Хотя принцип Гамильтона в форме (2.2) можно распространить на случай неконсервативных систем и неголономных связей, однако практически этот принцип наиболее полезен тогда, когда можно составить лагранжиан из независимых координат. Вариационный принцип Гамильтона в компактной форме содержит в себе всю механику консервативных голономных систем. Кроме того, этот принцип имеет то достоинство, что в его формулировке фигурируют только такие физические величины, которые не связаны с частной системой обобщенных координат (кинетическая и потенциальная энергии). Поэтому этот принцип автоматически инвариантен относительно преобразования обобщенных координат системы.

Другое достоинство этого принципа состоит в том, что еги можно легко распространить на системы, не являющиеся чисто механическими, например, на упругие среды, электромагнитные поля, поля элементарных частиц и т. д. Позже мы рассмотрим некоторые из этих обобщений, а сейчас проиллюстрируем это на примере следующей простой системы, выходящей за обычные рамки механики. Предположим, что мы имеем систему, лагранжиан которой имеет вид
\[
L=\frac{1}{2} \sum L_{j} \dot{I}_{j}^{i}+\frac{1}{2} \sum_{\substack{j k \\ j
eq k}} M_{j k} \dot{I}_{j} \dot{I}_{k}-\sum_{j} \frac{I_{j}^{2}}{2 C_{j}}+\sum_{j} \dot{E}_{j}(t) I_{j},
\]

а диссипативная функция равна
\[
\mathfrak{F}=\frac{1}{2} \sum_{j} R_{j} \dot{I}_{j}^{?}
\]
(Обобщенными координатами $q_{j}$ здесь являются величины $I_{j}$.) Уравнения Лагранжа этой системы будут иметь вид
\[
L_{j} \frac{d^{2} I_{j}}{d t^{2}}+\sum_{\substack{k \\ j
eq k}} M_{j k} \frac{d^{2} I_{k}}{d t^{2}}+R_{j} \frac{d I_{j}}{d t}+\frac{I_{j}}{C_{j}}=\dot{E}_{j}(t) .
\]

Этим уравнениям движения можно дать, по крайней мере, две интерпретации. Пусть, например, $I_{j}$ будут силами тока, $L_{j}$ коэффициентами самоиндукции, $M_{j k}$ – коэффициентами взаимной индукции, $R_{j}$ – сопротивлениями, $C_{j}$ – емкостями и $E_{j}$ внешними электродвижущими силами. Тогда уравнения (2.39) будут описывать систему электрических контуров с индуктивной связью. Так, например, при $j=1,2,3$ мы получим три контура, схематически изображенных на рис. 15 .

С другой стороны, легко видеть, что два первых члена в выражении для $L$ представляют некоторую однородную квадратичную функцию обобщенных скоростей. Всякий раз, когда связи (голономные) системы не зависят от времени, кинетическая энергия ее $T$ имеет как раз такой вид. Коэффициенты $L_{j}$ и $M_{j k}$ играют при этом роль некоторых масс-они являются инерционными членами. Следующий член лагранжиана можно трактовать как потенциальную энергию системы пружин – гармонических вибраторов,- подчиняющихся закону Гука. Тогда упругая сила такой пружины будет равна
\[
F=-k x,
\]

а потенциальная энергия ее будет иметь вид
\[
V=\frac{k x^{2}}{2} .
\]

Поэтому коэффициенты $1 / C_{j}$ можно трактовать как жесткости этих пружин. Наконец, последний член лагранжиана можно рассматривать как потенциал, вызванный движущими силами $\dot{E}_{j}=Q_{j}$, не завися-
Рис. 15. Система электрических контуров с индуктивной связью. Эту систему можно описать с помощью уравнений Јагранжа. щими от координат, например гравитационными силами. (Силы $E_{j}$ могут, однако, зависеть от времени.) Что касается диссипативной функции (2.38), то ее можно считать вызванной наличием диссипативных (вязких) сил, пропорциональных обобщенным скоростям. Такова вторая интерпретация уравнения (2.39) [или функций (2.37), (2.38)]. Согласно этой интерпретации уравнения (2.39) описывают сложную систему масс, связанных пружинами и движущихся в вязкой жидкости под действием внешних сил. Таким образом, мы описали движение двух различных физических систем посредством одного и того же лагранжиана. Отсюда следует, что все результаты и методы исследования, связанные с одной из этих систем, могут быть непосредственно применены и к другой. Так, например, для изучения рассмотренных выше электрических контуров был разработан целый ряд специальных методов, которые применимы и соответствующим механическим системам. Таким путем было установлено много аналогий между электрическими и механическими или акустическими системами. В связи с этим термины, применяемые при описании электрических колебательных контуров (реактанс, реактивное сопротивление и т. д.), вполне допустимы и в теории механических колєбательных систем*).
*) Для более подробного ознакомления см. H. F. Olson, Dynamical Analogies, Нью-Иорк, 1946. (Имеется русский перевод: Ольсон Гарри Ф., Динамические аналогии, М., ИЛ, 1947.)

Возможны, однако, и другие обобщения классической механики, порождаемые более тонкой аналогией. Мы видели, что принцип Гамильтона дает возможность компактно и инвариантно сформулировать уравнения механического движения. Подобная возможность имеется, однако, не только в механике. Почти во всех областях физики можно сформулировать вариационные принципы, позволяющие получить «уравнения движения», будь то уравнения Ньютона, уравнения Максвелла или уравнения Шредингера. Если подобные вариационные принципы положить в основу соответствующих областей физики, то все такие области будут обладать в известной степени структурной аналогией. И если результаты экспериментов указывают на необходимость изменения физического содержания той или иной теории, то эта аналогия часто показывает, как следует произвести подобные изменения в других областях. Так, например, эксперименты, выполненные в начале этого века, указали на то, что как электромагнитное излучение, ‘так и элементарные частйцы обладают квантовой природой. Однако методы квантования были сначала развиты для механики элементарных частиц, описываемой классическими уравнениями Лагранжа. Если электромагнитное поле описывать с помощью лагранжиана и вариационного принципа Гамильтона, то методами квантования элементарных частиц можно будет воспользоваться для построения квантовой электродинамики (см. §11.5).