Методы, изложенные нами в предыдущих параграфах, были развиты для исследования непрерывных механических систем, например упругих тел. Однако эти методы можно использовать и для получения уравнений поля, так как с математической точки зрения поле представляет одну или несколько независимых функций от $x_{j}$ и $t$, и их можно рассматривать как обобщенные координаты $\eta_{j}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t\right)$. Заметим, что некоторые поля, встречающиеся в физике, можно действительно связать с движением некоторой непрерывной среды. Таким является, например, звуковое «поле», связанное с продольными колебаниями частиц материальной среды. Точно так же электромагнитное поле долгое время связывалось с упругими колебаниями, неведомого эфира, и лишь в последнее время стало ясно, что эфир играет лишь роль объекта, к которому относятся слова «передавать возмущение» (по выражению С. Л. Квимби).

Если вариационные методы, изложенные в предыдущих параграфах, не связывать с понятием непрерывной механической системџ, то они могут служить для получения уравнений пространственно-временно́го поля. Принцйп Гамильтона будет тогда служить компактным выражением свойств этого поля.

Так как удельный лагранжиан мы не будем теперь связывать с определенной механической системой, то он не обязательно должен быть равен разности удельных энергий – кинетической и потенциальной. Вместо этого мы можем взять для $\mathfrak{R}$ любое выражение, приводящее к нужным уравнениям поля. Рассмотрим, например, поле, возникающее при звуковых колебания газа. В $\$ 11.3$ при описании этого поля мы рассматривали перемещения отдельных частиц газа и принимали эти перемещения за обобщенные координаты. Однако это поле является, в сущности, скалярным, так как для его исследования можно пользоваться лишь одной величиной – скаляром $\sigma$, представляющим относительное изменение плотности. Поэтому о является здесь естественной координатой, и именно через нее должна выражаться величина $\mathfrak{R}$. При этом $\mathfrak{R}$ должно быть таким, чтобы полученное из него уравнение совпадало с волновым уравнением (11.43). Легко видеть, что этому условию удовлетворяет следующее выражение для $\boldsymbol{R}$ :
\[
\Omega=\frac{1}{2}\left[\frac{\mu_{0}}{\gamma P_{0}} \dot{\sigma}^{2}-(
abla \sigma)^{2}\right]=\frac{\mu_{0}}{2 \gamma P_{0}} \dot{\sigma}^{2}-\frac{1}{2} \sum_{k}\left(\frac{\partial \sigma}{\partial x_{k}}\right)^{2} .
\]

Действительно, согласно (11.61) имеем:
\[
\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \sigma}=0, \quad \frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \dot{\sigma}}=\frac{\mu_{0} \dot{\sigma}}{\gamma P_{0}}, \quad \frac{\partial \mathcal{R}}{\partial\left(\frac{\partial \sigma}{\partial x_{k}}\right)}=-\frac{\partial \sigma}{\partial x_{k}} .
\]

Поэтому уравнение (11.17) будет здесь иметь вид
\[
\frac{\mu_{0}}{\gamma P_{0}} \frac{\partial^{2} \sigma}{\partial t^{2}}-\sum_{k} \frac{\partial^{2} \sigma}{\partial x_{k}^{2}}=0,
\]

что совпадает с уравнением (11.43). Заметим, что выражение (11.61) не совпадает с выражением (11.40), полученным нами для $\mathfrak{R}$ в $§ 11.3$. Кроме того, ни один из членов выражения (11.61) не является удельной кинетической или удельной потенциальной энергией. Тем не менее, мы видим, что $\&$ приводит к правильному волновому уравнению, т. е. удовлетворяет поставленной цели.

Для описания звукового поля можно также пользоваться удельным ғамильтонианом
\[
\mathfrak{g}=\frac{1}{2}\left[\frac{\gamma P_{0}}{\mu_{0}} \pi^{2}+(
abla \sigma)^{2}\right] .
\]

Легко видеть, что это выражение приводит к нужному нам уравнению поля, хотя оно и отличается от (11.53) и не выражает плотности энергии механической системы.

В качестве более сложного примера образования лагранжиана рассмотрим электромагнитное поле в вакууме. В этом случае $\boldsymbol{E}=\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{H}$ (в единицах Гаусса), и уравнения Максвелла (1.55) принимают вид
\[
\begin{array}{ll}

abla \cdot \boldsymbol{B}=0, &
abla \times \boldsymbol{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}=0, \\

abla \cdot \boldsymbol{E}=4 \pi \rho, \quad
abla \times \boldsymbol{B}-\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}=\frac{4 \pi j}{c} .
\end{array}
\]

Первая пара этих уравнений, т. е. уравнения (11.63), эквивалентна следующим:
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{E} & =-
abla \varphi-\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}, \\
\boldsymbol{B} & =
abla \times \boldsymbol{A},
\end{aligned}
\]

которые выражают тот факт, что поле имеет скалярный и векторный потенциалы. В противоположность этому уравнения (11.64) описывают процесс образования и изменения поля под действием зарядов и токов. Поэтому именно их мы будем рассматривать как уравнения поля. Так как шесть составляющих этого поля не являются независимыми, но могут быть выражены через четыре составляющие потенциалов, то в качестве обобщенных координат этого поля выберем потенциалы $\boldsymbol{A}$ и $\varphi$.

Покажем теперь, что уравнения (11.64) можно получить с помощью удельного лагранжиана
\[
\Omega=\frac{E^{2}-B^{2}}{8 \pi}-\rho \varphi+\frac{\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{A}}{c},
\]

где $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{B}$ – правые части равенств (1.58) и (1.57). Вычисляя для этого производные $\&$ по $\varphi$ и по $\frac{\partial \varphi}{\partial x_{k}}$, будем иметь:
\[
\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \varphi}=-\rho \quad \text { и } \quad \frac{\partial \mathcal{R}}{\partial\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{k}}\right)}=\frac{E_{k}}{4 \pi} \frac{\partial E_{k}}{\partial\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{k}}\right)}=-\frac{E_{k}}{4 \pi} .
\]

Но так как производные $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$ вообще не входят в $\mathcal{R}$, то уравнение Лагранжа, соответствующее координате $\varphi$, будет иметь вид
\[
\frac{1}{4 \pi} \sum_{k} \frac{\partial E_{k}}{\partial x_{k}}-\rho=0, \text { или }
abla \cdot \boldsymbol{E}=4 \pi \rho,
\]

что совпадает с первым из уравнений (11.64). Получим теперь уравнения Лагранжа для составляющих вектора $\boldsymbol{A}$. Рассмотрим для этого одну из таких составляющих, например $A_{1}$. Вычисляя связанные с ней производные $\mathfrak{R}$, получим:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial R}{\partial A_{1}}=\frac{\dot{j}_{1}}{c}, \quad \frac{\partial R}{\partial \dot{A}_{1}}=\frac{E_{1}}{4 \pi} \frac{\partial E_{1}}{\partial \dot{A}_{1}}=-\frac{E_{1}}{4 \pi c}, \\
\frac{\partial R}{\partial\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)}=-\frac{1}{4 \pi} B_{3} \frac{\partial B_{3}}{\partial\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)}=\frac{B_{3}}{4 \pi}, \quad \frac{\partial R}{\partial\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right)}=-\frac{B_{2}}{4 \pi} .
\end{array}
\]

Поэтому уравнение Лагранжа, соответствующее координате $A_{1}$, будет иметь вид
\[
\frac{1}{4 \pi}\left(\frac{\partial B_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial B_{2}}{\partial x_{3}}\right)-\frac{1}{4 \pi c} \frac{d E_{1}}{d t}-\frac{j_{1}}{c}=0 .
\]

Легко видеть, что, проектируя уравнение
\[
(
abla \times \boldsymbol{B})-\frac{1}{c} \frac{d \boldsymbol{E}}{d t}=\frac{4 \pi \boldsymbol{j}}{c}
\]

на ось $x_{1}$, мы получаем точно такой же результат. Следовательно, для координаты $A_{1}$ мы получили нужное нам уравнение и точно также могли бы получить уравнения и для координат $A_{2}$ и $A_{3}$. Таким образом, удельный лагранжиан (11.65) приводит к уравнениям Максвелла (11.64)*).
Плотность тока можно записать в виде
\[
j=\rho \boldsymbol{v}
\]

где $\rho$ – плотность заряда, а $v$ – его скорость, являющаяся некоторой функцией $r$. Учитывая это соотношение и интегрируя (11.65), мы получаем следующее выражение для полного лагранжиана электромагнитного поля:
\[
L=\int\left\{\frac{E^{2}-B^{2}}{8 \pi}-\rho\left(\varphi-\frac{\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{A}}{c}\right)\right\} d V .
\]

Следует заметить, что выражение, стоящее в круглых скобках, уже встречалось нам при вычислении лагранжиана заряженной частицы в электромагнитном поле [см. уравнение (1.61)]. Таким образом, эта часть $L$ является обобщенным потенциалом заряженной точки.

Если в поле имеется заряженная частица, то ее масса и заряд будут сконцентрированы в одной точке пространства. Следовательно, плотность ее заряда должна равняться нулю всюду, кроме этой точки, где эта плотность должна быть бесконечной. Однако объемный интеграл от этой плотности должен равняться полному заряду рассматриваемой частицы. Поставленному условию удовлетворяет известная $\delta$-функция Дирака, определяемая равенствами
\[
\left.\begin{array}{rl}
\delta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}\right) & =0 \quad\left(\boldsymbol{r}
eq \boldsymbol{r}_{1}\right), \\
\delta \delta\left(r-r_{1}\right) d V & =1,
\end{array}\right\}
\]
*) В некоторых отношения электромагнитное поле представляет собой неудачный пример. Одной из трудностей здесь является отсутствие в $\mathfrak{Q}$ производной $\dot{\varphi}$ и, следовательно, отсутствие канонического импульса, соответствующего $\varphi$, что затрудняет применение метода Гамильтона, изложенного в § 11.4. В сущности, источник появляющихся здесь трудностей заключается в том, что скалярный и векторный потенциалы являются не вполне независимыми, так как они связаны между собой так называемым калибровочным условием. Оно является дополнительным условием, позволяющим исключить одну из обобщённых координат и оставить только независимые координаты. Подробнее смотри об этом в книге: G. Went zel, Introduction to the Quantum Theory of Fields. (Имеется русский перевод: Вентцель, Введение в квантовую теорию волновых полей, Гостехиздат, 1947.)

где $\boldsymbol{r}_{1}$ – радиус-вектор данной частицы. Из этих равенств следует также, что если $f(\boldsymbol{r})$ есть некоторая функция $\boldsymbol{r}$, то
\[
\int f(\boldsymbol{r}) \delta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}\right) d V=f\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) .
\]

Поэтому для группы из $n$ частиц функция плотности $\rho(\boldsymbol{r})$ будет иметь вид
\[
\rho(r)=\sum_{i=1}^{n} q_{i} \delta\left(r-r_{i}\right)
\]

где $q_{i}$ – заряд $i$-й частицы, а $\boldsymbol{r}_{i}$ – ее радиус-вектор.
Из (11.70) следует, что если $\rho(\boldsymbol{r})$ определяется формулой (11.71), то интеграл

равен
\[
\int \rho(\boldsymbol{r})\left\{\varphi(\boldsymbol{r})-\frac{\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})}{c}\right\} d V
\]
\[
\sum_{i} q_{i}\left[\varphi\left(\boldsymbol{r}_{i}\right)-\frac{\boldsymbol{v}_{i} \cdot \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{r}_{i}\right)}{c}\right] .
\]

Следовательно, если в поле имеется $n$ заряженных частиц, то полный лігранжиан этого поля будет иметь вид
\[
L=\int \frac{E^{2}-B^{2}}{8 \pi} d V-\sum_{i} q_{i}\left(\varphi_{i}-\frac{\boldsymbol{v}_{i} \cdot \boldsymbol{A}_{i}}{c}\right)
\]
( $\varphi_{i}$ и $\boldsymbol{A}_{i}$ берутся при $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{i}$ ). Сравнивая выражения (11.72) и (1.61), видим, что входящая в (11.72) сумма есть обобщенный потенциал системы, состоящей из $n$ заряженных частиц. Поэтому можно объединить лагранжианы (1.61) и (11.72), добавив $\kappa(11.72)$ кинетическую энергию этих частиц:
\[
L=\int \frac{E^{2}-B^{2}}{8 \pi} d V-\sum_{i} q_{i}\left(\varphi_{i}-\frac{\boldsymbol{v}_{i} \cdot \boldsymbol{A}}{c}\right)+\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2},
\]

что можно записать также в виде
\[
L=\int\left\{\frac{E^{2}-B^{2}}{8 \pi}-\sum_{i} q_{i} \delta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{i}\right)\left(\varphi-\frac{\boldsymbol{v}_{i} \cdot \boldsymbol{A}}{c}\right)\right\} d V+\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} .
\]

Это выражение, так же как и выражение (11.73), является лагранжианом системы, состоящей из электромагнитного поля и $n$ заряженных частиц. Оно является функцией обобщенных координат $\varphi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ и $\boldsymbol{A}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$, а также обобщенных координат $\boldsymbol{r}_{i}$. Таким образом, мы одновременно описываем две системы: электромагнитное поле и находящиеся в нем частицы. Пользуясь теперь принципом Гамильтона и варьируя только потенциалы, получим уравнения Максвелла для электромагнитного поля, а варьируя координаты частиц, получим уравнения движения этих частиц. Заметим, что первый член выражения (11.73) представляет собой лагранжиан поля в случае отсутствия заряженных частиц, а последний – лагранжиан этих частиц в случае отсутствия поля. Средний член этого выражения, очевидно, отражает взаимодействие поля и заряженных частиц.

Мы видели, что вариационные принципы позволяют получить компактное и изящное описание поля. Может, однако, возникнуть вопрос: каковы практические преимущества этого метода по сравнению с методом непосредственного составления уравнений поля? На это следует ответить, что наиболее важные преимущества проявляются здесь в области, лежащей за пределами классической физики. Поэтому мы остановимся на них совсем кратко.

Во-первых, этот метод позволяет получать новые поля и исследовать их свойства. Дело в том, что при выборе возможного выражения для $\mathcal{R}$ мы всегда ограничены тем требованием, что $\mathcal{R}$ должно содержать только координаты и их первые производные по $x_{i}$ и $t$ и, кроме того, должно быть инвариантом Лоренца. Пусть, например, имеется только одна обобщенная координата $\eta$, которая должна быть инвариантным скаляром (или псевдоскаляром). Тогда указанным требованиям будут отвечать только члены вида
\[
\eta, \quad \sum_{\mu}\left(\frac{\partial \eta}{\partial x_{\mu}}\right)^{2}, \sum_{\mu} A_{\mu} \frac{\partial \eta}{\partial x_{\mu}},
\]

где $A_{\mu}$ – внешний инвариантный вектор (или псевдовектор). Поэтому в случае скалярного поля любое $\mathfrak{R}$ должно быть комбинацией этих членов. Этим путем можно исследовать многие общие свойства такого скалярного поля, не зная его физической сущности. Последнее время этим методом часто пользуются в теоретических работах по полям мезонов.

Второе применение рассматриваемого метода относится к квантованию полей. Мы знаем, что переход от классической теории к квантовой можно осуществить через канонические переменные системы. Мы отмечали, что классическим скобкам Пуассона от функций канонических координат соответствуют при этом квантовые коммутационные соотношения. В сущности, мы только тогда умеем квантовать систему, когда можем говорить о ней на языке механики. Поэтому, если мы хотим построить квантовую. теорию электромагнитного или какого-либо другого поля, то сначала нужно получить его описание на языке механики. Основу для такого описания дают методы Лагранжа и Гамильтона, изложенные в этой главе,

3 А ДАч и

1. (a) Поперечные колебания растянутой струны можно аппроксимировать колебаниями системы, состоящей из равноотстоящих материальных точек, расположенных на невесомой упругой нити. Покажите, что при сближении этих точек лагранжиан такой системы стремится к пределу
\[
L=\frac{1}{2} \int\left[\mu \dot{\eta}^{2}-T\left(\frac{\partial \eta}{\partial x}\right)^{2}\right] d x
\]

где $T$-первоначальное натяжение струны. Каковы здесь уравнения движения, если плотность $\mu$ есть функция $x$ ?
(b) Получите лагранжиан для непрерывной струны, рассмотренной в задаче (а), непосредственно вычисляя ее кинетическую и потенциальную энергии. (Потенциальная энергия равна работе силы $T$ при растяжении струны во время колебаний.)
2. Получите уравнения Гамильтона для непрерывной системы, исходя из модифицированного принципа Гамильтона (11.58) и следуя процедуре, описанной в $\S 7.4$.
3. Покажите, что если за независимые переменные поля принять $\psi$ и $\psi^{*}$, то удельный лагранжиан
\[
\mathfrak{Q}=\frac{h^{2}}{8 \pi^{2} m}
abla \psi \cdot
abla \psi^{*}+V \psi^{*} \psi+\frac{h}{4 \pi i}\left(\psi^{*} \dot{\psi}-\psi \dot{\psi}^{*}\right)
\]

приведет к уравнению Шредингера
\[
-\frac{h^{2}}{8 \pi^{2} m}
abla^{2} \psi+V \psi=\frac{h}{4 \pi i} \frac{\partial \psi}{\partial t}
\]

и к соответствующему комплексно сопряженному уравнению. Каков здесь канонический импульс? Получите удельный гамильтониан, соответствующий этому $\mathfrak{Q}$.
4. Покажите, что если удельный гамильтониан не является явной функцией $\eta_{k}$, то интеграл
\[
G_{i}=-\int \sum_{k} \pi_{k} \frac{\partial \eta_{k}}{\partial x_{i}} d V
\]

будет величиной постоянной.
Величина $G_{i}$ является аналогом полного количества движения поля в направлении $x_{i}$, а эта теорема – аналогом теоремы о сохранении количества движения дискретных систем (см. §8.6).
5. Удельный лагранжиан электромагнитного поля дается релятивистской ковариантной формой
\[
\mathcal{E}=-\frac{1}{16 \pi} \sum_{\mu,
u}\left(\frac{\partial A_{\mu}}{\partial x_{v}}-\frac{\partial A_{v}}{\partial x_{\mu}}\right)^{2}-\frac{1}{8 \pi} \sum_{\mu}\left(\frac{\partial A_{\mu}}{\partial x_{\mu}}\right)^{2}+\sum_{\mu} \frac{j_{\mu} A_{\mu}}{c},
\]

где $A_{\mu}$-4-вектор потенциала, а $i_{\mu}-4$-вектор с составляющими $i$ и $i \rho$. Покажите, ч1о этот лагранжиан приводит непосредственно к волновым уравнениям
\[
\square^{2} A_{\mu}=\frac{4 \pi j_{\mu}}{c} .
\]

Покажите также, что он идентичен лагранжиану, который рассматривался в этом параграфе (за исключением среднего члена, который в любом случае равен нулю вследствие калибровочного условия).