Результаты, полученные в предыдущем параграфе, можно обобщить на систему из многих материальных точек, но при этом нужно различать внешние силы и внутренние силы. Под внешними мы будем понимать такие силы; которые действуют на материальные точки рассматриваемой системы извне, а под внутреннимитакие силы, с которыми каждая материальная точка этой системы действует на все остальные точки той же системы. Тогда уравнение движения $i$-й материальной точки (второй закон Ньютона) примет вид:
\[
\sum_{j} \boldsymbol{F}_{i i}+\boldsymbol{F}_{i}^{(e)}=\dot{\boldsymbol{p}}_{i}
\]

где через $\boldsymbol{F}_{i}^{(e)}$ обозначена внешняя сила, действующая на $i$-ю точку системы, а через $\boldsymbol{F}_{j i}$ – сила, с которой $j$-я точка действует на $i$-ю (сила $\boldsymbol{F}_{i i}$, конечно, равна нулю). Мы будем предполагать, что силы $\boldsymbol{F}_{i j}$ (так же, как и $\boldsymbol{F}_{i}^{(e)}$ ) подчиняются третьему закону Ньютона, т. е. закону о равенстве действия и противодействия, согласно которому силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, их соединяющей. Следует заметить, что в некоторых важных случаях этот закон несіраведлив, например, для электромагнитных сил взаимодействия между движущимися частицами. Поэтому, применяя к таким системам теоремы, которые мы выведем ниже, следует проявлять осторожность.

Написав равенства (1.18) для всех точек и сложив их, получим
\[
\frac{d^{2}}{d t^{2}} \sum_{i} m_{i} r_{i}=\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i}^{(e)}+\sum_{\substack{i, j \\ i
eq j}} \boldsymbol{F}_{j l} .
\]

Первая сумма правой части этого равенства представляет собой суммарную силу $\boldsymbol{F}^{(e)}$, действующую на рассматриваемую систему, а вторая сумма обращается в нуль, так как согласно закону о равенстве действия и противодействия каждая сумма $\boldsymbol{F}_{i j}+\boldsymbol{F}_{j i}$ равна нулю. Преобразуем теперь левую часть этого уравнения, вводя средний радиус-вектор $\boldsymbol{R}$ рассматриваемой системы, полученный с учетом масс ее точек (среднее взвешенное вектора $\boldsymbol{r}_{i}$ ):
\[
\boldsymbol{R}=\frac{\sum m_{i} \boldsymbol{r}_{i}}{\sum m_{i}}=\frac{\sum m_{i} r_{i}}{M} .
\]

Этот вектор определяет точку, называемую центром масс системы (рис. 2) *). Вводя вектор $\boldsymbol{R}$ в уравнение (1.19), получаем
\[
M \frac{d^{2} \boldsymbol{R}}{d t^{2}}=\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i}^{(e)} \equiv \boldsymbol{F}^{(e)} .
\]

Отсюда видно, что центр масс движется так, как будто в нем сосредоточена масса всей системы и к нему приложена суммарная внешняя сила $\boldsymbol{F}^{(e)}$, действующая на систему. Следовательно, внутренние силы никакого влияния на движение центра масс не оказывают. Примером, который в связи с этим часто приводится, может служить движение снаряда, разорвавшегося в воздухе: центр масс его осколков движется так, как будто снаряд продолжает двигаться неразорвавшимся (если пренебречь сопротивлением воздуха). Этот же закон лежит в основе реактивного движения: для того чтобы движение центра масс оставалось неизменным, истечение газов (происходящее с большой скоростью) должно сопровождаться движением ракеты в сторону, противоположную истечению, т. е. вперед.

Согласно формуле (1.20) полное количество движения системы
\[
\boldsymbol{P}=\sum m_{i} \frac{d \boldsymbol{r}_{i}}{d t}
\]

равно массе всей системы, умноженной на скорость ее центра масс. Поэтому из уравнения движения центра масс [уравнение (1.21)] мы получаем следующую теорему.

Теорема о сохранении количества движения материальной системы. Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то полное количество движения системы остается неизменным.

Под полным кинетическим моментом системы мы будем понимать сумму $\sum_{i} r_{i} \times p_{i}$. Умножив уравнение (1.18) на $\boldsymbol{r}_{i}$ и
*) Это определение будет более обычным, если равенство (1.20) записать в декартовых координатах:
\[
X=\frac{\sum m_{i} x_{i}}{\sum m_{i}}, \quad Y=\frac{\sum m_{i} y_{i}}{\sum m_{i}}, \quad Z=\frac{\sum m_{i} z_{i}}{\sum m_{i}},
\]

где $X, Y, Z$ – координаты центра масс.

произведя затем суммирование по всем значениям $i$, получим $\sum_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{p}_{i}\right)=\sum_{i} \frac{d}{d t}\left(\boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{p}_{i}\right)=\dot{\boldsymbol{L}}=\sum \boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{F}_{i}^{(e)}+\sum_{i, j} \boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{F}_{j i}$ (1.22)

Согласно закону о равенстве действия и противодействия последний член этого равенства можно рассматривать как сумму членов вида
\[
\boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{F}_{j i}+\boldsymbol{r}_{j} \times \boldsymbol{F}_{i j}=\left(\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}\right) \times \boldsymbol{F}_{j i} .
\]

Но разность $\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}$ есть вектор $\boldsymbol{r}_{i j}$ (рис. 3), идущий от точки $\boldsymbol{j}$ к точке $i$, и согласно закону о равенстве действия и противодействия
\[
\boldsymbol{r}_{i j} \times \boldsymbol{F}_{i j}=0,
\]

так как вектор $\boldsymbol{F}_{j i}$ направлен вдоль линии, соединяющей $j$-ю точку с $i$-й. Следовательно, сумма $\quad \sum_{i} \boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{F}_{j i}$ равна нулю, и уравнение (1.22) можно записать в виде
\[
\frac{d \boldsymbol{L}}{d t}=N^{(e)} .
\]

Таким образом, производная по вре-
Рис. 3. Вектор $r_{i j}=r_{i}-r_{j}$. мени от кинетического момента рав-
на полному моменту внешних сил относительно данной точки. В соответствии с уравнением (1.24) имеем следующую теорему. Теорема о сохранении кинетического момента системы. Если полный момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то вектор $\boldsymbol{L}$ остается неизменным во времени. (Следует подчеркнуть, что эта теорема является векторной теоремой, и поэтому, если, например, $N_{z}^{(e)}$ равно нулю, то $L_{z}$ будет неизменным при любых $N_{x}^{(e)}$ и $N_{y}^{(e)}$, даже отличных от нуля.)

Заметим, что теорема о сохранении кинетического момента системы справедлива лишь при выполнении закона о равенстве действия и противодействия. В системах с движущимися заряженными частицами этот закон не выполняется, и полный кинетический момент в механическом смысле этого слова не остается там постоянным, но остается постоянной сумма механического кинетического момента и электромагнитного «кинетического момента».

Из равенств (1.20) и (1.21) следует, что количество движения системы можно рассматривать как количество движения ее центра масс, если считать, что в нем сосредоточена вся масса системы. Для кинетического момента аналогичная теорема формулируется более сложно. Кинетический момент системы относительно начала координат $O$ равен
\[
L=\sum_{i} r_{i} \times p_{i}
\]

Пусть $\boldsymbol{R}$ будет радиус-вектор, идущий из точки $O$ в центр масс системы, а $\boldsymbol{r}_{i}^{\prime}-$ радиус-вектор, идущий из центра масс в $i$-ю точку. Тогда будем иметь (рис. 4)
и
\[
\boldsymbol{r}_{i}=\boldsymbol{r}_{i}^{\prime}+\boldsymbol{R}
\]
\[
\boldsymbol{v}_{i}=\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}+\boldsymbol{v}
\]

где вектор
\[
\boldsymbol{v}=\frac{d \boldsymbol{R}}{d t}
\]

есть скорость центра масс, а вектор
\[
\boldsymbol{v}^{\prime}=\frac{d \boldsymbol{r}^{\prime}}{d t}
\]

Рис. 4. Векторы $R, r_{i}$ и $r_{i}^{\prime}$.
– скорость $i$-й материальной точки относительно центра масс системы*).
$\mathrm{C}$ помощью уравнения (1.25) кинетический момент можно представить в виде
\[
\boldsymbol{L}=\sum_{i} \boldsymbol{R} \times m_{i} v+\sum_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times m_{i} v_{i}^{\prime}+\left(\sum_{i} m_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}\right) \times v+\boldsymbol{R} \times \frac{d}{d t} \sum_{i} m_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} .
\]

Два последних члена в этом выражении обращаются в нуль, так как они содержат сумму $\sum m_{i} r_{i}^{\prime}$, которая определяет радиус-вектор центра масс в системе координат, начало которой совпадает с этим центром. Переписывая остальные члены, получаем полный кинетический момент системы в виде
\[
\boldsymbol{L}=\boldsymbol{R} \times M \boldsymbol{v}+\sum_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{p}_{i}^{\prime} .
\]

Равенство (1.26) показывает, что кинетический момент системы относительно точки $O$ складывается из двух частей: из кинетического момента этой системы в предположении, что вся ее масса сосредоточена в центре масс, и из кинетического момента, возникающего вследствие движения этой системы относительно центра масс. Из равенства (1.26) ясно видно, что в общем случае вектор $\boldsymbol{L}$ зависит от выбора точки $O$, так как правая часть равенства (1.26) выражается через $\boldsymbol{R}$. Только в случае, когда
*) Автор здесь (и в ряде подобных случаев) имеет в виду скорость точки относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с центром масс. (Прим. перев.)

центр масс неподвижен относительно точки $O$, кинетический момент $\boldsymbol{L}$ не зависит от выбора этой точки. В этом случае первый член в равенстве (1.26) обращается в нуль, и вектор $\boldsymbol{L}$ сводится к кинетическому моменту системы относительно ее центра масс.

Рассмотрим теперь уравнение энергии. Как и в случае одной материальной точки, вычислим работу, совершаемую всеми силами, действующими на рассматриваемую систему. Обозначив начальное положение этой системы индексом 1, а конечное индексом 2 , получим
\[
W_{12}=\sum_{i} \int_{1}^{2} \boldsymbol{F}_{i} \cdot d s_{i}=\sum_{i} \int_{i}^{2} \boldsymbol{F}_{i}^{(e)} \cdot d s_{i}+\sum_{i
eq j} \int_{1}^{2} \boldsymbol{F}_{j i} \cdot d s_{i}
\]

и, воспользовавшись уравнениями движения, будем, как и ранее, иметь
\[
\sum_{i} \int_{1}^{2} \boldsymbol{F}_{i} \cdot d s=\sum_{i} \int_{1}^{2} m_{i} \dot{v}_{i} \cdot v_{i} d t=\sum \int_{i}^{2} d\left(\frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}\right) .
\]

Следовательно,-совершенная работа равна разности между конечной и начальной кинетической энергией, что можно записагь в виде равенства
\[
W_{12}=T_{2}-T_{1},
\]

где $T$ – полная кинетическая энергия системы, равная
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} .
\]

Вводя в формулу (1.28) координаты центра масс системы, мы согласно формуле (1.25) получаем
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} \sum_{i}\left(v+v_{i}^{\prime}\right) \cdot\left(v+\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}\right)= \\
& =\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v^{2}+\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{\prime 2}+v \cdot \frac{d}{d t}\left(\sum_{i} m_{i} r_{i}^{\prime}\right)
\end{aligned}
\]

и, рассуждая так же, как при вычислении кинетического момента, приходим к выводу, что последний член этой суммы равен нулю. Следовательно,
\[
T=\frac{1}{2} M v^{2}+\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v^{\prime 2} .
\]

Таким образом, кинетическая энергия системы, подобно кинетическому моменту, складывается из двух частей: из кинетической энергии $\frac{M v^{2}}{2}$, получающейся в предположении; что вся масса системы сосредоточена в ее центре масс, и из кинетической энергии системы в ее движении относительно центра масс.

Рассмотрим теперь правую часть равенства (1.27). В. случае, когда внешние силы имеют потенциал, первый член правой части (1.27) можно записать в виде
\[
\sum_{i} \int_{1}^{2} \boldsymbol{F}_{i}^{(e)} \cdot d s_{i}=-\sum_{i} \int_{1}^{2}
abla_{i} V_{i} \cdot d s_{i}=-\sum_{i} V_{i} p_{i},
\]

где индекс $i$ у оператора $
abla$ означает производную по $r_{i}$. Если внутренние силы также консервативны, то силы $\boldsymbol{F}_{i j}$ и $\boldsymbol{F}_{j i}$, являющиеся силами взаимодействия между $i$-й и $j$-й частицами, могут быть получены с помощью некоторой потенциальной функции $V_{i j}$. Чтобы удовлетворить закону действия и противодействия, потенциал $V_{i j}$ должен быть функцией расстояния между этими частицами, т. е.
\[
V_{i j}=V_{i j}\left(\left|\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}\right|\right) .
\]

Тогда силы $\boldsymbol{F}_{i j}$ и $\boldsymbol{F}_{j i}$ будут равны и противоположно направлены, так как
\[
\boldsymbol{F}_{j i}=-
abla_{i} V_{i j}=+
abla_{j} V_{i j}=-\boldsymbol{F}_{i j} .
\]

Кроме того, они будут направлены вдоль прямой, соединяющей рассматриваемые частицы, и можно будет написать
\[
\boldsymbol{F}_{i j}\left(\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}\right)=\left(\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}\right) f,
\]

где $f$ – некоторая скалярная функция.
Если бы $V_{i j}$ была функцией разности других векторов, связанных с материальными точками, например разности их скоростей или (беря пример из современной физики) внутренних кинетических моментов – «спинов»;- то силы были бы равными и противоположными, но не лежали бы на прямой, соединяющей две данные частицы.

В случае, когда все силы, $\boldsymbol{F}_{i}^{(e)}$ и $\boldsymbol{F}_{i j}$, являются консервативными, второе слагаемое в правой части равенства (1.27) может быть записано в виде суммы членов вида
\[
-\int_{i}^{2}\left(
abla_{i} V_{i j} \cdot d s_{i}+
abla_{j} V_{i j} \cdot d s_{j}\right) \text {. }
\]

Если разность векторов $\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}$ обозначить через $\boldsymbol{r}_{i j}$, а для градиента по $r_{i j}$ ввести оператор $
abla_{i j}$, то будем иметь:

и
\[

abla_{i} V_{i j}=
abla_{i j} V_{i j}=-
abla_{i} V_{i j}
\]
\[
d s_{i}-d s_{i}=d r_{i}-d r_{i}=d r_{i j},
\]

и член с индексом $i j$ примет вид
\[
-\int
abla_{i j} V_{i j} \cdot d r_{i j}
\]

Тогда полная работа внутренних сил будет равна
\[
-\frac{1}{2} \sum_{\substack{i, j \\ i
eq j}} \int_{i}^{2}
abla_{i j} V_{i j} \cdot d r_{i j}=-\left.\frac{1}{2} \sum_{\substack{i, j \\ i
eq j}} V_{i_{j}}\right|_{1} ^{2} .
\]
(Коэффициент $1 / 2$ появляется здесь вследствие того, что при суммировании по $i$ и по $j$ каждый индекс данной пары встречается дважды: при суммировании по $i$ и при суммирсвании по $j$.

Из изложенного ясно, что если внутренние и внешние силы имеют потенциал, то можно говорить о полной потенциальной энергии системы, понимая под ней сумму
\[
V=\sum_{i} V_{i}+\frac{1}{2} \sum_{\substack{i, j \\ i
eq j}} V_{i j} .
\]

При этом полная энергия $T+V$ будет оставаться неизменной. Эта теорема является аналогом теоремы (1.17) для одной материальной точки.

Второй член правой части (1.34) называют внутренней потенциальной энергией системы. Она, вообще говоря, отлична от нуля и, что весьма важно, может изменяться вместе с изменением самой системы с течением времени. Только для частного класса систем – для твердых тел – внутренний потенциал есть величина постоянная. Формально, твердое тело можно определить как систему материальных точек, расстояния между которыми постоянны и не могут изменяться со временем. В этом случае величины $\boldsymbol{r}_{i j}$ постоянны, и поэтому векторы $d \boldsymbol{r}_{i j}$ перпендикулярны к соответствующим векторам $r_{i j}$, а следовательно, и к силам $\boldsymbol{F}_{i j}$. По этой причине в твердом теле внутренние силы не совершают работы, и внутренний потенциал должен оставаться постоянным. Так как полный потенциал во всех случаях есть величина, определенная лишь с точностью до аддитивной постоянной, то постоянный внутренний потенциал можно при исследовании движения системы совершенно не рассматривать.