Каноническими преобразованиями мы называем такие преобразования, при которых уравнения Гамильтона сохраняют свою форму. Однако при канонических преобразования существуют и другие инварианты, в частности интегральные инварианты Пуанкаре. К рассмотрению их мы сейчас и перейдем.

Подобно тому как мы ввели пространство конфигураций, мы введем сейчас так называемое фазовое пространство, под которым будем понимать $2 n$-мерное декартово пространство с координатами $q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$. Тогда каждому состоянию данной механической системы будет отвечать определенная точка этого пространства. Эту точку можно рассматривать как изображение системы, отражающее не только конфигурацию этой системы, но и ее импульсы. Теперь мы можем перейти к формулировке теоремы Пуанкаре. Эта теорема гласит, что
\[
J_{1}=\iint_{S} \sum_{i} d q_{i} d p_{i}
\]

является инвариантом любого канонического преобразования. Символ $S$ означает здесь произвольную двумерную поверхность в фазовом пространстве.

Переходя к доказательству этой теоремы, прежде всего заметим, что положение точки на двумерной поверхности определяется двумя какими-либо параметрами. Пусть на поверхности $S$ такими параметрами будут $u$ и $v$. Тогда будем иметь: $q_{i}=$ $=q_{i}(u, v), p_{i}=p_{i}(u, v)$. Как известно, связь между элементом площади $d q_{i} d p_{i}$ и элементом площади $d u d v$ определяется якобианом
\[
\frac{\partial\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial q_{i}}{\partial u} & \frac{\partial p_{i}}{\partial u} \\
\frac{\partial q_{i}}{\partial v} & \frac{\partial p_{i}}{\partial v}
\end{array}\right|
\]

и имеет вид
\[
d q_{i} d p_{i}=\frac{\partial\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\partial(u, v)} d u d v .
\]

Поэтому равенство
\[
\iint_{S} \sum_{i} d q_{i} d p_{i}=\iint_{S} \sum_{k} d Q_{k} d P_{k},
\]

выражающее утверждение, что интеграл $J_{1}$ не изменяется при канонических преобразованиях, можно записать в виде
\[
\iint_{S} \sum_{i} \frac{\partial\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\partial(u, v)} d u d v=\iint_{S} \sum_{k} \frac{\partial\left(Q_{k}, P_{k}\right)}{\partial(u, v)} d u d v .
\]

Но так как область интегрирования является здесь произвольной, то эти интегралы могут быть равны только в том случае, когда выполняется равенство
\[
\sum_{i} \frac{\partial\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\partial(u, v)}=\sum_{k} \frac{\partial\left(Q_{k}, P_{k}\right)}{\partial(u, v)} .
\]

Следовательно, доказательство инвариантности интеграла $J_{1}$ сводится к доказательству инвариантности суммы якобианов.

Рассмотрим каноническое преобразование, получаемое с помощью производящей функции типа $\left.F_{2}(q, P, t)^{*}\right)$. В этом случае из уравнений (8.11a) мы будем иметь
\[
\frac{\partial p_{i}}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}}\right) \text {. }
\]

Но производная $\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{l}}$ зависит от $u$ только через аргументы $q_{k}$ и $P_{k}$, и поэтому можно написать
\[
\frac{\partial p_{i}}{\partial u}=\sum_{k} \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial q_{i} \partial P_{k}} \frac{\partial P_{k}}{\partial u}+\sum_{k} \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial q_{l} \partial q_{k}} \frac{\partial q_{k}}{\partial u},
\]

а также аналогичное выражение для частной производной $\frac{\partial p_{i}}{\partial v}$. Подставляя теперь полученные выражения в сумму детерминантов, входящих в левую часть (8.34), будем иметь:
\[
\sum_{i} \frac{\partial\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\partial(u, v)}=\sum_{i}\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial q_{i}}{\partial u} & \sum_{k} \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial q_{i} \partial P_{k}} \frac{\partial P_{k}}{\partial u}+\sum_{k} \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial q_{i} \partial q_{k}} \frac{\partial q_{k}}{\partial u} \\
\frac{\partial q_{i}}{\partial v} & \sum_{k} \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial q_{i} \partial P_{k}} \frac{\partial P_{k}}{\partial v}+\sum_{k} \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial q_{i} \partial q_{k}} \frac{\partial q_{k}}{\partial v}
\end{array}\right| \cdot
\]

Разбивая, далее, каждый детерминант на два, а также вынося общие множители каждого столбца за знак полученных детерминантов, мы можем записать это равенство в виде
\[
\sum_{i} \frac{\partial\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\partial(u, v)}=\sum_{i, k} \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial q_{i} \partial q_{k}}\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial q_{i}}{\partial u} & \frac{\partial q_{k}}{\partial u} \\
\frac{\partial q_{i}}{\partial v} & \frac{\partial q_{k}}{\partial v}
\end{array}\right|+\sum_{i, k} \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial q_{i} \partial P_{k}}\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial q_{i}}{\partial u} & \frac{\partial P_{k}}{\partial u} \\
\frac{\partial q_{i}}{\partial v} & \frac{\partial P_{k}}{\partial v}
\end{array}\right| .
\]
*) Это требование не является обязательным, так как рассматриваемое доказательство можно провести и в случае производящей функции другого типа, в чем читатель может легко убедиться самостоятельно.

Но первая из сумм правой части этого равенства, очевидно, равна нулю, так как при перемене местами индексов $i$ и $k$ столбцы детерминантов этой суммы меняются местами, в то время как эта сумма не должна зависеть от порядка написания индексов $i$ и $k$. Вместо этой суммы мы можем поставить любую другую, имеющую такую же структуру и поэтому также равную нулю. Так, например, мы можем написать:
\[
\sum_{i} \frac{\partial\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\partial(u, v)}=\sum_{i, k} \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial P_{i} \partial P_{k}}\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial P_{i}}{\partial u} & \frac{\partial P_{k}}{\partial u} \\
\frac{\partial P_{i}}{\partial v} & \frac{\partial P_{k}}{\partial v}
\end{array}\right|+\sum_{i, k} \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial q_{i} \partial P_{k}}\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial q_{i}}{\partial u} & \frac{\partial P_{k}}{\partial u} \\
\frac{\partial q_{i}}{\partial v} & \frac{\partial P_{k}}{\partial v}
\end{array}\right| \cdot
\]

При каждом фиксированном $k$ правая часть этого равенства может быть записана в виде одного детерминанта, в котором первый элемент левого столбца равен
\[
\sum_{i} \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial P_{i} \partial P_{k}} \frac{\partial P_{i}}{\partial u}+\sum_{i} \frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial q_{i} \partial P_{k}} \frac{\partial q_{i}}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u} \frac{\partial F_{2}}{\partial P_{k}} .
\]

Аналогично второй элемент левого столбца этого детерминанта будет равен

Но согласно (8.11b)
\[
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial P_{k}}\right) \text {. }
\]
\[
\frac{\partial F_{2}}{\partial P_{k}}=Q_{k}
\]

и, следовательно,
\[
\sum_{i} \frac{\partial\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\partial(u, v)}=\sum_{k}\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial Q_{k}}{\partial u} & \frac{\partial P_{k}}{\partial u} \\
\frac{\partial Q_{k}}{\partial v} & \frac{\partial P_{k}}{\partial v}
\end{array}\right|=\sum_{k} \frac{\partial\left(Q_{k}, P_{k}\right)}{\partial(u, v)},
\]

что и доказывает теорему Пуанкаре.
Аналогичным способом, хотя и более сложно, можно доказать, что интеграл
\[
J_{2}=\iiint_{S} \int \sum d q_{i} d p_{i} d q_{k} d p_{k}
\]

также является инвариантом канонического преобразования. ( $S$ здесь означает произвольную четырехмерную поверхность фазового пространства.) Продолжая так дальше, можно получить целую последовательность интегральных инвариантов, последний из которых будет иметь вид
\[
J_{n}=\int \ldots \int d q_{1} \ldots d q_{n} d p_{1} \ldots d p_{n} .
\]

В этом инварианте интегрирование совершается по произвольной области фазового пространства, и поэтому инвариантность интеграла $J_{n}$ эквивалентна утверждению, что объем любой части фазового пространства не изменяется при канонических преобразованиях. Қак мы покажем в дальнейшем, отсюда следует, что этот объем не изменяется со временем.