Тензор $\boldsymbol{I}$ можно рассматривать и как тензор второго ранга и как диаду. Его обычно называют тензором момента инерции или просто тензором инерции. Преимущество записи тензора I в виде диады состоит в том, что при этом могут применяться обычные векторные операции. Таким путем мы приходим к естественному способу выражения кинетической энергии вращения через диаду I. Кинетическая энергия тела равна
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}
\]

где $v_{i}$-абсолютная скорость $i$-й точки. С помощью формулы (5.2) это равенство можно записать в виде
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i} \cdot\left(\omega \times r_{i}\right),
\]

что согласно формуле для смешанного произведения равно
\[
T=\frac{\omega}{2} \cdot \sum_{i} m_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{v}_{i}\right) .
\]

Вектор, стоящий здесь под знаком суммы, представляет кинетический момент тела относительно начала координат, и поэтому
\[
T=\frac{\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{L}}{2}=\frac{\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{\omega}}{2} .
\]

Пусть, далее, $\boldsymbol{n}$ будет единичным вектором в направлении $\boldsymbol{\omega}$, так что $\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}$. Тогда кинетическую энергию $T$ можно будет представить в виде
\[
T=\frac{\omega^{2}}{2} \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{n}=\frac{1}{2} I \omega^{2},
\]

где $I$-скаляр, определяемый равенством
\[
I=\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{n}=\sum_{i} m_{i}\left[r_{i}^{2}-\left(\boldsymbol{r}_{\boldsymbol{i}} \cdot \boldsymbol{n}\right)^{2}\right] .
\]

Рис. 52, К вычнслению момента инерции.
Он называется моментом инерции тела относительно оси вращения.
При элементарном изложении момент инерции тела относительно

оси определяют как сумму произведений масс отдельных его частиц на квадраты их расстояний до этой оси. Покажем, что это определение согласуется с выражением (5.17). Расстояние до оси равно, как известно, $\left|\boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{n}\right|$ (рис. 52). Поэтому согласно обычному определению
\[
I=\sum_{i} m_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i} \times n\right) \cdot\left(\boldsymbol{r}_{i} \times n\right) .
\]

Рассматривая теперь первую из этих скобок как один вектор и пользуясь формулой для смешанного произведения, мы можем написать:
\[
I=\sum_{i} m_{i} \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{i}} \cdot \boldsymbol{n} \times\left(\boldsymbol{r}_{\boldsymbol{i}} \times \boldsymbol{n}\right) .
\]

Наконец, раскрыв двойное векторное произведение, окончательно получим
\[
I=\sum_{i} m_{i} \boldsymbol{r}_{i} \cdot\left[\boldsymbol{r}_{i}-n\left(\boldsymbol{r}_{i} \cdot n\right)\right]=\sum_{i} m_{i}\left[r_{i}^{2}-\left(\boldsymbol{r}_{i} \cdot n\right)^{2}\right],
\]

что совпадает с (5.17).
Величина момента инерции зависит от направления оси вращения, а так как в процессе движения вектор $\boldsymbol{\omega}$ обычно изменяет свое направление относительно тела, то момент инерции следует рассматривать как функцию времени. Исключение составляет момент инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси; он остается постоянным. В этом случае кинетическая энергия в форме (5.16) почти достаточна для составления лагранжиана и уравнений движения. Дальнейший шаг заключается лишь в том, чтобы выразить $\omega$ в виде производной по времени от некоторого угла, что, конечно, можно сделать без труда.

Момент инерции (как и тензор инерции) зависит также от выбора начала подвижной системы координат. Однако существует простая зависимость между моментами инерции относительно данной оси и параллельной ей оси, проходящей через центр масс. Пусть $\boldsymbol{R}$ обозначает вектор, идущий из начала координат $O$ в центр масс, а $\boldsymbol{r}_{i}$ и $\boldsymbol{r}_{i}^{\prime}$ – paдиус-векторы, идущие в $i$-ю точку из точки $O$ и из центра масс (рис. 53). Эти три вектора связаны соотношением
\[
\boldsymbol{r}_{i}=\boldsymbol{R}+\boldsymbol{r}_{i}^{\prime} .
\]

Момент инерции относительно оси $a$ будет тогда равен
\[
I_{a}=\sum_{i} m_{i}\left(r_{i} \times n\right)^{2}=\sum_{i} m_{i}\left[\left(r_{i}^{\prime}+R\right) \times n\right]^{2},
\]

или
\[
I_{a}=\sum_{i} m_{i}(\boldsymbol{R} \times \boldsymbol{n})^{2}+\sum_{i} m_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{n}\right)^{2}+2 \sum m_{i}(\boldsymbol{R} \times \boldsymbol{n}) \cdot\left(\boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{n}\right) .
\]

Но последний член этого выражения можно представить в виде
\[
-2(\boldsymbol{R} \times \boldsymbol{n}) \cdot\left(\boldsymbol{n} \times \sum_{\boldsymbol{i}} m_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}\right),
\]

где $\sum_{i} m_{i} r_{i}^{\prime}$ согласно определению центра масс равно нулю. Следовательно, связь между моментом инерции относительно оси $a$ и моментом инерции относительно оси $b$, параллельной $a$, выражается следующим образом:
\[
I_{a}=I_{b}+M(\boldsymbol{R} \times \boldsymbol{n})^{2} .
\]

Величина вектора $\boldsymbol{R} \times \boldsymbol{n}$, очевидно, равна расстоянию от центра масс до оси $a$.

Таким образом, момент инерции относительно оси $a$ равен моменту инерции относительно параллельной ей оси $b$, проходящей через центр масс, плюс момент инерции данного тела относительно оси $a$, полученный в предположении, что вся масса тела сосредоточена в центре масс. Эта теорема весьма схожа по форме с теоремами, которые были получены нами в § 1.1 для количества движения, кинетического момента и кинетической энергии.