$У^{\prime}$ равнения Гамильтона для непрерывных систем можно получить методом, подобным тому, который применялся в главе 7 для дискретных систем. Для простоты начнем с системы, рассмотренной в $\S 11.1$ и состоящей из материальных точек, отстоящих друг от друга на расстоянии $a$. Каждой обобщенной координате $\eta_{i}$ будет соответствовать канонический импульс
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_{i}}=a \frac{\partial L_{i}}{\partial \dot{\eta}_{i}},
\]

и поэтому гамильтониан этой системы будет равен
\[
H \equiv \sum_{i} p_{i} \dot{\eta}_{i}-L=\sum_{i} a \frac{\partial L_{i}}{\partial \dot{\eta}_{i}} \dot{\eta}_{i}-L,
\]

или
\[
H=\sum_{i} a\left(\frac{\partial L_{i}}{\partial \dot{\eta}_{i}} \dot{\eta}_{i}-L_{i}\right) .
\]

В пределе же, когда $a \rightarrow 0$ и $L_{i} \rightarrow \Omega$, эта сумма переходит в интеграл
\[
H=\int d x\left(\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \dot{\eta}} \dot{\eta}-\Omega\right) .
\]

Из равенства (11.45) видно, что когда $a$ стремится к нулю, каждый импульс $p_{i}$ тоже стремится к нулю. Поэтому мы введем так называемый удельный импульс л, определив его равенством
\[
\pi=\frac{\partial \Omega}{\partial \dot{\eta}} .
\]

Кроме того, введем понятие удельного гамильтониана, понимая под ним величину
\[
\mathfrak{J}=\pi \dot{\eta}-\mathfrak{2} .
\]

Тогда интеграл (11.47) будет интегралом $\int \sqrt{2} d x$, и ясно, что в случае трехмерной системы с несколькими обобщенными координатами мы будем иметь аналогичную формулу
\[
H=\iiint \mathfrak{5} d x_{1} d x_{2} d x_{3}=\iiint\left(\sum_{\boldsymbol{k}} \pi_{k} \dot{\eta}_{k}-\mathfrak{R}\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3},
\]

где
\[
\pi_{i}=\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \dot{\eta}_{i}}=\frac{\delta L}{\delta \dot{\eta}_{i}} .
\]

Канонические уравнения движения могут быть получены с помощью той процедуры, которая применялась нами в $\S 7.1$. Мы будем считать, что $\mathfrak{\text { есть }}$ функция обобщенных координат $\eta_{k}\left(x_{j}, t\right)$, удельных канонических импульсов $\pi_{k}\left(x_{j}, t\right)$, производных $\frac{\partial \eta_{k}}{\partial x_{j}}$ и, возможно, времени $t$. Тогда будем иметь
\[
\begin{array}{r}
d H=\iiint\left\{\sum_{k}\left[\frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial \eta_{k}} d \eta_{k}+\frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial \pi_{k}} d \pi_{k}+\sum_{j} \frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial\left(\frac{\partial \eta_{k}}{\partial x_{j}}\right)} d\left(\frac{\partial \eta_{k}}{\partial x_{j}}\right)\right]+\right. \\
\left.\quad+\frac{\partial \mathfrak{Y}}{\partial t} d t\right\} d x_{1} d x_{2} d x_{3} .
\end{array}
\]

Написанный здесь интеграл немного напоминает тот интеграл, с которым мы встречались в принципе ‘Гамильтона в форме (11.13). Поэтому интеграл
\[
\int \frac{\partial \mathfrak{\mathfrak { y }}}{\partial\left(\frac{\partial \eta_{k}}{\partial x_{j}}\right)} d\left(\frac{\partial \eta_{k}}{\partial x_{j}}\right) d x_{j}
\]

мы будем, как и там, брать по частям. При этом получим два слагаемых, первое из которых можно считать равным нулю, так как область интегрирования может быть взята настолько большой, что на ее границе $\eta$ и $\mathfrak{g}$ будут обращаться в нуль. В результате $d H$ можно будет записать в виде
\[
\begin{array}{l}
d H=\iiint \int \sum_{k}\left[\frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial \eta_{k}} d \eta_{k}+\frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial \pi_{k}} d \pi_{k}-\sum_{f} \frac{d}{d x_{j}}\left(\frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial\left(\frac{\partial \eta_{k}}{\partial x_{j}}\right)}\right) d \eta_{k}\right]+ \\
\left.+\frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial t} d t\right\} d x_{1} d x_{2} d x_{3} \\
\end{array}
\]

или, пользуясь функциональной производной (11.19), в виде
\[
d H=\iiint\left\{\sum_{k}\left(\frac{\delta H}{\delta \eta_{k}} d \eta_{k}+\frac{\delta H}{\delta \pi_{k}} d \pi_{k}\right)+\frac{\partial \mathfrak{g}}{\partial t} d t\right\} d x_{1} d x_{2} d x_{3}
\]
(так как $\mathfrak{5}$ не является функцией пространственных производных от $\pi_{k}$ ). Следует заметить, что подобное интегрирование по частям и последующее введение функциональных производных (11.19) возможно во всех случаях, когда вычисляется изменение величины, плотность которой зависит от производных $\frac{\partial \eta_{k}}{\partial x_{\jmath}}$ или $\frac{\partial \pi_{k}}{\partial x_{j}}$.
Вспомним теперь, что согласно (11.49) $d H$ равно
\[
\begin{array}{r}
d H=\iiint\left\{\sum_{k}\left(\pi_{k} d \dot{\eta}_{k}+\dot{\eta}_{k} d \pi_{k}-\frac{\delta \mathscr{R}}{\delta \eta_{k}} d \eta_{k}-\frac{\delta L}{\delta \dot{\eta}_{k}} d \dot{\eta}_{k}\right)-\right. \\
\left.-\frac{\partial \mathscr{R}}{\partial t} d t\right\} d x_{1} d x_{2} d x_{3} .
\end{array}
\]

Но крайние члены суммы, стоящей в круглых скобках, очевидно, уничтожаются, что следует из равенства (11.50), определяющего $\pi_{k}$. Кроме того, согласно уравнениям Лагранжа (11.23)
\[
\frac{\delta L}{\delta \eta_{k}}=\frac{d}{d t} \frac{\delta L}{\delta \dot{\eta}_{k}}=\dot{\pi}_{k}
\]

Следовательно, равенство (11.53) можно записать в виде
\[
d H=\iiint\left\{\sum_{k}\left(-\dot{\pi}_{k} d \eta_{k}+\dot{\eta}_{k} d \pi_{k}\right)-\frac{\partial \mathscr{R}}{\partial t} d t\right\} d x_{1} d x_{2} d x_{3} .
\]

Сравнивая теперь уравнения (11.54) и (11.52), мы получаем систему уравнений
\[
\frac{\delta H}{\delta \eta_{k}}=-\dot{\pi}_{k}, \quad \frac{\delta H}{\delta \pi_{k}}=\dot{\eta}_{k}
\]

и тождество
\[
\frac{\partial \mathfrak{y}}{\partial t}=-\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial t}
\]

Уравнения (11.55) являются аналогами обычных уравнений Гамильтона и справедливы для произвольной непрерывной системы. Выражая их через удельный гамильтониан $\mathfrak{2}$, получаем:
\[
\frac{\partial \mathfrak{Y}}{\partial \eta_{k}}-\sum_{j} \frac{d}{d x_{j}}\left[\frac{\partial \mathfrak{Y}}{\partial\left(\frac{\partial \eta_{k}}{\partial x_{j}}\right)}\right]=-\dot{\pi}_{k}, \quad \frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial \pi_{k}}=\dot{\eta}_{k} .
\]

В этой форме они в отличие от формы (11.55) являются несимметричными (так как 5 не является функцией градиентов величин $\pi_{k}$ ).

В качестве простого примера применения этих уравнений рассмотрим опять звуковые колебания газа. Величины $\pi_{k}$ будут здесь, очевидно, равны
\[
\pi_{k}=\mu_{0} \dot{\eta}_{k}
\]

что можно записать в виде векторного равенства
\[
\boldsymbol{\pi}=\mu_{0} \dot{\eta}
\]

Поэтому удельный гамильтониан $\mathfrak{g}$ будет в этом случае равен
\[
\mathfrak{Y}=\pi \cdot \dot{\boldsymbol{\eta}}-\mathfrak{Q}=\frac{\pi^{2}}{2 \mu_{0}}+\frac{P_{0} \gamma}{2}(
abla \cdot \boldsymbol{\eta})^{2}
\]
[см. уравнение (11.40)]. Отсюда видно, что $\mathfrak{5}$ равно
\[
\mathfrak{J}=\mathfrak{T}+\mathfrak{B},
\]
т. е. равно сумме удельной кинетической и удельной потенциальной энергий. Поэтому $\mathfrak{g}$ в данном случае есть просто удельная энергия*). Таким образом, канонические уравнения данной системы будут иметь вид:
\[
\dot{\eta}_{k}=\frac{\pi_{k}}{\mu_{0}}, \quad-\dot{\pi}_{k}=-\frac{d}{d x_{k}}\left(P_{0} \gamma
abla \cdot \eta\right) .
\]

Совокупность этих двух систем эквивалентна уравнениям (11.41). (Первая из этих систем лишь повторяет равенства, выражающие величины $\pi_{k}$.)

Бо́льшую часть формальных результатов, полученных нами ранее в связи с уравнениями Гамильтона (теоремы о сохранении, скобки Пуассона и т. д.), можно легко распространить и на случай непрерывных систем. Например, модифицированный принцип Гамильтона будет теперь иметь вид
\[
\delta \int_{1}^{2} \iiint\left\{\sum_{k} \pi_{k} \dot{\eta}_{k}-\mathfrak{F}\right\} d x_{1} d x_{2} d x_{3} d t=0 .
\]
*) Мы опустили член, линейный относительно $
abla \cdot \eta$, так как было показано, что он не оказывает влияния на полную энергию.

В качестве другого примера рассмотрим теорему о сохранении, a именно теорему о сохранении самого гамильтониана. Полная производная $\frac{d H}{d t}$ равна
\[
\frac{d H}{d t}=\iiint\left\{\sum_{k}\left(\frac{\delta H}{\delta \eta_{k}} \dot{\eta}_{k}+\frac{\delta H}{\delta \pi_{k}} \dot{\pi}_{k}\right)+\frac{\partial \mathfrak{y}}{\partial t}\right\} d x_{1} d x_{2} d x_{3},
\]

что согласно уравнениям (11.55) можно записать в виде
\[
\frac{d H}{d t}=\iiint\left\{\sum_{k}\left(\frac{\delta H}{\delta \eta_{k}} \frac{\delta H}{\delta \pi_{k}}-\frac{\delta H}{\delta \pi_{k}} \frac{\delta H}{\delta \eta_{k}}\right)+\frac{\partial \mathfrak{N}}{\partial t}\right\} d x_{1} d x_{2} d x_{3},
\]

или
\[
\frac{d H}{d t} \iiint \frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial t} d x_{1} d x_{2} d x_{3} .
\]

Таким образом, $H$ будет постоянным тогда, когда $\mathfrak{5}$ (или $H$ ) не является явной функцией $t$.

Рассмотрим теперь какую-либо функцию $G$, не зависящую явно от $t$ и имеющую вид интеграла
\[
G=\iiint \mathfrak{G} d x_{1} d x_{2} d x_{3} .
\]

Полная производная ее по времени будет равна
\[
\frac{d G}{d t}=\iiint \sum_{k}\left(\frac{\delta G}{\delta \eta_{k}} \dot{\eta}_{k}+\frac{\delta G}{\delta \pi_{k}} \dot{\pi}_{k}\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3},
\]

что с помощью уравнений движения можно записать в виде
\[
\frac{d G}{d t}=\iiint \sum_{k}\left(\frac{\delta G}{\delta \eta_{k}} \frac{\delta H}{\delta \pi_{k}}-\frac{\delta G}{\delta \pi_{k}} \frac{\delta H}{\delta \eta_{k}}\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3} .
\]

Но правая часть этого равенства является очевидным аналогом скобок. Пуассона $[G, H]$ [см. равенство (8.42)]; суммирование по обобщенным координатам заменяется здесь интегрированием по «непрерывным номерам» $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ и дискретному индексу $k$. Поэтому можем написать
\[
\frac{d G}{d t}=[G, H]
\]

а в случае, когда $G$ будет явной функцией $t$, мы, очевидно, получим
\[
\frac{d G}{d t}=[G, H]+\frac{\partial G}{\partial t}
\]

что совпадает с равенством (8.58). Следовательно, если $G$ не является явной функцией $t$ и скобки Пуассона $[G, H]$ обращаются в нуль, то $G$ будет сохраняться постоянным. Заметим, чтто этот результат справедлив и тогда, когда (s) есть функция пространственных производных $\eta$ или $\pi$, что видно из проведенного доказательства.

Таким образом, теоремы о сохранении можно получить здесь тем же методом, что и в обычной теории. Между интегральными константами движения и свойствами симметрии системы также имеется известная нам связь. Однако следует подчеркнуть, что, кроме этих «микроскопических» констант движения, имеются еще и «микроскопические» теоремы о сохранении. Эти теоремы относятся не к интегральным величинам, а к дифференциальным, т. е. к плотностям. Например, можно получить теоремы, выражающие свойства неразрывности внутреннего потока энергии, количества движения и кинетического момента. K сожалению, мы не можем останавливаться на этих вопросах и отсылаем интересующихся читателей к литературе, приведенной в конце главы.