Одной из задач, к которой можно применить уравнения Эйлера, является задача о движении твердого тела, не подверженного действию никаких сил. Центр масс такого тела будет находиться в покое или будет двигаться равномерно. Поэтому, не нарушая общности решения, мы можем рассмотреть движение этого тела в системе, связанной с его центром масс. Тогда центр масс этого тела будет неподвижен, и поэтому кинетический момент будет возникать только вследствие вращения вокруг центра масс. Поэтому уравнения Эйлера будут уравнениями движения этой системы, а так как мы рассматриваем случай, когда моменты сил отсутствуют, то эти уравнения примут вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
I_{1} \dot{\omega}_{x}=\omega_{y} \omega_{z}\left(I_{2}-I_{3}\right), \\
I_{2} \dot{\omega}_{y}=\omega_{z} \omega_{x}\left(I_{3}-I_{1}\right), \\
I_{3} \dot{\omega}_{z}=\omega_{x} \omega_{y}\left(I_{1}-I_{2}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Конечно, эти уравнения будут описывать также движение твердого тела с неподвижной точкой в случае отсутствия внешних моментов.

Известны два непосредственных интеграла этих уравнений, выражающих постоянство кинетической энергии и кинетического момента этого тела. С помощью этих интегралов уравнения (5.36) можно проинтегрировать в эллиптических функциях, однако этот путь не очень интересен, так как можно дать изящное геометрическое описание рассматриваемого движения, не требующее полного решения задачи. Оно известно под названием геометрической интерпретации Пуансо.

Рассмотрим координатную систему, образованную главными осями тела, и в этой системе координат рассмотрим функцию
\[
F(\boldsymbol{\rho})=\boldsymbol{\rho} \cdot \boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{\rho},
\]

где $\rho$-вектор, определенный нами в $\S 5.4$. Поверхности $F=$ = const будут тогда эллипсоидами и, в частности, поверхность $F=1$ будет эллипсоидом инерции. Так как направление оси вращения изменяется со временем, то вектор $\rho$ также будет изменять свое направление, причем конец его будет в каждый момент времени определять некоторую точку на поверхности эллипсоида инерции. Градиент функции $F$ определяет направление нормали к эллипсоиду инерции в этой точке. Исходя теперь из определения функции $F$ и учитывая, что $I$ имеет в главных осях диагональную форму, получаем следующее выражение для частной производной $F$ по $\rho_{1}$ :
\[
\frac{\partial F}{\partial \rho_{1}}=(
abla F)_{1}=2 I_{1} \rho_{1} .
\]

Но так как вектор $\rho$ можно определить также как

то будем иметь
\[
\rho=\frac{\omega}{\omega \sqrt{I}},
\]
\[
(
abla F)_{1}=\frac{2}{\omega \sqrt{I}} I_{1} \omega_{x},
\]

или
\[
(
abla F)_{1}=\frac{2}{\omega \sqrt{I}} L_{x},
\]

и аналогично
\[
\begin{array}{l}
(
abla F)_{2}=\frac{2}{\omega \sqrt{I}} L_{y}, \\
(
abla F)_{3}=\frac{2}{\omega \sqrt{I}} L_{z} .
\end{array}
\]

Следовательно, вектор ю будет изменяться таким образом, что соответствующая нормаль к эллипсоиду инерции будет параллельна вектору кинетического момента. Но в том частном случае, который мы здесь рассматриваем, направление вектора $\boldsymbol{L}$ остается неизменным, и поэтому эллипсоид инерции (жестко связанный с телом) должен двигаться в пространстве таким образом, чтобы сохранялась эта связь между $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{L}$ (рис. 54).
Рис. 54. Движение эллипсоида инерции по неподвижной длоскости.
Покажем теперь, что расстояние от центра эллипсоида инерции по плоскости, касающейся его в точке $\rho$, остается постоянным. Действительно, так как это расстояние равно проекции $\rho$ на $\boldsymbol{L}$, то оно определяется из равенства

или
\[
\frac{\rho \cdot L}{L}=\frac{\omega \cdot L}{\omega L \sqrt{I}}=\frac{2 T}{L \sqrt{I \omega^{2}}},
\]
\[
\frac{\rho \cdot \boldsymbol{L}}{L}=\frac{\sqrt{2 T}}{L} .
\]

Но кинетическая энергия $T$ и кинетический момент $L$ являются некоторыми константами рассматриваемого движения, и, следовательно, касательная плоскость будет отстоять от центра эллипсоида инерции на постоянном расстоянии. Однако так как нормаль к этой плоскости направлена вдоль $\boldsymbol{L}$ и, следовательно, имеет неизменное направление, то эта плоскость является неподвижной. Поэтому рассматриваемое движение можно реализовать посредством качения эллипсоида инерции по некоторой неподвижной плоскости; центр эллипсоида инерции находится при этом в фиксированной точке пространства. Это качение происходит без скольжения, так как точка касания эллипсоида инерции с неподвижной плоскостью определяется вектором $\rho$, который направлен по мгновенной оси вращения, т. е. по той прямой, все точки которой находятся в данный момент в покое. Кривая, описываемая на эллипсоиде инерции точкой касания, называется полодией, а аналогичная кривая на неподвижной плоскости называется герполодией *).

Геометрическая интерпретация Пуансо дает полное представление о движении тела, не подверженного действию никаких сил. Ориентация неподвижной плоскости Пуансо и ее расстояние от центра эллипсоила инерции определяется значениями $T$ и $\boldsymbol{L}$, которые находятся из начальных условий. Задача об определении полодии и герполодии становится тогда чисто геометрической задачей. Направление угловой скорости определяется направлением вектора $\boldsymbol{p}$, а мгновенная ориентация тела определяется ориентацией эллипсоида инерции, который жестко связан с движущимся телом. Подробное описание рассмотренного движения с позиций картины Пуансо можно найти в ряде различных книг **).

В случае симметричного тела эллипсоид инерции становится эллипсоидом вращения, а полодия превращается в окружность с центром на оси симметрии. Вектор угловой скорости описывает в этом случае поверхность конуса, следовательно, вектор $\boldsymbol{0}$ прецессирует вокруг оси симметрии тела.

В случае симметричного твердого тела нетрудно получить аналитическое решение, которое подтверждает прецессионный характер рассматриваемого движения, исследованного нами с помощью интерпретации Пуансо. Примем ось симметрии за ось $z$. Тогда будем иметь $I_{1}=I_{2}$, и уравнения Эйлера (5.36) примут вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
I_{1} \dot{\omega}_{x}=\left(I_{1}-I_{3}\right) \omega_{z} \omega_{y}, \\
I_{1} \dot{\omega}_{y}=-\left(I_{1}-I_{3}\right) \omega_{z} \omega_{x}, \\
I_{3} \dot{\omega}_{z}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Последнее из этих уравнений показывает, что $\omega_{z}$ является величиной постоянной и поэтому может рассматриваться как одно из известных начальных данных. Из двух остальных уравнений можно исключить $\omega_{x}$ или $\omega_{y}$, что можно сделать посредством дифференцирования одного из этих уравнений. Взяв, например, производную по времени от левой и правой части первого из уравнений (5.38), пэлучим
\[
I_{1} \ddot{\omega}_{x}=\left(I_{1}-I_{3}\right) \omega_{z} \dot{\omega}_{y} .
\]
*) Выражаясь коротко, можно сказать, что полодия катится без скольжения по неподвижной герполодии.
**) См. в частности, Webster. Dynamics of Particles and Rigid Bodies, а также статью W in kel man und Gram mel в т. V Handbuch der Physik и монографию F. Klein und A. Sommerfeld. Theorie des Kreisels.

Подставив теперь сюда вместо $\dot{\omega}_{y}$ его выражение из второго уравнения (5.38), будем иметь
\[
\ddot{\omega}_{x}=-\left[\frac{\left(I_{1}-I_{3}\right) \omega_{z}}{I_{1}}\right]^{2} \omega_{x} .
\]

Из уравнения (5.39) видно, что $\omega_{x}$ изменяется по гармоническому закону с угловой частотой
\[
\Omega=\frac{I_{1}-I_{3}}{I_{1}} \omega_{z} .
\]

Поэтому функция $\omega_{x}(t)$ может быть записана в виде
\[
\omega_{x}=A \sin \Omega t,
\]

где $A$ – некоторая постоянная. Функция $\omega_{y}(t)$ может быть найдена посредством подстановки (5.41) в первое уравнение (5.38)

Рис. 55. Прецессия вектора угловой скорости вокруг оси симметричного твердого тела в случае отсутствия сил.
и решения его относительно $\omega_{y}$. Проделав это, найдем
\[
\omega_{y}=A \cos \Omega t \text {. }
\]

Формулы (5.41) и (5.42) показывают, что вектор $\omega_{x} i+\omega_{y} j$ имеет постоянную величину и равномерно вращается вокруг оси $z$ с угловой скоростью $\Omega$ (рис. 55). Следовательно, полная угловая скорость
\[
\omega=\omega_{x} \boldsymbol{i}+\omega_{y} \boldsymbol{j}+\omega_{z} \boldsymbol{k}
\]

тоже имеет постоянную величину и прецессирует вокруг оси $z$ с той же угловой скоростью; это согласуется с картиной движения по Пуансо*). Следует помнить, что эта прецессия является прецессией относительно осей, связанных с телом, которые в свою очередь вращаются в неподвижном пространстве с большей угловой скоростью $\omega$. Из равенства (5.40) видно, что чем ближе $I_{1}$ к $I_{3}$, тем меньше будет скорость прецессии $\Omega$ по сравнению со скоростью вращения $\omega$. Постоянные $A$ (амплитуда прецессии) и $\omega_{z}$ можно выразить через более естественные константы движения, а
*) Этот результат можно получить также следующим способом. Пусть $\boldsymbol{\Omega}$ означает вектор, идущий вдоль оси $\boldsymbol{z}$ и имеющий величину, определяемую равенством (5.40). Тогда уравнения (5.38) будут по существу эквивалентны одному векторному уравнению
\[
\dot{\boldsymbol{\omega}}=\mathbf{\omega} \times \boldsymbol{\Omega} .
\]

Отсюда сразу видно, что вектор ю прецессирует вокруг осъи $z$ с угловой скоростью $\Omega$.

именно через кинетическую энергию $T$ и кинетический момент $L$. Для этого нужно воспользоваться выражениями $T$ и $L^{2}$ через $A$ и $\omega_{z}$, которые имеют вид:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} I_{1} A^{2}+\frac{1}{2} I_{3} \omega_{z}^{2}, \\
L^{2} & =I_{1}^{2} A^{2}+I_{3}^{2} \omega_{z}^{2},
\end{aligned}
\]

и разрешить написанные равенства относительно $A$ и $\omega_{z}$.
Ось вращения Земли дает пример рассмотренной прецессии, так как внешние моменты, действующие на Землю, настолько малы, что ее вращение можно считать происходящим без действия внешних сил. Так как Земля симметрична относительно своей оси и слегка сплюснута у полюсов, то для нее $I_{1}$ меньше чем $I_{3}$, причем численное отношение этих моментов таково, что
\[
\frac{I_{1}-I_{3}}{I_{1}}=-0,0033 .
\]

Следовательно, величина угловой скорости прецессии Земли равна
\[
\Omega=\frac{\omega_{z}}{300} .
\]

Но так как $\omega_{z}$ практически имеет ту же величину, что и $\omega$, то полученный результат показывает, что период прецессии Земли составляет 300 дней или 10 месяцев. Поэтому наблюдатель, находящийся на Земле, должен обнаружить, что ось ее вращения описывает окружность вокруг Северного полюса, совершая один оборот за 10 месяцев. Нечто похожее на это явление удается наблюдать в действительности, но амплитуда прецессии оказывается при этом настолько малой, что ось вращения никогда не удаляется от Северного полюса более чем на 5 метров. Следует, однако, заметить, что орбита этого движения оказывается довольно нестабильной, а наблюдаемый период составляет приблизительно 427 дней, а не 300 , как это получается по расчету. Флюктуации этого движения приписывают небольшим изменениям в распределении масс Земли, например вызываемым движением ее атмосферы, а расхождение в периоде, видимо, возникает в результате того, что Земля не представляет собой твердого тела, а является телом упругим*).
*) Прецессию земной оси при свободном движении не следует путать с медленной прецессией вокруг нормали к эклиптике. Последняя представляет собой астрономическое явление, известное под названием предварения равноденствий, и вызывается гравитационными моментами Солнца и Луны, которыми мы пренебрегали. То, что такое пренебрежение допустимо, видно, например, из того, что период предварения равноденствий велик ( 26000 лет) по сравнению с периодом свободной прецессии, равным, грубо говоря, одному году. Астрономическая прецессия рассматрнвается дальше в § 5.7 и в задачах.