial q}\right)-\alpha_{1}=0 .
\]

Полный интеграл этого уравнения содержит.
$n$ нетривиальных постоянных $\mid n-1$ нетривиальных постоянных, образующих вместе с $\alpha_{1}$ систему из $n$ независимых постоянных
\[
\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} .
\]
\[
\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} .
\]

За новые постоянные импульсы $P_{i}=\gamma_{i}$ можно выбрать $n$ независимых функций от $n$ постоянных $\alpha_{i}$ :
\[
P_{i}=\gamma_{i}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right), \quad \quad P_{i}=\gamma_{i}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right),
\]

и поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона – Якоби можно рассматривать как функцию новых импульсов
\[
S=S\left(q_{i}, \gamma_{i}, t\right) . \quad W=W\left(q_{i}, \gamma_{i}\right) .
\]

(В частности, $\gamma_{i}$ могут быть равны $\alpha_{i}$.) Одна половина уравнений преобразования имеет вид
\[
\begin{array}{l|l}
p_{i}=\frac{\partial S}{\partial q_{i}} & p_{i}=\frac{\partial W}{\partial q_{i}}
\end{array}
\]

и выполняется автоматически, так как эти равенства использовались при составлении уравнения Гамильтона – Якоби. Остальные уравнения преобразования имеют вид
\[
\begin{array}{l|l}
Q_{i}=\frac{\partial S}{\partial \gamma_{i}}=\beta_{i} \quad Q_{i}=\frac{\partial W}{\partial \gamma_{i}}=v_{i}\left(
u_{i}\right) t+\beta_{i}
\end{array}
\]

и могут быть разрешены относительно $q_{i}$, в результате чего $\dot{q}_{i}$ получатся выраженными через $t$ и $2 n$ постоянных $\beta_{i}, \gamma_{i}$. Окончательное решение задачи сведется тогда к выражению $2 n$ постоянных через начальные значения координат и импульсов (через $q_{i 0}$ и $p_{i 0}$ ).

Если гамильтониан не содержит явно $t$, то можно пользоваться любым из этих методов. Соответствующие производящие функции будут связаны тогда равенством
\[
S(q, P, t)=W(q, P)-\alpha_{1} t .
\]