Виртуальным (бесконечно малым) перемещением системы называется произвольное бесконечно малое изменение ее конфигурации, согласующееся со связяи, наложенными на нее в данный момент $t$. Виртуальным это перемещение называют для того, чтобы отличить его от действительного перемещения, происходящего за некоторый промежуток времени $d t$, в течение которого силы и связи могут измениться. Пусть система находится в равновесии, т. е. полная сила, действующая на каждую ее точку, равна нулю. Тогда будем иметь $\boldsymbol{F}_{i}=0$ и, следовательно, произведение $\boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i}$, равное работе силы $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}}$ на виртуальном перемещении $\delta \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{i}}$, также будет равно нулю. Сумма таких произведений, взятая по всем точкам системы, также должна быть равна нулю:
\[
\sum_{i} F_{i} \cdot \delta r_{i}=0
\]

В полученном равенстве еще нет нового физического содержания. Чтобы получить его, разобьем $\boldsymbol{F}_{i}$ на активную силу $\boldsymbol{F}_{i}^{(a)}$ и реакцию связи $f_{i}$ :
\[
\boldsymbol{F}_{i}=\boldsymbol{F}_{i}^{(a)}+\boldsymbol{f}_{i},
\]

и уравнение (1.38) примет вид
\[
\sum_{i} F_{i}^{(a)} \cdot \delta r_{i}+\sum_{i} f_{i} \cdot \delta r_{i}=0 .
\]

Мы будем рассматривать лишь такие системы, для которых виртуальная работа реакций связи равна нулю. Қак мы знаем, это условие справедливо для любого твердого тела. Однако оно справедливо и для большого числа других систем. Пусть, например, на точку наложена связь, заставляющая ее оставаться на заданной поверхности. Тогда реакция связи будет перпендикулярной к этой поверхности, а виртуальное перемещение точки будет касательным к ней, следовательно, виртуальная работа реакции будет равна нулю. Следует заметить, что это утверждение перестает быть справедливым при наличии силы трения, и такие системы мы должны исключнть из нашего рассмотрения. Однако это ограничение не является очень сильным, так как трение представляет в сущности макроскопическое явление.

Таким образом, мы получаем следующее условие равновесия системы:
\[
\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i}^{(a)} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i}=0 .
\]

Согласно этому условию виртуальная работа активных сил, приложенных к уравновешенной системе, равна нулю. Принцип, выражаемый уравнением (1.41), часто называют принципом виртуальных работ. Заметим, что коэффициенты при $\delta r_{i}$ в уравнении (1.41) уже не равны нулю, ибо в общем случае $\boldsymbol{F}_{i}^{(a)}
eq 0$. Это связано с тем, что перемещения $\delta \boldsymbol{r}_{i}$ не являются независимыми, так как они подчинены соотношениям, накладываемым на них связями. Для того чтобы приравнять эти коэффициенты нулю, нужно так записать уравнение (1.41), чтобы в нем фигурировали не виртуальные перемещения $\delta r_{i}$, а виртуальные изменения независимых координат $q_{i}$.

Уравнение (1.41) удовлетворяет требованиям, которые мы поставили в начале этого параграфа: оно не содержит реакций $f_{i}$. Однако уравнение (1.41) относится лишь к случаю равновесия, а нам нужно получить принцип, справедливый для общего случая движения. Чтобы получить такой принцип, мы применим прием, предложенный Яковом Бернулли и развитый впоследствии Даламбером.
Уравнения движения
\[
\boldsymbol{F}_{i}=\dot{\boldsymbol{p}}_{i}
\]

можно записагь в виде
\[
\boldsymbol{F}_{i}-\dot{\boldsymbol{p}}_{i}=0
\]

и трактовать его как уравнение равновесия $i$-й точки системы под действием реальной силы $\boldsymbol{F}_{i}$ и «эффективной силы»- $\dot{\boldsymbol{p}}_{i}$. Встав на такую точку зрения, мы можем свести динамику к ста: тике. Тогда вместо (1.38) мы будем иметь
\[
\sum_{i}\left(\boldsymbol{F}_{i}-\dot{\boldsymbol{p}}_{i}\right) \cdot \delta r_{i}=0
\]

и, разбив силу $\boldsymbol{F}_{i}$ на активную силу $\boldsymbol{F}_{i}^{(a)}$ и реакцию связи $\boldsymbol{f}_{i}$, получим
\[
\sum_{i}\left(\boldsymbol{F}_{i}^{(a)}-\dot{p}_{i}\right) \cdot \delta r_{i}+\sum_{i} f_{i} \cdot \delta r_{i}=0 .
\]

Здесь мы опять ограничимся системами, для которых виртуальная работа сил $f_{i}$ равна нулю. Окончательно будем иметь
\[
\sum_{i}\left(F_{i}^{(a)}-\dot{p}_{i}\right) \cdot \delta r_{i}=0 .
\]

Полученное равенство часто называют принципом Даламбера *). Таким образом, мы достигли нашей цели: реакции связи более не входят в наши уравнения, и индекс (a) теперь можно опустить, не боясь недоразумений. Однако мы еще не получили уравнений движения в достаточно удобной форме. Для этого нам нужно привести уравнение (1.42) к такому виду, при котором оно будет содержать виртуальные вариации $\delta q_{i}$ независимых обобщенных координат $q_{i}$ (для голономных связей). Тогда каждый из коэффициентов при $\delta q_{i}$ мы сможем приравнять нулю и получить таким путем уравнения движения.
Переход от $\boldsymbol{r}_{i}$ к $q_{i}$ совершается по формуле
\[
\boldsymbol{r}_{i}=\boldsymbol{r}_{\boldsymbol{i}}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t\right)
\]
( $n$ – число независимых координат). Для скорости $v_{i} \equiv \dot{r}_{i}$ при этом получается выражение
\[
\boldsymbol{v}_{i}=\sum_{j} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial t} .
\]

Точно так же произвольное виртуальное перемещение $\delta \boldsymbol{r}_{i}$ можно связать с вариациями $\delta q_{j}$ соотношением
\[
\delta \boldsymbol{r}_{i}=\sum_{i} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}} \delta q_{j} .
\]

Заметим, что в этом равенстве не содержится вариация времени $\delta t$, так как по определению виртуального перемещения оно обусловливается только изменениями координат $q_{i}$.

Виртуальная работа сил $\boldsymbol{F}_{i}$ выражается через координаты $q_{i}$ следующим образом:
\[
\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta r_{i}=\sum_{i, j} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}} \delta q_{i}=\sum_{j} Q_{j} \delta q_{j},
\]

где $Q$-так называемые обобщенные силы, равные
\[
Q_{i}=\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}} .
\]

Заметим, что подобно тому, как обобщенные координаты $q_{j}$ не обязательно должны иметь размерность длины, обобщенные
*) Обычно этот принцип называют принципом Даламбера – Лагранжа. (Прим. перев.)

силы $Q_{j}$ не обязательно имеют размерность силы. Однако про изведение $Q_{j} \delta q_{j}$ всегда имеет размерность работы
Рассмотрим теперь другой член уравнения (1.42), равный
\[
\sum_{i} \dot{p}_{i} \cdot \delta r_{i}=\sum_{i} m_{i} \ddot{r}_{i} \cdot \delta r_{i}
\]

Выражая $\delta r_{i}$ согласно (1.44), его можно записать в виде
\[
\sum_{i, j} m_{i} \ddot{r}_{i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}} \delta q_{j}
\]

Рассмотрим теперь сумму
\[
\sum_{i} m_{i} \ddot{r}_{i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}=\sum_{i}\left\{\frac{d}{d t}\left(m_{i} \boldsymbol{r}_{i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right)-m_{i} \dot{\boldsymbol{r}}_{i} \cdot \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right)\right\} .
\]

В последнем члене этого равенства можно поменять порядок дифференцирования по $t$ и по $q_{j}$, так как
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right)=\sum_{k} \frac{\partial^{2} \boldsymbol{r}_{l}}{\partial q_{j} \partial q_{k}} \dot{q}_{k}+\frac{\partial^{2} \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j} \partial t},
\]

что согласно (1.43) равно $\frac{\partial v_{i}}{\partial q_{j}}$. Кроме того, из (1.43) видно, что
\[
\frac{\partial v_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}=\frac{\partial r_{i}}{\partial q_{j}} .
\]

Совершая все описанные преобразования, мы для суммы получаем:
\[
\sum_{i} m_{i} \ddot{r}_{i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}=\sum_{i}\left\{\frac{d}{d t}\left(m_{i} v_{i} \cdot \frac{\partial v_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-m_{i} v_{i} \cdot \frac{\partial v_{i}}{\partial q_{j}}\right\} .
\]

Таким образом, интересующий нас член уравнения (1.42) принимает вид
\[
\sum\left\{\frac{d}{d t}\left[\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{j}}\left(\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}\right)\right]-\frac{\partial}{\partial q_{j}}\left(\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}\right)\right\} \delta q_{l} .
\]

Обозначая кинетическую энергию $\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}$ через $T$, мы можем окончательно записать принцип Даламбера в виде
\[
\sum_{j}\left\{\left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}\right]-Q_{j}\right\} \delta q_{j}=0 .
\]

Пусть теперь рассматриваемые связи будут голономными (только в этом месте мы используем это предположение о голономности). Тогда координаты $q_{j}$ будут независимыми, и любая вариация $\delta q_{j}$ не будет зависеть от вариации $\delta q_{k}$. Поэтому равенство (1.49) будет иметь место тогда и только тогда, когда все коэффициенты при $\delta q_{j}$ будут обращаться в нуль, т. е. когда будут выполняться равенства
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=Q_{j} .
\]

Всего мы получим $n$ таких уравнений.
Уравнения (1.50) обычно называют уравнениями Лагранжа, однако это название часто употребляют, имея в виду случай, когда уравнения (1.50) пишутся для консервативной системы. В этом случае силы $\boldsymbol{F}_{i}$ получаются из потенциальной функции $V$ по. формуле
\[
\boldsymbol{F}_{i}=-
abla_{i} V
\]

где $V$ – потенциальная энергия системы. Обобщенные силы $Q_{j}$ могут быть записаны в виде
\[
Q_{i}=\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}=-\sum_{i}
abla_{i} V \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}} .
\]

Это выражение совпадает с выражением для частной производной функции $-V\left(\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}, \ldots, \boldsymbol{r}_{N}\right)$ по $q_{j}$. (Заметим, что $V$ может и не быть явной функцией от $t$.) Таким образом, можно написать
\[
Q_{I}=-\frac{\partial V}{\partial q_{j}} \quad\left\{\begin{array}{c}
\text { консервативные } \\
\text { системы }
\end{array}\right\},
\]

и уравнения (1.50) примут вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\frac{\partial(T-V)}{\partial \dot{q}_{j}}=0 .
\]

Далее заметим, что потенциал $V$ является функцией только положения системы и, следовательно, не зависит от обобщенных скоростей $\dot{q}_{j}$. Поэтому частную производную $\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}$ можно заменить на $\frac{\partial(T-V)}{\partial \dot{q}_{j}}$ и получить
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial(T-V)}{\partial q_{j}}\right)-\frac{\partial(T-V)}{\partial q_{j}}=0,
\]

или, вводя новую функцию – лагранжиан
\[
L=T-V,
\]

можно записать уравнения (1.50) в виде
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=0 .
\]

Во всех случаях, когда не будет сделано специальной оговорки, мы под уравнениями Лагранжа будем понимать уравнения (1.53).