Уравнения движения (10:8) являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. В такой форме уравнения часто встречаются в теории электрических колебательных контуров. Поэтому решение их мы будем искать в виде
\[
\eta_{i}=C a_{i} e^{-i \omega t},
\]

где $C a_{i}$ – комплексная амплитуда колебания, соответствующая координате $\eta_{i}$; коэффициент $C$ введен нами для удобства как некоторый масштабный коэффициент, одинаковый для всех координат. Действительному движению отвечают, конечно, вещественнные части функций (10.9). Подставив выражения (10.9) в уравнения движения (10.8), мы получим следующие уравнения для коэффициентов $a_{i}$ :
\[
\sum_{j}\left(V_{i j} a_{j}-\omega^{2} T_{i j} a_{j}\right)=0 .
\]

Уравнения (10.10) образуют систему $n$ линейных однородных уравнений с $n$ неизвестными $a_{i}$ и, следовательно, будут иметь нетривиальные решения лишь при выполнении условия Уравнение (10.11) является алгебраическим уравнением $n$-й степени относительно $\omega^{2}$. Корни его определяют те частоты; при которых функции (10.9) могут служить решениями уравнений (10.8). Амплитуды $a_{i}$ можно определить при этом из уравнений (10.10), которые при каждом из найденных значений $\omega^{2}$ могут быть решены относительно $a_{i}$ (точнее, все амплитуды $a_{i}$ могут быть выражены через одну из них).

Для того чтобы получить правильное математическое представление, мы рассмотрим наиболее простой вариант общей задачи. Предположим, что обобщенные координаты системы являются декартовыми координатами ее точек. Тогда кинетическая энергия системы будет содержать лишь квадраты составляющих ее скоростей. Введем теперь новые обобщенные координаты, для чего каждую из декартовых координат разделим на корень квадратный из массы соответствующей точки. Тогда кинетическая энергия $T$ будет равна
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i} \dot{\eta}_{i}^{2}
\]
т. е. $T_{i j}$ станет равным $\delta_{i j}$. Поэтому однородные уравнения (10.10) упростятся и примут вид
\[
\sum_{j} V_{i j} a_{j}=\lambda a_{i},
\]

где $\lambda=\omega^{2}$. Но эти уравнения подобны тем, которые встречались нам в главах 4 и 5 при решении задачи о собственных значениях [см. уравнения (5.22)]. Единственная разница состоит лишь в том, что сейчас мы имеем дело не с трехмерным пространством, а с $n$-мерным. Поэтому числа $V_{i j}$ можно рассматривать как элементы матрицы $\mathrm{V}$, состоящей из $n$ строк и $n$ столбцов, а числа $a_{i}$ – как составляющие $n$-мерного вектора $\boldsymbol{a}$.

Систему уравнений (10.13) можно представить в виде одного векторного уравнения
\[
\vee a=\lambda a,
\]

подобного уравнению (4.74). Уравнение (10.11) будет тогда вековым уравнением, определяющим собственные значения $\lambda$.

Так как матрица $V$ симметрична и вещественна, то соответствующие собственные значения также будут вещественны (см. §5.4). Если образовать матрицу $\mathrm{A}$, составленную из $n$ систем $\left\{a_{i}\right\}$, соответствующих $n$ собственным значениям, то подобное преобразование, осуществляемое с помощью А, должно диагонализировать $\vee$ (см. $\S 4.6$ ). Кроме того, $n$ собственных векторов $\boldsymbol{a}$ будут ортогональными и, следовательно, диагонализирующая матрица А также будет ортогональной.

Эти выводы справедливы не только в том частном случае, когда матрица из коэффициентов $T_{i j}$ является диагональной;

аналогичные результаты можно получить и в общем случае. Если числа $T_{i j}$ рассматривать как элементы матрицы $T$, то систему уравнений (10.10) можно будет записать в виде векторного уравнения
\[
\mathrm{V} a=\lambda \mathrm{T} a .
\]

От обычного уравнения, определяющего собственные значения некоторой матрицы, оно отличается тем, что в правой части его стоит не $\lambda$, а $\lambda$ T. Мы сейчас рассмотрим соответствующие ему собственные значения, т. е. те значения $\lambda$, при которых это уравнение имеет нетривиальные решения. При этом покажем, что они будут вещественными (так как матрицы $T$ и $V$ являются эрмитовскими), и, кроме того, они должны быть положительными. Помимо этого, докажем, что собственные векторы $\boldsymbol{a}$ являются в известном смысле ортогональными, а составленная из них матрица $\mathbf{A}$ диагонализирует как $\mathrm{T}$, так и $\mathrm{V}$, приводя $\mathrm{T}$ к единичной матрице 1 , a $\mathrm{V}$ – к матрице, по диагонали которой стоят собственные значения $\lambda$.

Поступая так же, как и в $§ 5.4$, мы $j$-ю составляющую $k$-го собственного вектора обозначим через $a_{j k}$. Тогда при $\lambda=\lambda_{k}$ каждое из скалярных составляющих уравнения (10.14) будет иметь вид
\[
\sum_{j} V_{i j} a_{j k}=\lambda_{k} \sum_{j} T_{i j} a_{j k} .
\]

Составляя аналогичное уравнение для $\lambda=\lambda_{l}$ и заменяя в нем все члены на комплексно сопряженные, получаем
\[
\sum_{i} V_{i l} a_{i l}^{*}=\lambda_{i}^{*} \sum_{i} T_{i j} a_{i l}^{*} .
\]

Умножим теперь равенство (10.16) на $a_{j k}$ и просуммируем по $j$, а равенство (10.15) умножим на $a_{i l}^{*}$ и просуммируем по $i$. Вычитая затем из первого результата второй, получаем
\[
0=\left(\lambda_{k}-\lambda_{i}^{*}\right) \sum_{i, j} T_{i j} a_{j k} a_{i l}^{*} .
\]

Положим теперь $l=k$. Тогда будем иметь
\[
\left(\lambda_{k}-\lambda_{k}^{*}\right) \sum_{i, j} T_{i j} a_{j k} a_{i k}^{*}=0 .
\]

Покажем, что стоящая здесь сумма является вещественной и положительной. Разобьем для этого $a_{j k}$ на вещественную и мнимую части, т. е. положим
\[
a_{j k}=\alpha_{f k}+i \beta_{j k} \text {. }
\]

Тогда сумму (10.18) можно будет записать в виде
\[
\sum_{i, j} T_{i j} a_{i k} a_{i k}^{*}=\sum_{i, j} T_{i j} \alpha_{j k} \alpha_{i k}+\sum_{i, j} T_{i j} \beta_{j k} \beta_{i k}+i \sum_{i, j} T_{i j}\left(\beta_{i k} \alpha_{i k}-\beta_{i k} \alpha_{j k}\right),
\]

где вследствие симметричности чисел $T_{i j}$ последняя из написанных сумм обращается в нуль (так как при перемене местами индексов $i$ и $j$ изменяется ее знак). Следовательно, сумма
\[
\sum_{i, j} T_{i j} \alpha_{j k} \alpha_{i k}^{*}
\]

является вещественной. Далее, из определения коэффициента $T_{i j}$ [формула (10.6)] видно, что сумму $\sum_{i, j} T_{i j} \alpha_{j k} \alpha_{i k}$ можно рассматривать как удвоенную кинетическую энергию системы при $\dot{\eta}_{i}=\alpha_{i k}$, а сумму $\sum_{i, j} T_{i j} \beta_{j k} \beta_{i k}$-как удвоенную кинетическую энергию при $\dot{\eta}_{i}=\beta_{i k}$. Но при любых вещественных скоростях кинетическая энергия положительна.

Следовательно, фигурирующая в (10.18) сумма не может равняться нулю, и поэтому собственные значения $\lambda_{k}$ должны быть вещественными.

Рассмотрим теперь составляющие собственного вектора $\boldsymbol{a}_{k}$, определяемого уравнениями (10.15). Так как числа $\lambda_{k}$ являются вещественными, то составляющие $a_{j k}$ относятся друг к другу, как вещественные числа. Однако в выборе этих составляющих имеется некоторая неопределенность, так как согласно (10.15) одну из них можно выбрать произвольно. Пользуясь этим, будем требовать, чтобы эта составляющая была числом вещественным, и тогда вещественность величины $\lambda_{k}$ обеспечит вещественность и всех остальных составляющих вектора $\boldsymbol{a}_{k}$. [Любой комплексный коэффициент $C a_{i}$ в равенстве (10.9) можно получить тогда за счет множителя $C$.] Умножая теперь (10.15) на $a_{i k}$ и суммируя по $i$, получаем

откуда
\[
\sum_{i, j} V_{i j} a_{i k} a_{i k}=\lambda_{k} \sum_{i, j} T_{i j} a_{i k} a_{j k}
\]
\[
\lambda_{k}=\frac{\sum V_{i j} a_{i k} a_{i k}}{\sum T_{i j} a_{i k} a_{j k}} .
\]

Знаменатель этой дроби равен удвоенной кинетической энергии системы в случае, когда $\dot{\eta}_{i}=a_{i k}$, и так как составляющие $a_{i k}$ вещественны, то он должен быть числом положительным. Точно так же числитель этой дроби равен удвоенному значению $V$ при $\eta_{i}=a_{i k}$. Но так как при $\eta_{i}=0 V$ имеет минимум, то числитель этой дроби не может быть отрицательным. Таким образом, числитель и знаменатель дроби (10.19) являются числами неотрицательными, причем знаменатель отличен от нуля. Следовательно, $\lambda_{k}$ есть число неотрицатєльное.

Вспомним теперь, что через $\lambda$ мы обозначили величину $\omega^{2}$. Следовательно, положительные $\lambda$ соответствуют вещественным частотам колебания. Если бы потенциал системы не имел в положении равновесия минимума, то числитель дроби (10.19) мог бы быть отрицательным, что привело бы к появлению мнимых частот, вызывающих неограниченное возрастание функции $\eta_{i}(t)$ по экспоненциальному закону. Следовательно, такое движение было бы неустойчивым. Таким образом, мы получили обещанное математическое доказательство того, что устойчивость движения требует минимума потенциала.

Вернемся теперь к равенству (10.17). Учитывая, что собственные значения $\lambda$ и собственные векторы $\boldsymbol{a}$ являются вещественными, его можно записать в виде
\[
\left(\lambda_{k}-\lambda_{l}\right) \sum_{i, j} T_{i j} a_{i l} a_{i k}=0 .
\]

Если все корни векового уравнения различны, то будем иметь
\[
\sum_{i, j} T_{i j} a_{i l} a_{i k}=0 \quad(l
eq k) .
\]

Вспомним теперь, что величины $a_{j k}$ не вполне определяются уравнениями (10.15). Для устранения этой неопределенности мы потребуем, чтобы
\[
\sum_{i, j} T_{i j} a_{i k} a_{l k}=1
\]

что даст нам $n$ уравнений, однозначно определяющих составляющие каждого из $n$ векторов $\boldsymbol{a}_{k}{ }^{*}$ ). Объединив теперь равенства (10.20a) и (10.20b), получим
\[
\sum_{i, j} T_{i l} a_{l l} a_{j k}=\delta_{l k} .
\]

Если среди корней $\lambda$ имеются одинаковые, то из равенства $\left(10.17^{\prime}\right)$ нельзя получить равенство (10.20a), так как $\lambda_{k}$ может оказаться равным $\lambda_{l}$. Этот исключительный случай мы рассмотрим несколько позже, а сейчас будем считать, что коэффициенты $a_{j k}$ удовлетворяют как уравнению (10.10), так и уравнению (10.20a).
*) Уравнения (10.20b) можно записать в таком виде, что достаточность этих уравнений для устранения неопределенности в коэффициентах $a_{j k}$ станет ясной. Предположим, например, что мы хотим определить величину $a_{1 k}$, причем отношения $a_{j k} / a_{1 k}$ уже найдены нами из уравнений (10.15). Тсгда, записывая (10.20b) в виде
\[
\sum_{i, j} T_{i j} \frac{a_{i k}}{a_{1 k}} \frac{a_{j k}}{a_{1 k}}=\frac{1}{a_{1 k}^{2}},
\]

мы можем вычислить левую часть этого равенства и получить $a_{1 \mathrm{k}}$,

Условие (10.21) можно записать в форме матричного равенства
\[
\tilde{A} \mathrm{TA}=1 .
\]

Мы видим, что оно несколько напоминает условие ортогональности
\[
\tilde{A} \mathbf{A}=1
\]
[см. равенство (4.36)], хотя и отличается от него присутствием матрицы Т. Мы сейчас покажем, что равенство (10.21′) тоже выражает условие ортогональности, но только не в декартовой системе координат.
Обычные условия ортогональности требуют, чтобы
1) каждый из векторов $\boldsymbol{a}_{k}$ был единичным:
\[
\boldsymbol{a}_{k} \cdot \boldsymbol{a}_{k}=\sum_{j} a_{j k}^{2}=1
\]
2) два любых вектора $\boldsymbol{a}_{l}$ и $\boldsymbol{a}_{k}$ были взаимно перпендикулярны:
\[
\boldsymbol{a}_{l} \cdot \boldsymbol{a}_{k}=\sum_{j} a_{l l} a_{i k}=0 \quad(l
eq k) .
\]

Рассмотрим теперь некоторую косоугольную систему координат, и пусть метрический тензор определяемого им пространства будет равен Т. Элементы этого тензора будут величинами постоянными, и поэтому длина какого-либо вектора $\boldsymbol{a}_{k}$ будет в этом пространстве равна
\[
\boldsymbol{a}_{k} \cdot \boldsymbol{a}_{k}=\sum_{i, j} T_{i j} a_{i k} a_{i k}
\]
[см. уравнение (7.42)]. Аналогично, скалярное произведение векторов $a_{l}$ и $\boldsymbol{a}_{k}$ будет здесь равно
\[
\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{l}} \cdot \boldsymbol{a}_{k}=\sum_{i, j} T_{i j} \boldsymbol{a}_{i l} \boldsymbol{a}_{l_{k}}
\]

Сравнивая теперь эти равенства с равенствами (10.20), видим, что каждый вектор $a_{k}$ является единичным [равенство (10.20b)] и что при $l
eq k$ векторы $\boldsymbol{a}_{l}$ и $\boldsymbol{a}_{k}$ взаимно перпендикулярны [равенство (10.20a)]. Следовательно, условие (10.21′) является условием ортогональности матрицы А в пространстве конфигураций c метрическим тензором Т. В декартовом пространстве таким метрическим тензором является единичный тензор 1 , и поэтому условие (10.21′) сводится здесь к обычным условиям ортогональности.

В главе 4 мы рассматривали подобное преобразование матрицы $\mathrm{C}$ с помощью матрицы $\mathrm{B}$, определяя его равенством
\[
\mathrm{C}^{\prime}=\mathrm{BCB}^{-1}
\]

[см. равенство (4.4.1)]. Теперь мы введем понятие конгруэнтного преобразования матрицы, понимая под ним преобразование
\[
\mathrm{C}^{\prime}=\tilde{\mathrm{A} C A},
\]

где $\mathrm{C}$ – преобразуемая матрица, а $\mathrm{A}$ – преобразующая. (Если матрица $\mathrm{A}$ ортогональна, то $\tilde{\mathrm{A}}=\mathrm{A}^{-1}$, и между этими преобразованиями нет разницы, что становится ясным, если обозначить $A^{-1}$ через В.) Поэтому равенство (10.21′) можно рассматривать как выражение того факта, что конгруэнтное преобразование матрицы $T$ с помощью матрицы $A$ превращает ее в единичную матрицу.

Если ввести диагональную матрицу $\lambda$ с элементами $\lambda_{l k}=$ $=\lambda_{k} \delta_{l k}$, то уравнения (10.15) можно будет записать в виде
\[
\sum_{j} V_{i j} a_{i k}=\sum_{i, l} T_{i j} a_{l i} \lambda_{l k}
\]

что эквивалентно матричному уравнению
\[
\mathrm{VA}=\mathrm{TA} \lambda .
\]

Умножая его слева на $\tilde{\mathrm{A}}$ получаем:
\[
\tilde{A} V A=\tilde{A} T A \lambda
\]

или, учитывая ( $\left.10.21^{\prime}\right)$ :
\[
\tilde{A} \vee A=\lambda .
\]

Полученное равенство показывает, что конгруэнтное преобразование матрицы $V$ с помощью матрицы $\mathbf{A}$ превращает ее в диагональную матрицу $\lambda$, элементами которой являются собственные значения $\lambda_{k}$.

Таким образом, матрица А диагонализирует и T и V. Возвращаясь теперь к интерпретации $T$ как метрического тензора пространства конфигураций, мы можем дать следующее истолкование процессу диагонализации: 1) Матрица А есть матрица линейного преобразования, осуществляющего переход от косоугольной системы координат к прямоугольной. (Это видно из того факта, что матрица преобразованного метрического тензора равна 1.) 2) Оси новой системы координат являются главными осями $\vee$, т. е. матрица V является в них диагональной. Следовательно, процесс получения основных частот малых колебаний сводится к некоторому преобразованию главных осей, подобному тому, которое рассматривалось в главе 5.

Остается рассмотреть случай кратных корней векового уравнения, что интересно не столько в практическом отношении, сколько в математическом. Легко видеть, что уравнения (10.15) не определят тогда даже отношения составляющих $a_{j k}$. Пусть,
например, собственное значение $\lambda_{k}$ является двукратным. Тогда две любые составляющие $a_{j k}$ можно выбрать совершенно произвольно, а остальные определятся уравнениями (10.15). В качестве иллюстрации рассмотрим систему с двумя степенями свободы. Вековое уравнение ее будет иметь вид

или
\[
\left|\begin{array}{ll}
V_{11}-\lambda T_{11} & V_{12}-\lambda T_{12} \\
V_{12}-\lambda T_{12} & V_{22}-\lambda T_{22}
\end{array}\right|=0,
\]
\[
\left(V_{12}-\lambda T_{12}\right)^{2}-\left(V_{11}-\lambda T_{11}\right)\left(V_{22}-\lambda T_{22}\right)=0 .
\]

Предположим теперь, что матрицы $\mathrm{T}$ и $\mathrm{V}$ таковы, что
\[
\frac{V_{12}}{T_{12}}=\frac{V_{11}}{T_{11}}=\frac{V_{22}}{T_{22}}=\lambda_{0} .
\]

Тогда это уравнение можно будет записать в виде
\[
\left(T_{12}^{2}-T_{11} T_{22}\right)\left(\lambda_{0}-\lambda\right)^{2}=0,
\]

показывающем, что $\lambda_{0}$ является его двукратным корнем. Уравнения (10.10) будут здесь иметь вид:
\[
\begin{array}{l}
\left(V_{11}-\lambda_{0} T_{11}\right) a_{1}+\left(V_{12}-\lambda_{0} T_{12}\right) a_{2}=0, \\
\left(V_{12}-\lambda_{0} T_{12}\right) a_{1}+\left(V_{22}-\lambda_{0} T_{22}\right) a_{2}=0,
\end{array}
\]

и согласно (10.26) все их коэффициенты равны нулю. Следовательно, любые числа $a_{1}$ и $a_{2}$ будут удовлетворять этим уравнениям. Поэтому даже при нормирующем требовании (10.20b) здесь все же будет бесконечно много собственных векторов. Вообще ясно, что при двукратном корне $\lambda$ число этих векторов будет равно $\infty$, при трехкратном будет равно $\infty^{2}$ и т. д.

В случае кратных корней произвольно выбранная пара собственных векторов не будет, конечно, ортогональной. Тем не менее, пару таких вектсров всегда можно образовать, и ее всегда можно использовать для получения ортогональной матрицы А. Рассмотрим для простоты процедуру, которой нужно здесь следовать в случае двукратного корня $\lambda$. Пусть, например, $\boldsymbol{a}_{k}^{\prime}$ и $\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{l}}^{\prime}$ два произвольных собственных вектора, соответствующих двукратному корню $\lambda$, причем $\boldsymbol{a}_{k}^{\prime}$ удовлетворяет условию (10.20b). Очевидно, любая линейная комбинация этих векторов также будет собственным вектором, соответствующим корню $\lambda$. Поэтому мы образуем вектор
\[
a_{l}=c_{1} a_{k}^{\prime}+c_{2} a_{l}^{\prime}
\]

и постараемся так выбрать коэффициенты $c_{1}$ и $c_{2}$, чтобы $a_{l}$ было ортогонально $\boldsymbol{a}_{k}^{\prime}$. Переходя для этого от векторов к их составляющим, запишем (10.27) в виде
\[
a_{i l}=c_{1} a_{i k}^{\prime}+c_{2} a_{i l}^{\prime} \text {. }
\]

Умножая теперь (10.27′) на $T_{i j} a_{j k}^{\prime}$ и производя суммирование по $i$ и $j$, получаем:
\[
\sum_{i, j} T_{i j} a_{i l} a_{j k}^{\prime}=c_{1}+c_{2} \sum_{i, j} T_{i j} a_{i l}^{\prime} a_{j k}^{\prime} .
\]

Но, чтобы удовлетворить условию ортогональности (10.20a), левая часть этого равенства должна быть равна нулю. Поэтому коэффициенты $c_{1}$ и $c_{2}$ должны удовлетворять условию
\[
\frac{c_{1}}{c_{2}}=-\sum_{i, j} T_{i j} a_{i l}^{\prime} a_{j k}^{\prime}
\]

Другое уравнение, связывающее коэффициенты $c_{1}$ и $c_{2}$, получается из условия, что $a_{l}$ должно удовлетворять нормирующему условию (10.20b). Таким путем мы получим два уравнения, определяющих коэффициенты $c_{1}$ и $c_{2}$, а следовательно, и вектор $a_{l}$. Что касается собственных векторов, соответствующих другим $\lambda$, то как $\boldsymbol{a}_{l}$, так и $\boldsymbol{a}_{k} \equiv \boldsymbol{a}_{k}^{\prime}$ будут, конечно, им ортогональны, так как теперь будет справедлива аргументация, которой мы пользовались в равенстве $\left(10.17^{\prime}\right)$. Следовательно, таким способом можно получить $n$ собственных векторов $\boldsymbol{a}_{j}$, составляющие которых будут образовывать матрицу $A$, удовлетворяющую условию (10.21′).

Аналогичную процедуру можно применить и в случае корня более высокой кратности. Пусть, например, $\lambda$ будет $m$-кратным корнем векового уравнения. В этом случае нам нужно будет получить $m$ ортогональных и нормированных собственных векторов $\boldsymbol{a}_{1}, \ldots, \boldsymbol{a}_{m}$. Для этого достаточно взять $m$ любых собственных векторов $\boldsymbol{a}_{1}^{\prime}, \ldots, \boldsymbol{a}_{m}^{\prime}$ и образовать из них соответствующие линейные комбинации. Вектор $a_{1}$ можно получить тогда, умножая $\boldsymbol{a}_{1}^{\prime}$ на соответствующий коэффициент. После этого можно образовать вектор $\boldsymbol{a}_{2}$, составляя линейную комбинацию векторов $\boldsymbol{a}_{1}^{\prime}$ и $\boldsymbol{a}_{2}^{\prime}$, и т. д. Число постоянных, подлежащих при этом определению, будет равно сумме $m$ первых целых чисел, т. е. $\frac{1}{2} m(m+1)$. Но так как эти постоянные должны удовлетворять $m$ условиям нормирования и $\frac{1}{2} m(m-1)$ условиям ортогональности, то в общей сложности у нас получится ровно столько условий, сколько нужно иметь для определения всех этих постоянных.

Этот процесс ортогонализации собственных векторов, соответствующих кратному корню $\lambda$, такой же, как процесс ортогонализации произвольной системы функций. Он также подобен процессу, которым мы пользовались в главе 5 в случае кратных собственных значений тензора инерции. Поэтому неопределенность, вносимую в выбор векторов $\boldsymbol{a}$ двукратным корнем $\lambda$, можно объяснить тем, что все векторы некоторой плоскости оказываются при этом собственными. В этом случае мы просто выбираем в этой плоскости два любых перпендикулярных направления и принимаем их за новые главные оси. Собственные векторы матрицы А будут тогда ортами этих осей.

Частоты, относящиеся к кратным корням векового уравнения, часто называют вырождающимися. Следует, однако, заметить, что этот термин имеет здесь не тот смысл, какой придавался ему в предыдущей главе, так как там мы считали частоты вырождающимися даже в том случае, когда они различны, лишь бы только они были соизмеримы.