Из предыдущего параграфа видно, что движение симметричного волчка в гравитационном поле является в общем случае весьма сложным. В противоположность этому движение вращающегося заряженного тела, находящегося в однородном магнитном поле, имеет сравнительно простой характер. Тем не менее, мы рассмотрим это движение, так как оно играет важную роль в атомной физике. Вместо уравнений Лагранжа в данном случае проще
воспользоваться одной из общих теорем динамики, а именно теоремой о кинетическом моменте, согласно которой
\[
\frac{d \boldsymbol{L}}{d t}=\boldsymbol{N}
\]
где $\boldsymbol{L}$ – кинетический момент системы, а $\boldsymbol{N}$ – момент внешних сил. Мы будем предполагать, что рассматриваемое тело состоит из частиц, имеющих одно и то же отнощение заряда $e$ к масce $m$.
В результате вращения этого тела заряженные частицы его будут как-то двигаться в пространстве, и, следовательно, будут возникать токи, взаимодействующие с магнитным полем. Если это поле является однородным, то сумма сил, с которыми оно будет действовать на рассматриваемое тело, будет равна нулю*), а момент этих сил будет равен
\[
\boldsymbol{N}=\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{B},
\]
где $\boldsymbol{M}$ – магнитный момент токов, а $\boldsymbol{B}$ – напряженность магнитного поля. Поэтому уравнение движения будет иметь в данном случае вид
\[
\frac{d \boldsymbol{L}}{d t}=\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{B} .
\]
Если пользоваться единицами Гаусса, то при произвольном распределении токов магнитный момент будет равен
\[
\boldsymbol{M}=\frac{1}{2 c} \int \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{j} d V,
\]
где $j$-плотность тока, а $d V$ – элемент объема**). В качестве примера применения этой формулы вычислим магнитный момент тока, протекающего по плоскому витку. Произведение $j d V$ можно записать в этом случае в виде
\[
j d V=j d S d l=i d l,
\]
где $i$ – сила тока, $d S$ – площадь поперечного сечения проволоки, a $d \boldsymbol{l}$ – элементарный вектор, идуций вдоль направления тока. Поэтому магнитный момент будет в данном случае равен
\[
\boldsymbol{M}=\frac{i}{c} \frac{1}{2} \oint \boldsymbol{r} \times d \boldsymbol{l}
\]
*) В этом случае центр масс можно считать неподвижным и кинетический момент можно брать относительно любой точки тела (см. §1 1.2).
**) Cм., например, R. B ecker, Theorie der Elektrizität, т. II, 6-e изд., стр. 98, или Stratton, Electromagnetic Theory, N. Y., 1941, стр. 235 (где используются единицы МKS).
Но $\frac{1}{2} \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{d} \boldsymbol{l}$ есть элемент площади, описываемой радиусом-вектором $r$ (см. определение секториальной скорости, §3.2), и поэтому величина этого интеграла равна площади рассматриваемого витка. Обозначив эту площадь через $A$, а единичный вектор, перпендикулярный к плоскости витка, – через $\boldsymbol{n}$, будем иметь:
\[
\boldsymbol{M}=\frac{A i}{c} \boldsymbol{n} .
\]
Это – обычная форма записи магнитного момента плоского витка.
Вернемся теперь к формуле (5.74). Вместо плотности тока $j$ в нее можно подставить произведение плотности заряда на вектор его скорости. Но плотность заряда равна в свою очередь произведению его массовой плотности $\rho$ на отношение $\mathrm{e} / \mathrm{m}$. Поэтому будем иметь:
\[
j=\frac{e}{m} \rho v
\]
и
\[
\boldsymbol{M}=\frac{e}{2 m c} \int \boldsymbol{r} \times \rho v d V .
\]
Но написанный интеграл представляет собой полный кинетический момент данного тела. Следовательно, существует однозначное соотношение (по крайней мере в классической физике), связывающее кинетический момент тела с его магнитным моментом *). Оно имеет вид
\[
\boldsymbol{M}=\frac{e}{2 m c} \boldsymbol{L} .
\]
Таким образом, уравнение движения (5.73) можно записать в виде
\[
\frac{d \boldsymbol{L}}{d t}=\boldsymbol{L} \times \frac{e \boldsymbol{B}}{2 m c} .
\]
Но это уравнение в точности совпадает с уравнением, описывающим изменение вектора постоянной длины при его вращении вокруг вектора $\boldsymbol{B}$ с угловой скоростью
\[
\boldsymbol{\omega}_{l}=-\frac{e \boldsymbol{B}}{2 m c} .
\]
Отсюда следует, что однородное магнитное поле заставляет равномерно прецессировать вектор кинетического момента заряженного тела. Эта прецессия совершается с угловой скоростью
*) Қвантовая природа «спинового» кинетического момента электрона проявляется в том, что формула (5.76) для него неверна, а верна аналогичная формула, в которой вместо коэффициента $e / 2 m c$ стоит коэффициент $e / m c$.
(5.78), известной как частота Лармора (Larmor). Для электронов величина $e$ отрицательна, и, следовательно, прецессия вокруг вектора B происходит против хода часовой стрелки.
Равномерная прецессия заряженного тела, находящегося в магнитном поле, постоянно встречается в атомной физике. Обычно она известна как прецессия Лармора. Следует заметить, что мы не требовали, чтобы рассматриваемое тело было твердым, так как уравнение (1.24) справедливо для тела любой природы, а интеграл (5.75) является кинетическим моментом относительно какой-либо точки произвольной системы, центр масс которой находится в покое. Поэтому вектор кинетического момента любой системы заряженных частиц, находящихся в однородном магнитном поле, будет прецессировать согласно формуле (5.78). Единственным существенным требованием здесь является то, что все эти частицы должны иметь одинаковое отношение заряда к массе *).
ЗА д А ч и
1. Исследовать изменение тензора инерции при смещении точки, относительно которой он рассматривается, на величину, определяемую вектором $\boldsymbol{r}_{0}$. Показать, что если эта точка является центром масс, а $\boldsymbol{r}_{0}$ направлено вдоль сдной из главных осей, то направление главных осей при таком смещении не изменяется. Как изменяются при таком смещении моменты инерции?
2. Однородная пластина имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника. Вычислить моменты инерции этой пластины относительно главных осей, проходящих через ее центр масс. Қак направлены эти оси?
3. Три частицы равной массы расположены в точках с координатами $(a, 0,0),(0, a, 2 a)$ и $(0,2 a, a)$. Найти моменты инерции относительно главных осей, проходящих через начало координат. Қак направлены эти оси?
4. Физический маятник представляет собой тонкую пластину, качающуюся в вертикальной плоскости вокруг оси, не проходящей через ее центр тяжести. Вычислить период малых колебаний этой пластины, выразив его через радиус инерции относительно центра тяжести и расстояние от центра тяжести до оси вращения. Показать, что если для двух осей вращения, отстоящих на разных расстояниях от центра тяжести, период колебаний будет одинаковым, то сумма этих расстояний будет равна длине математического маятника, имеющего тот же период колебаний.
5. Однородный стержень массы $M$ и длины $2 l$ шарнирно прикреплен одним из своих концов к пружине, жесткость которой равна $k$. Стержень имеет возможность качаться только в вертикальной плоскости, а пружина может двигаться только в вертикальном направлении. Составить уравнения Лагранжа для этой системы.
6. Однородный стержень скользит концами по гладкой вертикальной скружности. Показать, что если дуга, стягиваемая этим стержнем, равна $120^{\circ}$,
*) Заметим, что рассмотренная здесь прецессия относится к вектору кинетического момента, а не к оси тела. Движение последней можно рассмотреть тем же методом, какой применялся в случае тяжелого волчка. Нутация оси тела здесь также будет иметь место, но в отличие от случая гравитационного поля она не будет изменять кинетической энергии тела, так как однородное магнитное поле не может совершить работу над системой (см. задачу 16).
то длина эквивалентного математического маятника будет равна радиусу этой окружности.
7. Автомобиль трогается с места с открытой на $90^{\circ}$ дверью кабины. Так как петли этой двери расположены в ее передней части, то, когда автомобиль начнет набирать скорость, она захлопнется. Вывести формулу, определяющую время, через которое дзерь захлопнется, если ускорение автомобиля постоянно и равно $f$, радиус инерции двери относительно ее оси вращения равен $r_{0}$, а центр масс двери отстоит от оси ее вращения на расстоянии $a$. Показать, что если $f=0,3 \mathrm{~m} /$ се $^{2}$, а дверь представляет однородный четырехугольник шириной $1,2 \mathcal{M}$, то это время будет равно приблизительно 3 сек.
8. Қолесо катится вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол $\alpha$. Получить решение для случая двумерного движения этого колеса, пользуясь уравнением Лагранжа и методом неопределенных множителей.
9. (a) Показать, что если на симметричный волчок не действуют внешние силы, то в системе координат, связанной с этим волчком, вектор его кинетического момента вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью $\Omega$. Показать также, что в неподвижном пространстве ось симметрии волчка вращается вокруг неподвижного вектора кинетического момента с угловой скоростью
\[
\dot{\varphi}=\frac{I_{3}}{I_{1}} \omega_{z},
\]
где $\varphi$ – угол Эйлера, определяющий положение линии узлов в системе, в которой кинетический момент направлен по неподвижной оси $z$.
(b) Пользуясь результатами задачи 5 из главы 4, показать, что вектор $\omega$ вращается вокруг неподвижного вектора кинетического момента с той же скоростью $\dot{\varphi}$, а угол $\theta^{\prime}$ между $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{L}$ определяется из равенства
\[
\sin \theta^{\prime}=\frac{\Omega}{\dot{\varphi}} \sin \theta^{\prime \prime},
\]
где $\theta^{\prime \prime}$ – угол между вектором $\boldsymbol{\omega}$ и осью симметрии. Пользуясь числовыми значениями, данными в § 5.6, показать, что ось вращения Земли и ось’ ее кинетического момента никогда не удаляются друг от друга более чем на 15 мм (считая по поверхности Земли).
(c) Пусть на симметричный волчок не действуют внешние силы. Пользуясь задачами (a) и (b), показать, что его движение можно воспроизвести с помощью конуса, связанного с волчком и имеющего ось, совпадающую с осью симметрии волчка, если заставить этот конус катиться по неподвижному конусу, ось которого направлена вдоль вектора кинетического момента. Вектор угловой скорости будет при этом направлен вдоль общей образующей этих конусов. Показать, что такое представление непосредственно следует из интерпретации Пуансо.
10. Если свободное твердое тело не является симметричным, то аналитическое решение уравнений Эйлера не может быть получено с помощью элементарных функций. Показать, что, используя теоремы о сохранении энергии и кинетического момента, можно выразить составляющие вектора о по подвижным осям через эллиптические интегралы.
11. Получить из уравнений движения Эйлера условие (5.70) для симметричного волчка в поле силы тяжести, накладывая требование, чтобы движение волчка представляло собой равномерную прецессию без нутации.
12. Показать, что величину кинетического момента тяжелого симметричного волчка можно представить как функцию одного только $\theta$ и постоянных движения. Доказать, что вектор кинетического момента прецессирует равномерно только тогда, когда имеет место равномерная прецессия оси симметрии
13. В этой главе указывалось, что предварение равноденствий вызывается моментами, действующими на Земной шар со стороны Солнца и Луны, причем эти моменты появляются вследствие некоторой приплюснутости Земного шара. (Гравитационные силы, действующие на идеальную сферу, не могут создать момента.) Поэтому Землю можно приближенно рассматривать как идеальный шар, на который по экватору наложено «колыцо». Массу этого кольца и момент инерции шара нужно выбрать так, чтобы их комбинация имела такие же главные моменты инерции, какие фактически имеет Земля. Момент гравитационных сил, действующих на Землю, будет тогда создаваться только ее экваториальным кольшом. Но так как период прецессии Земли весьма велик по сравнению с периодом обращения Луны вокруг Земли и Земли вокруг Солнца, то можно сделать еще одно приближение, заменив Солнце и Јуну массами, распределенными по окружностям, центры которых совпадают с центром Земли. Кроме того, можно считать, что орбиты Солнца и Луны лежат в однсй плоскости (так называемая плоскость эклиптики).
Вычислите гравитационный потенциал
\[
V=-G \iint \frac{d m_{e} d m_{s}}{r}
\]
между экваториальным кольцом Земли и массой Солнца, распределенной по окружности. Воспользуйтесь для этого разложением расстояния $r$ по степеням $\frac{a}{R_{s}}$, где $a$-радиус экваториального кольца Земли, а $R_{s}$ – среднее расстояние от Земли до Солнца. (Для удобства примите плоскость эклиптики за плоскость $x y$ и воспользуйтесь сферическими полярными координатами.) Вычислив аналогичным путем потенциал между Землей и Луной, найдите полный потенциал гравитационных сил как функцию угла $\theta$ между земной осью и плоскостью эклиптики. Дифференцируя этот потенциал по $\theta$, найдите момент сил, действующих на Землю со стороны Солнца и Луны. Покажите, что первый отличный от нуля член в выражении этого момента равен
\[
N=\frac{3}{4} G\left(I_{3}-I_{1}\right) \sin 2 \theta\left[\frac{m_{s}}{r_{s}^{2}}+\frac{m_{l}}{r_{l}^{3}}\right],
\]
где $G$ – гравитационная постоянная, а индексы $s$ и $l$ относятся к Солнцу и Луне. Найдите скорость регулярной прецессии, создаваемой таким моментом (пользуясь, например, методом задачи 11), предполагая, что период этой прецессии весьма велик по сравнению с периодом собственного вращения. Сравните этот результат с измеренным периодом прецессии, составляющим 25800 лет.
14. В $§ 5.6$ вычислялась прецессия оси вращения Земли вокруг полюса в предположении, что на Землю не действуют никакие моменты. С другой стороны, предыдущая задача показывает, что Земля подвергается вынужденной прецессии под действием гравитационных моментов Солнца и Луны. Можно, однако, показать, что движение оси вращения Земли вокруг ее оси симметрии выглядит как нутация Земли и ее вынужденной прецессии. Для доказательства этого достаточно вычислить функции $\theta(t)$ и $\dot{\varphi}(t)$ для тяжелого симметричного волчка, у которого начальная скорость $\dot{\varphi}_{0}$ велика по сравнению со скоростью регулярной прецессии $\beta / 2 a$, но мала по сравнению с $\omega_{z}$. При этих условиях граничные окружности апекса будут близки друг к другу, но орбита апекса будет выглядеть так, как показано на рис. 58, b, т. е. будет иметь большие петли, медленно поворачивающиеся вокруг вертикали. Покажите, что равенство (5.64) будет в этом случае сираведливым, но теперь будет иметь место соотношение
\[
x_{1}=\left(\frac{\beta}{a^{2}}-\frac{2 \dot{\varphi}_{0}}{a}\right) \sin ^{2} \theta_{0} .
\]
Зная $\theta$ и $\dot{\varphi}$, найдите $\omega_{x}$ и $\omega_{y}$ и покажите, что при $\beta / 2 \alpha \ll \dot{\varphi}_{0}$ вектор $\omega$ прецессирует вокруг оси тела со скоростью
\[
\Omega=\frac{I_{1}-I_{3}}{I_{1}} \omega_{z},
\]
что совпадает с формулой (5.40). Пользуясь числовыми данными, приведенными в $\S 5.6$, убедитесь в том, что скорость $\dot{\varphi}_{0}$ соответствует периоду около 1600 лет и, следовательно, она мала по сравнению со скоростью суточного вращения, но достаточно веліка по сравнению с величиной $\beta / 2 a$, соответствующей периоду в 26000 лет.
15. (Гирокомпас Фуко.) Гироскоп установлен так, что центр тяжести его совпадает с центром карданового подвеса и поэтому гравитационный момент отсутствует. Кроме того, на его ось наложена связь, допускающая движение только в горизонтальной плоскости, вследствие чего она не может сохранять свое направление в неподвижном пространстве и вынуждена участвовать во вращательном движении Земли.
Пользуясь уравнениями Эйлера, покажите, что если скорость вращения этого гироскопа велика по сравнению со скоростью вращения Земли, то ось его будет совершать симметричные колебания около линии меридиана и, следовательно, ее можно использовать в качестве стрелки компаса.
16. Система состоит из заряженных частиц с одинаковым отношением $\mathrm{e} / \mathrm{m}$. Потенциальная энергия их зависит от их взаимного расположения. На систему действует однородное магнитное поле $\boldsymbol{B}$, причем векторный потенциал $\boldsymbol{A}$ равен
\[
\boldsymbol{A}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{B}) \text {. }
\]
Вычислить лагранжиан этой системы, пользуясь подвижной системой координат, вращающейся вокруг вектора $\boldsymbol{B}$ со скоростью $\omega_{l}$. Показать, что с точностью до членов порядка $B^{2}$ он не зависит от $\boldsymbol{B}$. (Таким путем можно получить доказательство теоремы Лармора, которая в такой форме показывает, что действие слабого магнитного поля проявляется лишь в прецессии системы в целом вокруг вектора В. Қак указывалось в тексте, теорема Лармора касается лишь действия магнитного поля на вектор кинетического момента.)
17. Показать, что гамильтониан симметричного заряженного волчка, находящегося в однородном магнитном поле, совпадает с его кинетической энергией и является постоянной движения. Отсюда следует, что это поле не совершает работы над рассматриваемой системой [это видно также из силы Лоренца (1.56)] в противоположность тому, что имеет место в случае тяжелого волчка, когда сила тяжести сообщает ему дополнительную кинетическую энергию прецессии. Показать, что энергия прецессии магнитного волчка появляется за счет уменьшения скорости его собственного вращения и что при этом возникает нутация.
